九年级期末试卷数学(附答案)九年级期末试卷数学(附答案)
一、选择题（共40分）
1. 已知正数 a, b 满足 a + b = 6，ab = 8，求 a² + b²的值。

答案：a² + b² = (a + b)² - 2ab = 6² - 2 × 8 = 20
2. 若一条线段上的两个等分点的坐标分别为 (3, 5) 和 (-1, 1)，则该线段的中点坐标为：
答案：线段的中点坐标为 [(3 + (-1))/2, (5 + 1)/2] = (1, 3)
3. 在三角形 ABC 中，∠C = 90°，CM 是 BC 的中线，CN ⊥ AM 于N。

若 AM = 6 cm，求 MN 的长度。

答案：由 AM = 6 cm 和 CN ⊥ AM，可以推算得到 AN = 3 cm。

由于 CM 是 BC 的中线，可得 BM = MC = 3 cm。

再由勾股定理可以计算出 MN 的长度为 2 cm。

4. 若 2x - 3 = 5，求不等式3x + 7 ≥ 4x + 2 的解集。

答案：将 2x - 3 = 5 移项得到 2x = 8，解得 x = 4。

将 x = 4 代入不等式3x + 7 ≥ 4x + 2，可得到19 ≥ 18，因此解集为x ≥ 4。

5. 若点 P 在圆 O 的某条弦上，且 OP 的长度为2√3 cm，弦长为 4 cm，则圆的半径长为：
答案：根据圆的性质，弦经过圆心则为直径。

圆心到弦的距离垂直于弦，可以构成直角三角形。

根据勾股定理可得圆的半径长为√(OP² - 弦长²/4) = √(12 - 4) = √8 cm。

二、填空题（共20分）
1. 解方程 2x + 5 = 3x - 1，得到 x = _______。

答案：从方程两边同减去 2x，得到 5 = x - 1，再将 x - 1 的两边加上
1 得到 x = 6。

2. 若三角形 ABC 中，∠A = 40°，∠B = 60°，则∠C = _______。

答案：三个角的和为 180°，∠C = 180° - 40° - 60° = 80°。

3. 将 123
4.5678 写成分数形式，得到 _______。

答案：1234.5678 = 1234 + 0.5678 = 1234 + 5678/10000 = 1234 + 5678/10⁴，即 1234 + 5678/10000。

4. 已知正方体 ABCDEFGH 的棱长为 6 cm，点 P 在 AB 上，且 AP : AB = 1 : 3，则 BP : AB = _______。

答案：BP : AB = 1 - AP : AB = 1 - 1/3 : 1 = 2/3。

5. 若函数 y = x² + bx + c 的图象与 x 轴只有一个交点，则判别式 D = _______。

答案：当函数的图象与 x 轴只有一个交点时，判别式 D = b² - 4ac = 0。

三、简答题（共40分）
1. 试举例说明正比例函数。

答案：如果两个变量的比值始终为一个常数，那么它们之间的关系就是正比例函数。

例如，当乘坐出租车时，距离与费用之间的关系就是正比例函数，距离每增加1公里，费用也会相应增加一定比例。

2. 简述两个相似三角形的性质。

答案：两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

相似三角形的对应角是对应边的对应比例。

即使两个三角形的边长不一样，但是它们对应角的度数是相等的，对应边的长度比例也是相等的。

3. 简述解一元一次方程的步骤。

答案：解一元一次方程的步骤如下：
1) 对方程两边使用相同的运算即可；
2) 通过移项将 x 的项移动到一边，常数项移动到另一边；
3) 合并同类项；
4) 通过化简运算得到方程的解。

4. 简述勾股定理的含义及其应用场景。

答案：勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于其他两边平方的和。

这个定理可以用于计算直角三角形的边长，判断三角形是否为直角三角形，以及解决与直角三角形相关的问题。

5. 简述如何计算一个圆的面积和周长。

答案：计算圆的面积可以使用公式A = πr²，其中 r 为圆的半径。

计算圆的周长可以使用公式C = 2πr，其中 r 为圆的半径。

将圆的半径代入公式即可得到结果。

四、解答题（共40分）
1. 若已知二次函数 y = ax² + bx + c 的顶点为 V(2, -1)，且过点 P(-1, 10) 的直线与该函数图象交于点 Q，请计算 a、b、c 的值，并求出直线PQ 的斜率。

答案：由于顶点为 V(2, -1) ，可以得到 a = 1。

将 V(2, -1) 代入二次函数得到 -1 = 4a + 2b + c，即 2b + c = -5。

过点 P(-1, 10) 的直线斜率使用点斜式表示为 (y - 10)/(x - (-1)) = m，表示与二次函数图象交于点 Q 的方程为 ax² + bx + c = y。

将直线方程输入二次函数方程中，得到 a(-1)² + b(-1) + c = m，即 a - b + c = m。

联立以上两个方程，并代入 a = 1 和 2b + c = -5，可以解得 b = -7，c = 3。

直线 PQ 的斜率为 -7。

2. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(-2, 3)，点 B(x, 5)。

若 AB 的中点为点 C(-1, y)，求 x 和 y 的值。

答案：由于点 A(-2, 3) 和点 C(-1, y) 是 AB 的两个等分点，可以使用中点坐标公式得到 x = 2(-1) - (-2) = 0。

点 B(x, 5) 的横坐标为 0，纵坐标为 5，所以 y = (3 + 5)/2 = 4。

3. 在已知的直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，CM 是 BC 的中线，
CN ⊥ AM 于 N。

若 AM = 6 cm，CN = 8 cm，求 BC 的长度。

答案：由于 CM 是 BC 的中线，所以 BM = MC。

由于∠C = 90°，
所以 BN = NC，NC = 8 cm。

根据 CN ⊥ AM，可以得出 AN = 6 - 8 = -2 cm。

根据勾股定理可得到BC 的平方等于BM 的平方加上CN 的平方，即 BC² = BM² + CN² = 8² + (-2)² = 68。

所以 BC 的长度为根号下 68，约
等于 8.25 cm。

4. 若函数 y = ax² + bx + c 的图象经过点 P(1, -3)，且 a + b + c = 0，
求 a、b、c 的值。

答案：将点 P(1, -3) 代入函数 y = ax² + bx + c 中，得到 -3 = a(1)² +
b(1) + c，即 a + b + c = -3。

根据题目给出的条件 a + b + c = 0 可以推出 -3 = 0，所以 a、b、c 的
值无解。

5. 一辆汽车以每小时 60 公里的速度行驶，已知两个城市之间的距
离为 240 公里，若开始行程时，两个城市间正好隔了两个小时，计算
需要多少小时能到达目的地。

答案：汽车以每小时 60 公里的速度行驶，所以每一小时行驶 60 公里。

两个城市之间的距离为 240 公里，所以需要的时间为 240 公里/60
公里/小时 = 4 小时。

因为开始行程时已经过了两个小时，所以到达目的地的时间为 4 小时 + 2 小时 = 6 小时。

以上是九年级期末试卷数学的题目及答案。

希望对你的学习有所帮助！。