如何调整 m 及 KN 使得上质点不振动？
例题5
m2
P2 t EI
EI1
EI
L
m1
P1t EI1
EI
EI
L
K 21 K11
y2 t y1 t
K 22 K12
K 21 K11
K 22 K12
12EI K11 4 L3 k1 k2
K12
K21
2 12EI L3
k2
K 22
2
12EI L3
yn (t)
y j (t)
y2 (t ) y1(t)
二、振动方程的解
当动荷载为简谐荷载时，稳态振动解，亦即动力位移反应。 其形式为
y(t) Asint
三、振型叠加法
1. 主振型的正交性
刚度法表示的振型方程 K 2 M A 0
考虑第
j
振型方程
[K
]
2 j
[M
]
Aj
0
[K
]
Aj
2 j
M
Aj
即，my1t
24EI 5L3
y1(t)
EA L
2
y2
(t
)
y1t
0
my2 t
L 2
6EI L3
2
y2 t
2L
EA L
2 y2
t
y1t
L
Pt
L
运用之妙，存乎于心 正确的受力分析，是解决问题的前提
你能画出下列结构的变形图吗？
q
EI
平衡方程：
FEK1 m1y1t 0
FEK2 m2 y2 t P sint
m1
FEK1 m1y1t
m2
FEK2 m2y2t P sint
恢复力FEK1及FEK2都是刚架提供的
求恢复力
2个质点分别有不同的位移，不容 易确定各自恢复力的大小。为此， 仍然采用叠加法。
1 2
1 3 i /L
K11 K21
y1(t y1(t
) )
m12 y2 (t) m22 y2 (t)
1P 2P
s in t s in t
4）求方程中各系数
P=1
P=1
2
y2 t
m
y1t
P=1
2
MP图
M1
2
M2
求出各系数
11
32 3EI
12
21
4 EI
1P
4 EI
4.4444104
22
8 3EI
2P
8 3EI
2.9629104
K12
1
3 i /L
K22
6 i /L
支杆 1 单位位移
6 i /L
6 i /L
支杆 2 单位位移
❖ 求恢复力
当质点各有位移 y1t ，y2t 时，由叠加原理
FEK1 K11 y1(t) K12 y2 (t)
FEK 2 K21 y1(t) K22 y2 (t)
3i 式中 K11 L2
K12
5） 解方程
y1 y2
(t (t
) )
A1 sint A2 sint
代入振动方程
m(m211122A1 1)
A1 m m 22 2
2
12
1
A2 A2
1P 2P
解得两质点的位移幅值（最大动位移）：
A1 1.7391 10 4 米 A2 1.5459 10 4 米
6）作最大动力弯矩图
P=1
P=1
2
P=1
2
MP图
M1
2
M2
M max M P M1 I1 max M 2 I2 max
❖ 最大惯性力 I my(t) m 2 Asint
I1 max 0.7826
I
2
max
0.6957
P=1
P=1
2
P=1
2
MP图
1.5652
M1
2
M2
1.5652
1.8261
动载向右
AiT [K]
Aj
2 j
Ai
T
M
Aj
0
-----------（1）
由（1），（3）两式相减，得
2 i
2 j
Ai
T
M
Aj
0
由于 i ≠ j ，所以有
Ai T M Aj 0 振型关于质量矩阵的正交性，又称为第一正交性
Ai T [K] Aj 0 振型关于刚度矩阵的正交性，又称为第二正交性
整理后得
y1 (t) 10 4 (1.67 sint 0.302 cost)
y2 (t) 10 4 (0.8573 sint 0.4233 cost)
y1 (t)max 1.697 10 4
y2 (t) max 0.956 10 4
与不考虑阻尼影响比较，质点的竖向最大位移由于阻尼的 作用减小了2.4%；水平位移减小了38.0%。
A1 1.7391 10 4 米 不考虑阻尼影响结果 A2 1.5459 10 4 米
例题4
L
P sin t
K12
m K
m
K11 m
K m
m K
m
K22
K11
K 22
3EI L3
KN
K21 KN
K21
P sin t
m y1t
K m
y2 t
L
m1y1t K11 y1(t) K12 y2 (t) P sint m2 y2 t K21 y1(t) K22 y2 (t) 0
动载向左 2.1738
例题3
用振型叠加法求解图示质点处的最大位移，已知，
ξ1=ξ2=0.10 ，动力荷载幅值为1KN ，
4E，I
mL3
EI=9×103kN·m2
1sinθt
解：1)求自振频率和振型
1 0.285
EI m
EI EI
m 2m
2 0.995
EI m
2m
A1 1.0 0.414 T
A2 1.0 2.414T
4EI mL3
1sinθt
1sinθt
y2 t
m
EI EI
m 2m
y1t
2m
解：1 ) 2个动力自由度，用柔度法 2）任意时刻 t 质点的位置如图
3）振动方程的形式
建立方程的依据：
y1t , y2 t 由2 个方向的惯性力
及动力荷载共同产生
1sinθt
y1(t) y2 (t)
m11 m 21
n
❖ 又可写作 y(t) q j (t) Aj
j 1
现考虑有阻尼的强迫振动，其振动方程为：
M y(t) Cy(t) K y(t) P(t)
C11 C12 C1n
C C21
C22
C2n
Cn1
Cn2
Cnn
n
FDi Cij yj (t) j 1
称为阻尼矩阵。其意义如下
i =1，2，...，n 。它是由各质 点的速度引起的在 i 质点的阻 尼力的叠加
y1 y2
t t
P
0
s in t
L2
以 y(t) Asint 代入方程中
3i
m
0
0 m
2 2
A1 A2
LL32 i2
3i L2
27i
L2
A1 A2
0 P
PL2
A1 A2
2
39i P L2
此就是最大动位移
39i
❖ 4)最大动力弯矩图
1 K11
6EI
1.0 0.414
0.095EI
7
P1* (t) A1T P(t) 1.0
0.414
P
0 sin
t
1
M
* 1
0.3534 sint
m
q1 (t)
21
1q1 (t)
2 1
q(t
)
P1* (t)
-------（1）
M
* 2
6.827 m
K
* 2
6.761 EI
P2*
(t)
0.3536 m
2. 振型叠加法
n个质点的振动具有n个振型，这n个振型是线性无关的，在
数学上构成n维空间的一组基底。故，n个质点的振动的位
移反应可写作 y(t) Aq(t)
A11 A12 A1n
A
A21
An1
A22 An2
A2n
Ann
A1
A2 An
------称为振型矩阵
q(t) q1(t) q2(t) qn (t)T 称为广义坐标
0
在上式中左乘 Ai T
AiT [K]
Aj
2 j
Ai
T
M
Aj
0
-----------（1）
再考虑第 i 振型 [K ]Aii2M Ai 0
在上式中左乘 Aj T Aj T [K]Aii2 Aj T M Ai 0 ----------(2)
求（2）式的转置
AiT [K] Aj i2AiT M Aj 0 -----------（3）
k2
k1, k2为底层刚度和上层刚度
m1y1t K11 y1(t) K12 y2 (t) P1t
m2 y2 t K21 y1(t) K22 y2 (t) P2 t
例题6
m
EI
EI
A
L
m
EI
EI1=∞
Pt
L
L/2 L/2
y1 t
y2 t
y1 t