D F E A （1） B C
提示: 由于新线段是以点 F 为一 个端点 . 另一个端点是图中已 标明字母的某一点 . 因此可连 BF( 或 DF). 运用三角形全等或 平 行 四 边 形 的 特 征 说 明 BF ＝ DE(或DF＝BE).
解:(1)连结BF；
(2)猜想:BF＝DE. 解 : 如 图 (2) 所 示 . 连 结 DB.DF.BF.DB.AC交于点O
等腰 梯形
（1）是梯形，并且同一底上的两个角相等； （2）是梯形，并且两条对角线相等。
三角形中位线的性质 定理: 三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
提示
∵DE是△ABC的中位线,
D
A E
1 ∴DE∥BC, DE BC . 2
B
C
这个定理提供了证明线段平 行.和线段成倍分关系的根据.
第三章 证明(三)
复习
四边形之间的关系
矩形
平行四边形
菱形 四边形
等腰梯形
正方形
梯形 直角梯形
几种特殊四边形的性质
平行 对边平行 四边形 且相等 矩形 同上
边
角
四个角是 直角
对角线
互相平分 且相等
对称性
中心对称
既轴对称 又中心对称
对角相等、 两条对角线 邻角互补 互相平分
菱形
正方形 等腰 梯形
对边平行、 对角相等、 互相垂直平分 四边相等 邻角互补 且平分对角
A E B
F MC
D
提示:作辅助线,分别过点 A,D作AF⊥BC,DM⊥BC,垂 1 1
足分别是F,M; 则有 DM AF BC BD. 由此可得∠DBC=300.
2 2
Hale Waihona Puke 5.如图,在四边形ABCD中,AB=DC,M,N分别是BC和AD的中 点,连接MN并延长与BA,CD的延长线分别相交于点G,P. 求证:∠1=∠P.
同上 同上 轴对称
同上
两底平行 不相等， 两腰相等 不平行。
四个角 是直角 同一底上 的两个角 相等
互相垂直平分且 相等；平分对角
对角线 相等
几种特殊四边形的常用判定方法 平行 四边形 (5) 两组对角分别相等；
(1) 两组对边分别平行; (2) 两组对边分别相等； (3) 一组对边平行且相等； (4) 两条对角线互相平分；
A F
M
B
E
N G
D
C
2.连接梯形两腰中点的线段,叫做梯形的中位线.求证, 梯形中位线平行于两底,且等于两底和的一半.
A E D F
B
C
M
3.求证,连接梯形两条对角线中点的线段平行于两底, 且等于两底差的一半.
A
G B
N
D
H C
提示:连接AG并延长与BC交于点N;
4.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AC,且 AB=AC,BD=BC,AC与BD相交于点E. 求证:CE=CD.
A E B F C o G H
D
8.过矩形ABCD的一个顶点D作对角线AC的平行线.交BA 的延长线于E, 则△DEB是 A．等边三角形 B．等腰三角形 C.不等边三角形 D．直角三角形
E A
D O F
C
B （2）
因为四边形ABCD为平行四边形. 则AO＝OC，DO＝OB 又AE＝FC AO－AE＝OC－FC 即EO＝FO 又因为 DO＝OB 则四边形EBFD为平行四边形 所以BF＝DE
练一练
1.下列条件能判定一个四边形是平行四边形的是( D )
A. 一组对边相等 C. 两条对角线相等
B. 一组对边平行 D.两组对角分别相等
2.以三角形的三个顶点为其中的三个顶点作形状不同的 平行四边形，一共可以作出 （ C ） A.1个 B．2个 C.3个 D．4个
E
D
3.下列判定四边形为平行四边形的方法中.错误的是 ( D ) A.两组对边分别相等 B.一组对边平行且一组对角相等 C.两组对角分别相等 D.一组对边平行且另一组对边相等
(1) 有三个直角； (2)是平行四边形.且有一个角是直角； 矩形 （3） 是平行四边形，并且两条对角线相等； （ ; 2）是平行四边形，且有一组邻边 菱形 （1）四条边都相等 相等； （3）是平行四边形，并且两条对角线互相垂直； （1）是平行四边形，有一个角是直角且有一组邻边 相等；（2）是矩形，且有一组邻边相等；（3）是菱 正方形 形，且有一个角是直角；（4）是矩形，对角线互相 垂直；（5）是菱形，且对角线相等。
三角形中位线的性质 模型: 连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形.
A H D
E
B F
G
C
要重视这个模型的证明过程反映出来的规律:对角线 的关系是关键.改变四边形的形状后,对角线具有的关 系(对角线相等.对角线垂直,对角线相等且垂直)决定 了各中点所成四边形的形状.
试一试
1.一块方角形钢板,试用一条直线,将其分为面积相等 的两部分.(要求:画出直线并标明直线的确切位置)
（ C
）
6.矩形具有平行四边形不一定具有的性质是 ( D A.对角相等 B.对角线互相平分 C.对边平行且相等 D.对角线相等
)
7.下列命题: (1)顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形； (2)顺次连结四边形四边中点所得的四边形是平行四边形. (3)顺次连结平行四边形四边中点所得的四边形是平行四边形. (4)顺次连结矩形四边中点所得的四边形还是矩形． 其中错误命题的个数为 ( A ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.下列说法正确的是 ( D ) A.有一个角是直角的四边形是矩形 B.两条对角线相等的四边形是矩形 C.两条对角线垂直的四边形是矩形 D.两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形
5.能判定四边形是菱形的条件是 A.两条对角线相等 B．两条对角线互相垂直 C.邻边相等的平行四边形 D．两条对角线相等且互相垂直
P
提示:作辅助线,连接BD,取BD的 中点Q,连接MQ,NQ. 则有QM∥DC,QN∥AB.
1 1 QM DC , QN AB. 2 2
G A
Q. 1N
D
B
M
C
由∠QNM=∠1,∠QMN=∠P,可得证.
6.如图所示，在平行四边形ABCD中.点E、F在对角线AC上， 且AE＝CF.请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某 一点连成一条新线段，猜想并说明它和图中已有的某一 条线段相等（只须说明一组线段相等即可）. （1）连结____________； （2）猜想:____________＝______________； （3）说明所猜想的结论的正确性.