函数（2）学案主备人：_________ 编号：___005______ 【本课概论】1、对数的定义：在方程N =xa 中，已知底数和幂，定义指数N log a x =2、指数函数x a x f =)(，对数函数xx f a log )(=，幂函数a x x f =)(【概念应用】1、利用对数的降次特征化简大数据运算。
2、利用指数函数、对数函数和幂函数刻画数学模型。
【知识点及习题剖析】 对数1、对数的定义与转化。
在N log a x=中，a 叫做底数，N 叫做真数，该式读作“x 等于N 以a 为底的对数”其中a>0且a ≠1，真数N>0（若N=0或N<0则无意义） 指数式N =xa与对数式N log a x =可相互转化。
例：将指数式64126=-，对数式416log 21-=分别转为对数式和指数式。
解：①6641log 2-= ②16214=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-剖析：指数式和对数式底数相等，真数与幂相等，指数与对数相等，不要搞混。
2、对数的运算法则（请自行用对数的定义推导）。
推导过程： 公式：①MNN M a a alog log log =+②NM N M aa a log log -log =③Mn M a n a log log =nMM a alog log n=④x a a x a xa ==log log例1：求125log 3log 30log 31022+-的值。
解：由公式②④③⑤得原式=310log 3)5log 2(log 35log 310log 13101010102==+=+⋅剖析：合理运用公式。
记住从对数里提为降次，放到对数里为升次。
*例2（应用）：已知5.145.23170log ,2416777216log 22==求5.2317016777216的近似值。
解：5.95.14245.2317016777216log 2=-=， 3.7144.110002225.2317016777216105.9=≈==（实际724左右，误差2%以内）剖析：合理运用对数及编制好的对数表可以极大地简化问题。
3、常用对数与自然对数。
定义：MM 10log lg =，称为常用对数。
MM e log ln =，称为自然对数，其中自然对数的底数e=2.718281828459……例1：求5100lg解：525100lg 100lg 5==剖析：lg 和ln 只是一种简写的记法，对数公式完全可以套用。
例2：计算50lg 2lg )5(lg 2⋅+解：12lg 5lg 2lg )5lg 2(lg 5lg 2lg 5lg 2lg )5(lg )15(lg 2lg )5(lg 原式22=+=++⋅=+⋅+=+⋅+=剖析：遇到与lg 有关的问题，想尽一切办法将真数靠近10的幂（尤其是看到2和5）。
注意辨别：!15lg 2lg ,15lg 2lg ≠⋅=+4、换底公式（请同学们自己证明）指数形式：xa xb ba⋅=log 对数形式：abb c c a log log log =例：计算8log 7log 6log 5log 4log 3log 765432⋅⋅⋅⋅⋅解：4log 3log 4log 3log 4log 3log 222232=⋅=⋅类推得原式=38log 2=剖析：当参与计算的若干个对数的底数不同时，应用换底公式将其变为同一个底数然后计算。
由换底公式有b a a b log log 1=及b b a alog log 1-=（待会习题要用）指数函数、对数函数和幂函数 指数函数1、指数概念的推广。
由 n n n na a a )()(1==得，n n a a 1=由此可定义nmppa a Z n m nm p Q p a =>∈=∈则),0n ，,(设:）（对于p 为无理数的情况，定义)(lim Q q a aq pq p∈=→，即无限接近于该数的有理数。
例：求46394369)()(a a ⋅解：42249316149613146394369)()(a a a a a a a =⋅=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅剖析：合理运用根号和分数次幂的转化，将若干次幂转为一次幂运算。
指数的运算法则在实数范围内通用。
2、指数函数的定义、定义域、值域。
定义：形如xaxf=)(的函数称为指数函数，其中1且0≠>aa。
由定义易推知，指数函数的定义域为R，值域为(0,+∞）例：下列函数中，值域不为R+的是（ D ）（A）y=5x-21（B）y=(31)1-x（C）y=1)21(-x（D）y=x21-解：前三项都为指数函数，且指数的定义域都为R，因此其值域为(0,+∞）（第三项中对(0,+∞）开根号仍为(0,+∞））。
排除法可知选D。
剖析：注意指数函数的值域为(0,+∞）当且仅当定义域为R！因此看到指数函数一定要先判断指数的定义域再解答。
3、指数函数的图象与性质。
利用描点法作图可得：观察图象有以下结论：①指数函数不为奇函数、偶函数。
当a>1时，函数在R内单调递增；当0<a<1时，函数在R内单调递减。
②所有的指数函数都经过(0,1)（想想这是为什么？）③指数函数的图像始终在x轴上方，即值域为(0,+∞）。
当a>1时，函数向左收敛于0，向右发散；当0<a<1时，函数向右收敛于0，向左发散。
例：已知0<a<1,b<-1,则函数y=a x+b的图像必定不经过（A）(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解：首先观察0<a<1，得知函数图像在R上单调递减。
然后观察b<-1，因为指数函数必定经过(0,1），所以该函数与y轴交点必定在负半轴。
考虑到它是减函数，因此当x>0时，y必定小于0，即函数不可能经过第一象限。
剖析：一定要分清a的范围。
不同的a对应的图象的增减性、敛散性不同。
指数函数的图象经过点（0,1）也是常用的隐含条件之一。
*4、指数函数的导数。
一般地，指数函数xa=y的导数为aay x ln'=（证明过程略）当a=e时，函数xe=y的导数为它本身，即x e==yy'这是自然对数许多神奇性质中的一个，有许多的应用。
1、对数函数的定义、定义域与值域。
形如xx f a log )(=的函数称为对数函数，其中a>0且a ≠1。
由对数函数的定义可推知：对数函数定义域为（0，﹢∞），值域为R 。
特别地，对数函数和指数函数互为逆函数。
即若xx g a x f a x log )(,)(==则有fg g f x x f g x x g f ====--11,即,)]([,)]([2、对数函数的图象及其性质。
用描点法作出对数函数的图象。
观察图象可得对数函数的几个性质： ①对数函数不为奇函数、偶函数。
当a>1时，函数在(0,+∞）内单调递增；当0<a<1时，函数在(0,+∞）内单调递减。
②所有的对数函数都经过(1,0)（这又是为什么？）③对数函数的图像始终在y 轴右方，即定义域为(0,+∞）。
对数函数在趋于0时或趋于+∞时皆发散。
④底数相同，指数函数的图象与对数函数的图象关于y=x 对称（逆函数的特征） 例：已知函数xx f a log )(=(0<a<1)在[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，求a 的值。
解：由0<a<1可知f 在区间[a,2a]上是减函数，故x=a 处即为最大值，x=2a 处为最小值。
代入得f(a)=1，312log )2(==a a f a ，即a a 231=，解得42或0±=a考虑到a>0，解得42=a 。
剖析：同样关注指数函数中a 的取值。
不管做什么题目，当看到指数函数的时候，首先要想 到定义域为正实数集！（这点非常重要，因为这涉及到复杂函数中整个函数的定义域）*3、对数函数的导数。
一般地，对数函数x y a log =的导数为ax y ln 1'=（证明过程略）当a=e 的时候，函数x y ln =的导数为xy 1'=1、幂函数的定义、定义域、值域与图象。
形如a x x f =)(的函数称为幂函数。
幂函数的图象、定义域与值域随a 的不同而不同。
下面列出的是其中常见的几种：观察图象可以发现，所有的幂函数都过点（1,1）（为什么？） 例：函数221m m xy --=在第二象限单调递增，求m 的最大负整数。
解：22-+=m m xy，观察到m 为负整数，因此枚举m 即可。
当m=-1时，22-+m m=-2，2-=x y 在第二象限递增。
因此m=-1。
剖析：幂函数的性质不可能全部学习，但它们并不算难。
做到题目时简单推推即可。
枚举法指将可能情况一个个列出来的方法，有时候没有头绪时可能很有用。
2、幂函数的导数 一般地，幂函数a x y=的导数为1'-=a ax y可以证明，对于a ≠0的其它所有实数，上述关系都是成立的。
例：求函数882xxy +=在(0,+∞)内的最小值。
解：令08116'3=+-=x y ，解得3324128==x ，代入得()22221323min +=y 【习题】 选择1．函数f （x ）=(a 2-1)x在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2<a （C ）a<2 （D ）1<2<a2、函数y=121-x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）⋃（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）⋃（0，+∞）3.若方程a x-x-a=0有两个根，则a 的取值范围是（ ） （A ）（1，+∞） （B ）（0，1） （C ）（0，+∞） （D ）φ 4．下列关系中正确的是（ ）（A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32（C ）（51）32<（21）31<（21）32（D ）（51）32<（21）32<（21）315、 2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（ ） A 、41B 、4C 、1D 、4或1 6、 nn ++1log （n n －＋1）等于（ ） A 、1B 、－1C 、2D 、－2填空1．化简⨯53xx 35xx×235xx = 。
2、若log a x ＝log b y ＝－21log c 2，a ，b ，c 均为不等于1的正数，且x ＞0，y ＞0，c ＝ab ，则xy ＝________3、 若2log 2,log 3,m na a m n a+===___________________4、已知f(x)=2x,g(x)是一次函数，记F （x ）=f[g(x)],并且点（2，41）既在函数F （x ）的图像上，又在F -1（x ）的图像上，则F （x ）的解析式为 _____ . 5、若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝________ 若2510a b ==，则11a b+= . 计算、解答1、222522122(lg )lg lg (lg )lg +⋅+-+2、91log 81log 251log 532•• 3、4839(log 3log 3)(log 2log 2)++4、(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)5、设0<a<1,解关于x 的不等式a 1322+-x x >a522-+x x 。