B1 cost B2 sint
(B1t p Bpt Bp1)eat cost (B1t p Bpt Bp1)eat sin t
例2-3
求微分方程
d3 dt 3
r(t)
7
d2 dt 2
r(t)
16
d dt
r(t)
12 r (t )
e(t)
的齐次解。
解：特征方程 特征根
3 7 16 12 ( 2)( 3)
微分方程的建立
例2-1 图示为RLC并联电路，求并联电路的输出电压
v(t) 与激励源 iS(t) 之间的关系。
解：
电阻： 电感：
iR (t) iL (t)
1 v(t)
R
1 L
t
v(
)d
iS
(t
)
iR R
iL
iC
LC
v(t)
电容：
iC
(t)
C
d dt
v(t
)
1
根据基尔霍夫电流定律：R
v(t)
特征方程 6
(
特征根
2, 4
齐次解 rh (t)
rh (t) A1e2t A2e4t
2）求非齐次方程 r(t) 6r(t) 8r(t) e(t)的特解 rp (t) 由输入e(t) 的形式，设方程的特解为
rp (t) Bet
将特解代入原微分方程
rp(t) 6rp(t) 8rp (t) et
R2iL
(t
)
e(t)
d dt
iL
(t)
R1 L
i(t)
R2 L
iL
(t)
1 L
e(t)
R1i(t) vC (t) e(t)
求导
C
R1
d dt
i
i(t) C
(t)
d dt
vC
d C
dt (t)
vC (t) iL (t)
C
d dt
e(t
)
R1C
d dt
i(t)
i(t
)
iL
(t
)
C
d dt
e(t)
i(t)
1 R1C
R2 L
d dt
i(t)
1 LC
R2 R1LC
i(t)
1 R1
d2 dt 2
e(t)
R2 R1L
d dt
e(t)
1 R2 LC
e(t)
把电路参数代入，得：
d2 dt 2
i(t
)
7
d dt
i(t)
10i(t)
d2 dt 2
e(t)
6
d dt
e(t)
4e(t)
(2)求系统的完全响应
d dt
i(t
)
1 R1C
i(t)
1 R1C
iL
(t)
1 R1
d dt
e(t)
再消去变量iL (t)得：
1 R1C
d dt
iL
(t)
1 R1C
R1 L
i(t)
1 R1C
R2 L
iL (t)
1 R1C
1 e(t) L
R2 L
d i(t) R2
dt
L
1 i(t) R2
R1C
L
1 R1C
iL
3B1 1 4B1 3B2 2 2B1 2B2 3B3 0
联立求解
B1
1, 3
B2
2, 9
B3
10 27
所以，特解为
rp
(t)
1 3
t
2
2 9
t
10 27
(2) 当e(t) et时，选择特解函数形式
rp (t) Bet
代入方程得
d2 dt 2
(Bet
)
2
d dt
(Bet
)
3(Bet
1 L
t v(
)d
C
d dt
v(t)
iS (t )
iR (t) iL (t) iC (t) iS(t)
C
d2 dt 2
v(t)
1 R
d dt
v(t)
1 L
v(t)
d dt
iS
(t
)
例2-2 图示为机械位移系统，质量为 m 的刚体一端由
弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面的摩
擦系数为 f ，外加牵引力为FS(t) ，求外加牵引力 FS(t) 与刚体运动速度 v(t) 间的关系。
1 2(重根)，2 3
齐次解为
rh (t) ( A1 A2t)e2t A3e3t
例2-4
给定微分方程 d2 dt 2
r(t) 2 d r(t) 3r(t) dt
de(t) e(t) dt
如果已知：(1)e(t) t2;(2)e(t) et ,分别求两种情况下此方程
的特解。
解：(1) 将e(t) t2代入方程右端，得到t2 2t，为使两端
解：由机械系统元件特性：弹簧
在弹性限度内,拉力Fk与位移
k
m
FS
x成正比，x(t) t v( )d ,设
f
刚度系数为k，有 Fk (t) k t v( )d
Ff (t) f v(t)
牛顿第二定律
Fm
(t)
m
d dt
v(t)
m d v(t) dt
f
v(t) k t v( )d
FS (t )
e(t)
6
d dt
e(t
)
4e(t)
e(t )
解：(1)t=0时的微分方程表示为
d2 dt 2
i(t
)
7
d dt
i(t
)
10i(t
)
4V 2V
2 (t) 12 (t) 8u(t)
o
t
(2)已知i(0 ) 4 5A和i(0 ) 0A s，
用冲激匹配法求i(0 )和i(0 )。
i(t) a (t) b (t) cu(t) i(t) a (t) bu(t)
方程右端存在 (t) d r(t)必定含3 (t)
dt
r(t)必定含3 (t)
r(t)在时刻 t 0必定含 9u(t)
d r(t)还必定含 9 (t)
dt
r(0 ) r(0 ) 9
方程右端含 (t)，它一定属于r(t),因而可以设
r(t) a (t) b (t) cu(t)
r(t) a (t) bu(t)
a (t) b (t) cu(t) 3a (t) bu(t) 3 (t)
a 3 b 3a 0 c 3b 0
a 3 b 9 c 27
所以 r(0 ) r(0 ) 9
例2－6 用冲激平衡法求例2－5的完全响r(t)。
d2 dt 2
i(t)
7
d dt
i(t)
10i(t)
d2 dt 2
(i n) 2
rh (t) et ( A1 cost B1 sin t) eit ( Ai cosit Bi sin it)
常用激励信号对应的特解形式
激励函数 e(t)
E（常数）
tp eat
cost sin t t peat cost t peat sin t
响应函数 r(t)的特解 B B1t p B2t p1 Bpt Bp1 Beat
rh (t) rp (t)
齐次解 rh (t) 的形式
（1）特征根是不等实根 1,2,,n
rh (t)
A1e1t
A2e2t
Anent
n
Aieit
i1
（2）特征根是 k 重实根 1 2 k
k
rh (t) ( A1 A2t Aktk1)et ( Aiti1)et
i1
（3）特征根是成对共轭复根 i i ji
)]
11 4
6 5
A
14 A 5
d dt
i(0 )
1[d R1 dt
e(0 )
d dt
vC (0 )]
1 R1
d dt
e(0 )
1 C
i(0 )
iL
(0 )
154
4 5
A
s 2A s
(4)求i(t)在t 0时的完全响应
i(t)
A1e2t
A2e5t
8 5
(t 0 )
解得：
i
(0
)
A1
A2
e(t) 4V
e(t) 2V C 1F
L 1H 4
R2
3 2
解：(1)列微分方程
回路方程：
R1i(t) vC (t) e(t)
vC
(t)
L
d dt
iL
(t)
iL
(t ) R2
结点方程：
i(t
)
C
d dt
vC
(t
)
iL
(t
)
先消去变量vC (t)得：
R1i (t )
L
d dt
iL
(t)
齐次解：特征方程
7 10
( 2)( 5)
特征根
1 2，2 5
齐次解为： ih (t) A1e2t A2e5t
(t 0 )
特解： 由于t 0时
e(t) 4V
方程等好右端为4 4，令特解为iP (t) B,代入方程
10B 4 4
所以
B 16 10 8 5
系统的完全响应为：i(t)
8 5
14 5
d dt
i(0 )
2 A1
5A2