平面解析几何（直线和圆的方程、圆锥曲线）专题17.0 圆锥曲线几何性质如果涉及到其两“焦点”，优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其“焦点”、“准线”或 “离心率”，优先选用圆锥曲线第二定义；此外，如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余 弦定理等几何性质的应用•PF t +PF 2| =2a 》£沪2方程为椭圆，椭圆方程的第一定义：PF 1 - PF 2 =2a F I F 2无轨迹，PF 1 - PF 2 =2a = F t F 2以F"F 2为端点的线段 |PF t _PF 2| =2aYF t F 2方程为双曲线双曲线的第一定义： PF 1 _PF 2 =2a - F 1F 2无轨迹PF i -PF 2 =2a=F i F 2以F i ,F 2的一个端点的一条射线圆锥曲线第二定义（统一定义）：平面内到定点F 和定直线|的距离之比为常数e 的点的轨迹.简言之就 是“ e=点点距（数的统一）”，椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统一）如右图.点线距当0 e 1时，轨迹为椭圆； 当e =1时，轨迹为抛物线； 当e -1时，轨迹为双曲线；当e =0时，轨迹为圆（e =£，当c =0, a =b 时）.a圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势b=・,1 —e 2、双曲线中 b . e 2 -1 . a a圆锥曲线的焦半径公式如下图：特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几 何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点17.1圆锥曲线中的精要结论:.其中e =c ，椭圆中aa exa —ex=1:1.焦半径：2 2(1)椭圆2+ y2=1(a Ab =0): PR = a + ex；3, PF2 = a —exj ；(左+ 右- a b2 2椭圆X2+E—1(a >b>0):b aa2 a2PR =6(X0 —)=a+ex)(X0<0), PF2 =e(—-X0)=ex)-a(X0〉O)c c=1:2 2筈•与=t(t 是大于0的参数，a -b -0)的离心率也是e=£，我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. a 2 b 2 a5. 双曲线中的结论：2 222(1) 双曲线W 1 ( a 0,b 0)的渐近线：D 0 ；2.2 2 .2a ba bb 2 2(2) 共渐进线y = _bx 的双曲线标准方程为 D (-为参数，■工0)；a a 2b 2(3) 双曲线焦点三角形：2⑵双曲线冷-a 2b 2 “长加短减”原则:MF ! =ex 0 aM F - _ex 0 _a构成满足MF ! _MF 2|=2aMF 2 =ex 0 -aM F 2 - -ex 0 a(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算， 而双曲线不带符号)MF j =ey 0 -aMF 2 = ey 0 aM F i = —ey o M F 2 = -ey 0⑵抛物线：PF =x 0 +卫22.弦长公式:AB = 1 k 2 X 2 - X i = (1 k 2)[(x i X 2)2 -4X I X 2】n 二(i：2)[(y i y 2)2 -4%y 2]；【注】：(1)焦点弦长：i .椭圆：| AB 2a _&为• x 2)；.抛物线：AB 为 * X 2 * p - p； sin «(2)通径(最短弦) i .椭圆、双曲线： ii .抛物线：2p .2b 2 a2 23. 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：mx • ny =1( m, n 同时大于 时表示双曲线)； 4. 椭圆中的结论：(1) 内接矩形最大面积：2ab ；1 111(2) P, Q 为椭圆上任意两点，且 OP _0Q ，贝U - - m|OP | |OQ| a b(3) 椭圆焦点三角形：9,,0时表示椭圆,ii .点M 是PF |F 2内心，⑷当点P 与椭圆短轴顶点重合时⑸共离心率的椭圆系的方程：椭圆PM 交 F 1F 2于点 N ，则 L PM _|；| MN | c—F 1PF 2 最大;2 2务与=1(a -b -0)的离心率是a be =* (c = . a 2 -b 2)，方程a2 0 ①i - S PF 1F 2 = b cot —,(寸=F 1PF 2);2 2ii . P 是双曲线X 2 —与=1(a >0, b > 0)的左(右)支上一点，F i 、F 2分别为左、右焦点，则厶PF 1F 2 a b 的内切圆的圆心横坐标为 _a,(a)； ⑷等轴双曲线：双曲线x 2_y 2 离心率e =$2 . 二a 2称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y 二x(渐近线互相垂直)， (5)共渐近线的双曲线系方程:△ =0时，它的双曲线方程可设为 a b (6)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴, 2线.笃 a⑺若P 在双曲线 2y 孑2 Xa 则P 到两准线的距离比为 _e_ PF? 简证：岂二d 22 2 2 $_牛「(，0)的渐近线方程为笃 a 2 b 2 a 2 2 2 —(=0). a b 2V 如果双曲线的渐近线为 二二枭互为共轭双曲线, 2 一一爲=1，则常用结论 b 2 m ： n . 实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲 2 2 —0 . a 2 b 2 ▲它们具有共同的渐近线: 1 : P 到焦点的3331xye常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离(8)直线与双曲线的位置关系：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计 2条；即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线， 合计3 条; 2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计 4条；即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线， 即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.等于b . 区域① 区域② 区域③ 区域④ 区域⑤ 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入 根之和与两根之积同号.6.抛物线中的结论：(1)抛物线y 2 = 2 px ( p ■ 0)的焦点弦AB 性质：2 p %X 241 | AF |•以AB •以AF ii .iii iv v . S .AOB (2)抛物线y 2x 1x 2 2y 1 y 2 - - p ;|BF | p '为直径的圆与准线相切；(或BF )为直径的圆与y 轴相切; 2P 2 sin :^2 px (p - 0)内结直角三角形 OAB 的性质:2 2=4P ,y 』2 = -4P ；ii . I AB 恒过定点(2p,0)；iii .代B 中点轨迹方程：y 2二p(x-2p)；iv . OM _ AB ，则 M 轨迹方程为：(x - p)2 y 2 二 p 2 ； 2V . (S AOB ) min _ 4 p .合计 2条; 0、2、 3、4 条. 法与渐近线求交和两(3)抛物线y2=2px (p .0)，对称轴上一定点A(a,0)，则：i .当0 ：：：a < p时，顶点到点A距离最小，最小值为a ；2 ii .当a . p时，抛物线上有关于x轴对称的两点到点A距离最小，最小值为2ap-p .17.2、两个常见的曲线系方程(1) 过曲线f i(x,y) =0, f2(x,y) =0的交点的曲线系方程是f i(x,y) ■ f2(x,y)=0(■为参数).2 2(2) 共焦点的有心圆锥曲线系方程二2y i,其中k :: max{a2,b2}.a2—k b2—k2 2 2 2 2 2当k ::: min {a ,b }时,表示椭圆；当min {a ,b } . k .max{a ,b }时,表示双曲线.17.3、圆1、圆系方程(1)过点A(N, yj , B(X2, y?)的圆系方程是(x - x1)(x - x2) (y - y1)(y - y2)，[(x - x1)(y1 - y2)- (y - y1 )(x1 - x2)] = 0(x -xj(x -X2) (y — yj(y -y2)“ ■ (ax by c) = 0 ,其中ax by c=0 是直线AB 的方程，入是待定的系数.2 2⑵过直线l : Ax By C = 0与圆C：x y Dx Ey 0的交点的圆系方程是2 2x y Dx Ey F (Ax By C) =0,入是待定的系数.2 2 9 2⑶过圆G ：x y D1x E1 y F^ 0与圆C?: x y - D2x E2y F2 = 0的交点的圆系方程2 2 2 2是x y D1x E1y F^ ■ (x y - D：x - E z y • F2) = 0 ,入是待定的系数.特别地，当■- -1 时，x2y2D1X ■E1y F1 (x2y2D2X ■ E?y ■ F2) = 0 就是(D1 —D2)x ■ (E1 —E2)y ■ (F1 —F2) = 0表示：①当两圆相交时，为公共弦所在的直线方程；②向两圆所引切线长相等的点的轨迹(直线)方程，有的称这条直线为根轴；2、点与圆的位置关系：点P(x),y0)与圆(x-a)2• (y-b)2二r2的位置关系有三种若d = ,(a -x。
)2• (b-y。
)2，则d • r =点P在圆外；d =r =点P在圆上；d v r=点P在圆内.3、直线与圆的位置关系- 2 2 2Aa + Bb + C 直线Ax+By+C=0与圆(x—a) +(y—b) =r的位置关系有三种(d=—)：J A2+B2 d相离 u = ：：0 ；d=ru 相切=二=0 ；d :::r =相交=:0.4、两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为半径分别为r1,r2, O1O2 = dd •斤+匚=外离二4条公切线；d=r1+「2 :=外切=3条公切线；I；-r2| : d ：：叫+「2 =相交二2条公切线；d = % -「2二内切二1条公切线；0 ：：：d •朮兀：=内含=无公切线5、圆的切线方程及切线长公式2 2(1)已知圆x y Dx Ey F =0.①若已知切点(x°,y°)在圆上，则切线只有条，其方程是D(X Q +x) E(y ° + y) ___ x 0x y 0y- -F = 0.2 2当(心丫-)圆外时,x 0x y 0yX ) -E(y-9・F=0表示过两个切点的切2 2点弦方程.求切点弦方程，还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定 ② 过圆外一点的切线方程可设为y - y ° = k(x - x °)，再利用相切条件求k ，这时必有两条切 线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线.③ 斜率为k 的切线方程可设为 y = kx b ，再利用相切条件求b ，必有两条切线.2 2 2⑵ 已知圆(x-a) ・(y-b) -r 的切线方程.… 2 2 2①若P(x 。