第13讲分解质因数
【专题精华】
一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。

把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来叫做分解质因数。

应用分解质因数的方法，能启发我们寻找解决难题的突破口，从而顺利解题。

【教材深化】
[题1] 一个两位数除1477余49，这个数可以是多少？
[敏捷思维] 一个两位数除1477余49，如果1477减去49，差一定能被这个两位数整除，然后把差进行分解，分解时必须注意这个两位数必须比余数49大。

<全解> 1477-49=1428
1428=2×2×3×7×17
这样的两位数有：3×17=51 2×2×17=68 2×2×3×7=84
答：这个数可以是51、68或84。

<拓展探究> 利用分解质因数解决此题，关键要注意所求的两位数一定要比余数大。

[能力冲浪]
1、5100除以一个三位数，余数是95，这个三位数最大是多少？
2、两个质数的和是40，求这两个质数的乘积最大是多少？
3、有四个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们年龄相乘的积是360，其中年龄最大的一个是多少岁？
[题2] 班主任舒老师带领五（1）班同学去植树，学生按人数恰好平均分成三组，已知舒老师与学生共种了312棵树，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵。

这个班共有学生多少人？每人种树多少棵？
<敏捷思维> 312=23×3×13
若取312=3×104，104为师生总人数，则每人种树3棵，但104-1=103不是3的倍数，与题目中条件不符。

若取312=6×52，52为师生总人数，教师1人，学生51人，学生人数是3的倍数，则每人种树6棵。

若取312=8×39，39为师生总人数，教师1人，学生38人，学生人数不是3的倍数，与题目中学生按人数恰好平均分成三组不符。

<全解>因此，这个班共有学生51人，每人种树6棵。

<拓展探究> 知道两个数的积，要求这两个数，只要把这个积分解质因数，再根据题目中的条件适当组合就可以了。

[能力冲浪]
1、班主任李老师带领三（三）班同学去种树，学生人数恰好平均分成3组，如果老师与学生每人种树一样多，共种572棵树。

那么这个班共有学生多少人？每人种多少棵树？
2、有3个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，他们年龄之积为2184，3个小朋友的年龄各是多少？
3、张爷爷今年84岁，他告诉邻居：“我家有3个孙子，他们三个年龄的乘积才有我这么大，而且这三个孙子中，有两个孙子的年龄的和正好是另外一个孙子的年龄。

”问这三个孙子各几岁？
【生活数学】
[题3] 在射箭运动中，每射一箭的环数是0（脱靶）或者是不超过10的自然数，甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭的环数的积都是1764，但甲的总环数比乙的总环数多4环，求甲、乙两人的总环数各是多少？
<敏捷思维> 1764=9×7×7×4×1 1764=7×7×4×3×3
甲射的五箭环数是7环、7环、9环、4环、1环，乙射的五箭环数是7环、7环、4环、3环、3环。

<全解> 因此甲射的总环数是28环，乙射的总环数是24环。

<拓展探究>
将1764分解质因数1764=2×2×3×3×7×7，再经过试探组合成五个数的积，并且两组的和相差4，只有这两种环数是满足要求的。

[能力冲浪]
1、夏心怡是一名四年级的学生，她说：“这次考试，我的名次乘我的年龄再乘我的考试分数，结果是2910。

”你能算出夏心怡的名次、年龄与她这次考试的分数吗？
2、一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米。

那么，这个长方体的表面是多少平方厘米？
3、2002年哪几天，年数、月数、日数的乘积恰好等于120120？
[题4]饶向东用2.16元买一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还能多买3张。

问饶向东买了多少张画片？
<敏捷思维> 由题意可知，画片的单价×张数=216分。

它们乘积的质因数与216的
质因数相同。

我们可以先把216分解质因数，216=23×33=8×27=9×24，显然216分可以买8分的画片27张，也可以买9分的画片24张，所以饶向东买了24张画片27张，符合题意。

[全解] 饶向东买了24张画片。

<拓展探究> 解此题的关键是会把总价进行转化。

要明白画片的单价乘张数等于总价，然后再根据分解的质因数适当组合就行了。

[能力冲浪]
1、一个质数加上6或者减去6得到的数仍是质数，在50以内有多少个这样的质数。

2、自然数a乘2376，所得的积正好是自然数b的平方，求a最小是多少？
3、把750元奖金平均分给若干个获奖者，如果每人所得的钱数化成角为单位的钱正好是得钱人数的12倍。

求获奖人数和每人分得的钱数。

【感受奥赛】
[题5]把若干自然数1、2、3、……乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？
<敏捷思维> 因为这个乘积末尾零的个数都是由这个数质因数中2的个数及5的个数决定的，所以要使乘积值末尾有13个零，就必须要13个因数2和13个因数5，显然，在若干个连续自然数中，2的个数比5的个数多，因此，只要凑够5的个数就行了。

<全解>在5、10、15、20中各含有一个因数5，25中含有两个因数5；30、35、40、45中各含有一个因数5，50中含有两个因数5；55含有一个因数5，即有13个5，因而最后出现的自然数最小应该是55。

<拓展探究> 积的末尾0的个数是由2和5的个数决定的。

[能力冲浪]
1、如果要使连乘积“745×32×20×a”算式积的末五位数都是0，a应填入的自然数最小应是。

2、把若干个自然数1、2、
3、
4、……乘在一起，如果已知这个乘积的最末十三位数恰好都是零，那么最后出来的自然数最大应该是几？
3、1×2×3×4×5×……×99×100的积的末尾连续有多少个的零？
13、分解质因数提高篇
1、扬长小学五（2）班同学在班主任饶老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生种树一样多，共种了1073棵。

那么平均每人种了多少棵树？
2、一个数a与60的乘积为完全平方数，求a的最小值和这个完全平方数。

3、有1、2、3、
4、
5、
6、
7、
8、9九张牌，甲、乙、丙三人各拿了三张。

甲说：“我的三张牌的积是48。

”乙说：“我的三张牌的和是15。

”丙说：“我的三张牌的积是63。

”问他们各拿了哪三张牌？
4、要使4个数的积175×72×225×□的结果的最后六位数都是零，问□中的数最小填入几？
5、有3个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，而且3个数的乘积是15400。

试求这3个自然数。

6、已知五个数依次是13、12、15、25、20。

它们每相邻的两个数相乘得到四个数，这四个数每相邻两个相乘得到三个数，这三个数每相邻两个相乘得到两个数，这两个数相乘得一个数，请问最后这个数从个位起向左数，可以连续地数到几个0？
7、心怡和张颖计算甲、乙两个大于1的自然数的乘积，心怡把甲数的个位数字看错了，得乘积473，张颖把甲数的十位数字看错了，得乘积407。

那么甲、乙两数的乘积应是多少？
8、把111222个棋子排成一个长方阵，每一横行的棋子数比每一竖行的棋子数多1，这个长方阵每一横行有多少棋子？
9、将下面八个数分成二组，每组4个数，要求各组4个数的乘积相等：14，33，35，39，30，75，143，169。

10、武汉东湖公园用几条船分5次将150名游客渡过河去，已知每次船载的人数相等且至少载2人，每次应用多少条船？每条船载多少人？（2006年武汉某重点中学招生试题）。