锐角三角函数的题型及解题技巧
锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳 出
锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。

、
化简或求值
例1
(1) 已知tan 2cot 1，且 是锐角，求乙tan 2
cot 2 2的值。

(2) 化简 a sin
bcos ? acos
bsin ?。

分析 （1）由已知可以求出tan 的值，化简・、tan 2
cot 2 2可用 1 tan cot ； （2）先把平方展开，再利用sin 2 cos 2
1化简
解（1）由tan 2cot 1得tan 2
2 tan ，解关于tan 的方程得
tan 2或 tan 1。

又是锐角，二 tan 2。

二、tan 2 cot 2
2 = 1 2 2 2，「
tan cot 2 = tan cot
(2) a sin bcos ? acos bsin
2
-2 ・ 2 2
cos b sin cos = a
、已知三角函数值，求角
求C 的度数。

分析 几个非负数的和为0，则这几个数均为0。

由此可得cosA 和sin B 的 值，进而求出 代B 的值，然后就可求出
C 的值。

\ tan 2
2tan cot cot 2 = ： (tan cot )2
tan
cot
由tan
得cot
a 2 sin 2
2ab sin cos
b 2 cos 2 + a 2 cos 2
2ab cos
sin
b 2s in 2
2 2
a sin
2
b 2
tan 说明 在化简或求值问题中，经常用到 cot 1 等。

“ 1” 的代换, 即 sin 2
2
cos
J 2 例2在厶ABC 中，若cosA —
2
.3 2
sin B
0 A, B 均为锐角，
3
cos A J 0, cos A
2
解由题意得
2 解得
2
又T A , B 均为锐角,
sin B 0.
sin B
2
3
A 45o , B
60o o / • C
180o
A
B 75o .
说明 解这类问题首先要熟记特殊角的三角函数值， 还要掌握一些化简的技 巧。

三、 已知锐角的一个三角函数值，求其余三角函数值 例3已知tan 2，求
sin
一co
^
的值。

sin cos
分析T tan
2，根据三角函数的定义，构造如图1的直角三角形，使
C 90o ， AC a ， BC 2a ，就可求出 sin ,cos 。

解根据三角函数的定义，构造如图1的直角三角形，使C 90°，AC a ， BC
2a 。

则 tan 2，
AB J a 2
2a $ x/5a 。

. sin
罟静，
AC 亦 AB 5
cos
9i
.sin cos 2
苗
5
5 1 /
sin cos -45 5 1亦 5
3/5 。

3 v /_厂 c 图1 说明构造直角三角形解题，特别是解几何问题是应用比较广泛的一种方
法。

四、比较大小
例4若太阳光线与地面成37°的角，一颗树的影长10米，取3 1.7，则
树高h 的范围是（）
A 3 h 5
B 5 h 10
C 10 h 15
D h 15
分析T h 10 tan37o ，利用正切函数的性质估算出tan37o 的范围即可。

说明 掌握三角函数函数值随自变量的变化的性质， 正确估算是解此题的关 /. 10 tan30 10 tan37o
10 tan45o
，10
1.7
h 10 1，即 5 h 10。

故选 B o
解 T 30o 37o 45o ，二 tan30o tan37o tan45o 。

而 h 10 tan37o ， 键。

五、求齐次式的值 例5 已知tan 2，（ 1）求 一3cos
的值；
2cos 5sin
（2）求 2sin 2 sin cos
cos 2 的值。

分析（1）可以仿造例3构造直角三角形求解。

亦可考虑sin 、cos 及tan 的关系，在戲的分子、
2cos 5sin
说明如果所求代数式是关于sin 和cos 的齐次式或可转化为sin 和
cos 的齐次式，可把原代数式转化成关于tan 的代数式求解。

分母同时除以cos ，转化为tan
的代数式,
然后求值；（2） 2sin 2 sin 仿造（1）
求解。

解 (1) tan
2，
sin 3cos
2cos 5si n
(2)v tan
2，
•I 2sin 2
sin cos
2
cos
2 22 2 1 7
22 1。

5
cos 2
的分母是1，利用sin 2
tan 3
2 5ta n
cos 2
2
cos
2
2 tan tan
tan 2
1
丄。

12
cos
2sin 2
sin cos
~2
2
sin cos
sin 3cos
= cos 2cos 5sin cos。