专题：相似三角形的几种基本模型
（1）如图：DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC 称为“平截型”的相似三角形.
“A ”字型 “X ”（或8）字型 “A ” 字型
（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜截型”的相似三角形.
A
B
C
D E
1
2A
A
B
B
C
C D
D
E
E
124
1
2
（3） “母子” （双垂直）型 射影定理：
由_____________ ，得____________ __，即______________ _； 由_____________ ，得____________ __，即______________ _； 由_____________ ，得____________ __，即______________ _。

“母子” （双垂直）型 “旋转型”
（4）如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形. （5）一线“三等角”型
“K ” 字（三垂直）型
（6）“半角”型
图1 ：△ABC 是等腰直角三角形，∠MAN=
1
2∠BAC ，结论：△ABN ∽△MAN ∽△MCA ； 1
A
B
E
A
D
C
A
B
D
E
A
A
B
C C D
E
E B
E A
C
D
1
2A
B
C
D 图2
图1
旋转
N M
60°
120°
E D
C
B
A 45°
D
C B A
应用
1．如图3，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝8，BC ＝6，DE ＝3，则AD 的长为 ( ) A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，那么在下列三角形中，与△ABC 相似的三角形是 ( ) A ．△DBE B ．△AED 和△BDC C ．△ABD D ．不存在
图3 图4 图5
3．如图5, □ABCD 中, G 是AB 延长线上一点, DG 交AC 于E, 交BC 于F, 则图中所有相似三角形有( )对。

A.4 对 B. 5对 C.6对 D. 7对
4．如图6，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，在下列条件下：①∠AED ＝∠B ；②AD ∶AC ＝AE ∶AB ；③DE ∶BC ＝AD ∶AC .能判定△ADE 与△ACB 相似的是 ( )A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．① 5．如图7，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论：①BC ＝2DE ；②△ADE ∽△ABC ； ③
AD AE ＝AB
AC
.其中正确的有 ( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个
6．如图8，添加一个条件：_____________________________，使得△ADE ∽△ACB .(写出一个即可)
7．如图9，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B =∠C =90°，点E 在BC 边上，AB =3，CD =2，BC =7．若△ABE 与△ECD 相似，则CE =___________．
图6 图7 图8 图9 8．如图10，已知∠C ＝∠E ，则不一定能使△ABC ∽△ADE 的条件是 ( )
A ．∠BAD ＝∠CAE
B ．∠B ＝∠D C.B
C DE ＝AC AE D.AB A
D ＝AC
AE
9．如图11，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝1
4CD ，下列结论：①∠BAE ＝30°，
②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ， ④△ADF ∽△ECF .其中正确的个数为 个。

图10 图11
A
B
F
C
D
E
G
A
B
C
D
E
A B
C
D
E F
10.如图12，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，BD =2，AD =8，则CD =______，AC =______，BC =______．
11．如图13，在平面直角坐标系中，直线1
=
+22
y x 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作矩形ABCD ，使AD =5．则点C 的坐标为_______，点D 的坐标为_______．
图12 图13 图14 图15
12．如图14，把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA ，OC 分别落在x 轴、y 轴上，连接OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点A ′的位置上．若OB =5，
1
2
BC OC =，则点A ′的坐标为________． 13．如图15，在边长为 9的正三角形ABC 中，BD ＝3，∠ADE ＝60°，则 AE 的长为_____．
14．四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，EF 与BD 相交于点M . (1)求证：△EDM ∽△FBM ； (2)若DB ＝9，求BM .
15．在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于E .求证：△ABD ∽△CBE .
16.如图，在△ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，AD ，BE 交于点F ．求证：1
2
DF AF =． A'
A
B
C
y x
O
O
x
y
D
C
B
A
C
D
B
A
17．如图所示，Rt △ABC 中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 在BC 上运动(不能到达点B ，C )，过点D 作∠ADE ＝45°，DE 交AC 于点E . (1)求证：△ABD ∽△DCE ；
(2)当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．
18．如图，已知矩形ABCD 的边长AB ＝3 cm ，BC ＝6 cm.某一时刻， 动点M 从A 点出发沿AB 方向以1 cm/s 的速 度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点 出发沿DA 方向以2 cm/s 的速度向A 点匀速运动，问： (1)经过多少时间，△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的1
9
(2)是否存在时刻t ，使以A ，M ，N 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．。