第1讲直线与圆(小题)热点一直线的方程及应用1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.2.求直线方程要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.3.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2(A 2＋B 2≠0).(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2(A 2＋B 2≠0). 例1 (1)(2019·宝鸡模拟)若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( )A.1B.－2C.1或－2D.－32答案 A解析 ①当m ＝－1时，两直线分别为x －2＝0和x －2y －4＝0，此时两直线相交，不合题意.②当m ≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得⎩⎨⎧－11＋m ＝－m2，21＋m ≠－2解得m ＝1.综上可得m ＝1.(2)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( ) A.x ＋(2－1)y －2＝0 B.(1－2)x －y ＋2＝0 C.x －(2＋1)y ＋2＝0 D.(2－1)x －y ＋2＝0答案 C解析 如图所示可知A (2，0)，B (1,1)，C (0，2)，D (－1,1)，所以直线AB ，BC ，CD 的方程分别为y ＝1－01－2(x －2)，y ＝(1－2)x ＋2， y ＝(2－1)x ＋ 2. 整理为一般式即 x ＋()2－1y －2＝0，()1－2x －y ＋2＝0，()2－1x －y ＋2＝0.故选C.跟踪演练1 (1)已知直线l 1：x ·sin α＋y －1＝0，直线l 2：x －3y ·cos α＋1＝0，若l 1⊥l 2，则sin 2α等于( ) A.23 B.±35 C.－35 D.35 答案 D解析 因为l 1⊥l 2，所以sin α－3cos α＝0， 所以tan α＝3，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝35.(2)已知直线l 经过直线l 1：x ＋y ＝2与l 2：2x －y ＝1的交点，且直线l 的斜率为－23，则直线l的方程是( ) A.－3x ＋2y ＋1＝0 B.3x －2y ＋1＝0 C.2x ＋3y －5＝0 D.2x －3y ＋1＝0答案 C解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以两直线的交点为(1,1). 因为直线l 的斜率为－23，所以直线l 的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0. 热点二 圆的方程及应用 1.圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2.圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆.3.解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程. (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.例2 (1)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________. 答案 x 2＋y 2－2x ＝0解析 方法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0. 方法二 画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形， 故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 即x 2＋y 2－2x ＝0.(2)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，则△FPM 的外接圆的方程为________. 答案 ⎝⎛⎭⎫x ±4332＋(y －1)2＝163解析 由抛物线方程x 2＝4y ，可知 准线方程为y ＝－1，F (0,1)， 设P ⎝⎛⎭⎫x ，x24， ∵|PM |＝|PF |，由抛物线定义，可知PM 垂直于准线，可得M (x ，－1)， 又|PM |＝|MF |，可得x 24＋1＝x 2＋4，解得x 1＝23，x 2＝－23，当x ＝－23时，P (－23，3)，M (－23，－1)， △FPM 为等边三角形⇒△FPM 外接圆圆心与重心重合， ∴外接圆圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－23－23＋03，3－1＋13，即⎝⎛⎭⎫－433，1， 外接圆半径为r ＝⎝⎛⎭⎫－433＋232＋(1＋1)2＝433，同理可得当x ＝23时，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫433，1，半径为433， ∴外接圆方程为⎝⎛⎭⎫x ±4332＋(y －1)2＝163.跟踪演练2 (1)(2019·黄冈调研)已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称，则k 的值为( )A.－1B.1C.±1D.0 答案 A解析 化圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝k 4－4k ＋1. 则圆心坐标为(－k 2，－1)，∵圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称， ∴直线y ＝x 经过圆心， ∴－k 2＝－1，得k ＝±1.当k ＝1时，k 4－4k ＋1<0，不合题意， ∴k ＝－1.(2)(2019·河北省级示范性高中联合体联考)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3,4)为C 上一点，则△P AB 的外接圆的标准方程为________________. 答案 x 2＋(y －3)2＝10解析 ∵P (3,4)为C 上一点，9m －162＝1，解得m ＝1，则B (1,0)，∴k PB ＝42＝2，PB 的中垂线方程为y ＝－12(x －2)＋2，令x ＝0，则y ＝3， 设外接圆圆心为M (0，t )，则M (0,3)，r ＝|MB |＝1＋32＝10，∴△P AB 外接圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10. 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法 (1)点线距离法.(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离.3.圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.例3 (1)(2019·长沙市长郡中学模拟)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 21(r 1>0)，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝r 22(r 2>0)，圆C 1与圆C 2相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则r 1r 2为________. 答案7225解析 根据题意作出如下图形：AB 为两圆的公切线，切点分别为A ，B .当公切线AB 与直线C 1C 2平行时，公切线AB 斜率不为7， 即r 1≠r 2，不妨设r 1<r 2，过C 1作EC 1∥AB ，交AC 2于点E ， 则|EC 2|＝r 2－r 1，|AB |＝|EC 1|，|C 1C 2|＝(2＋1)2＋(2＋1)2＝32＝r 1＋r 2， 直线C 1C 2的斜率为k ＝2＋12＋1＝1，又k AB ＝7，所以直线AB 与直线C 1C 2的夹角的正切值为 tan α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－71＋7＝34.在直角三角形EC 1C 2中，|EC 2||EC 1|＝34，所以|EC 1|＝43(r 2－r 1)，又|EC 1|2＋|EC 2|2＝|C 1C 2|2，整理得⎣⎡⎦⎤43(r 2－r 1)2＋(r 2－r 1)2＝(r 1＋r 2)2， 解得4r 1＝r 2， 又32＝r 1＋r 2，解得r 1＝325，r 2＝1225，所以r 1r 2＝325×1225＝7225.(2)(2019·淄博模拟)已知直线l ：y ＝－2x －m (m >0)与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，直线l 与圆C 相交于不同两点M ，N .若|MN →|≤2|CM →＋CN →|，则m 的取值范围是( ) A.[5，5) B.[2,55－3) C.(5,55) D.(3，2)答案 B解析 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝25， ∴C (1,1)，圆C 半径r ＝5， 若|MN →|≤2|CM →＋CN →|， 则|MN →|2≤4|CM →＋CN →|2，即|MN →|2≤4|CM →|2＋4|CN →|2＋8CM →·CN →， ∴|MN →|2≤100＋100＋8|CM →|·|CN →|cos ∠MCN ， ∴|MN →|2≤100＋100＋200×25＋25－|MN →|250，∴|MN →|≤45，设圆心C 到直线y ＝－2x －m 的距离为d ， 则2r 2－d 2＝225－⎝⎛⎭⎪⎫|3＋m |52≤45，解得m ≥2(舍负)，又直线y ＝－2x －m 与圆C 相交，可得d <r ， 即|3＋m |5<5⇒m <55－3， 综上所述m 的取值范围是[2,55－3).跟踪演练3 (1)(2019·柳州模拟)已知点M 是抛物线y 2＝2x 上的动点，以点M 为圆心的圆被y 轴截得的弦长为8，则该圆被x 轴截得的弦长的最小值为( ) A.10 B.4 3 C.8 D.215 答案 D解 设圆心M ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，而r 2＝⎝⎛⎭⎫a 222＋⎝⎛⎭⎫822， ∴圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －a 222＋(y －a )2＝a44＋16， 当y ＝0时，得x 2－a 2x ＋a 2－16＝0， 设圆与x 轴的两个交点的横坐标为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2－16， ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 4－4a 2＋64＝(a 2－2)2＋60 ≥60＝215.(2)(2019·绵阳诊断)已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，给出下列结论：①a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0；②2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2；③x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b .其中正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 D解析 公共弦的方程为2ax ＋2by －a 2－b 2＝0， 所以有2ax 1＋2by 1－a 2－b 2＝0，②正确； 又2ax 2＋2by 2－a 2－b 2＝0，所以a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0，①正确； AB 的中点为直线AB 与直线C 1C 2的交点， 又AB ：2ax ＋2by －a 2－b 2＝0， C 1C 2：bx －ay ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，bx －ay ＝0得⎩⎨⎧x ＝a2，y ＝b2.故有x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b ，③正确.真题体验1.(2018·全国Ⅲ，理，6)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2,6] B.[4,8] C.[2，32] D.[22，32]答案 A解析 设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12|AB |·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6].2.(2016·全国Ⅱ，理，4)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 等于( )A.－43B.－34C. 3D.2 答案 A解析 由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a 2＝1，解之得a ＝－43. 3.(2019·浙江，12)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________.答案 －2 5解析 方法一 设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0，令x ＝0，得y ＝－2，∴m ＝－2，则r ＝(－2－0)2＋(－1＋2)2＝ 5.方法二 因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－(－2)×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝(－2－0)2＋(－1＋2)2＝ 5. 押题预测1.已知直线x －ay ＝0与圆x 2＋(y ＋4)2＝9相切，则实数a 等于( ) A.377 B.－377 C.±377 D.97答案 C解析 直线x －ay ＝0与圆x 2＋(y ＋4)2＝9相切，即圆心(0，－4)到直线的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式，得|4a |1＋a2＝3， 化简得a ＝±377. 2.若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________. 答案 102 解析 联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0， 可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0，故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为 |－5|a 2＋4a2＝5a (a >0). 故222－⎝⎛⎭⎫5a 2＝22， 解得a 2＝52， 因为a >0，所以a ＝102. 3.甲、乙两人参加歌咏比赛的得分(均为两位数)如茎叶图所示，甲的平均数为b ，乙的众数为a ，且直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°，则圆A 的标准方程为________.答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝1817 解析 由题意知，甲的平均数b 为20＋22＋23＋314＝24， 乙的众数a 是40，∴直线ax ＋by ＋8＝0，即5x ＋3y ＋1＝0，A (1，－1)到直线的距离为|5－3＋1|52＋32＝334， ∵直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°， ∴r ＝634， ∴圆A 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1817.A 组 专题通关1.(2019·衡水质检)直线2x ·sin 210°－y －2＝0的倾斜角是( )A.45°B.135°C.30°D.150°答案 B解析 由题意得k ＝2sin 210°＝－2sin 30°＝－1，故倾斜角为135°.2.(2019·黄冈调研)过点A (1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )A.y －x ＝1B.y ＋x ＝3C.2x －y ＝0或x ＋y ＝3D.2x －y ＝0或y －x ＝1答案 D 解析 当直线过原点时，可得斜率为2－01－0＝2， 故直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0，当直线不过原点时，设方程为x a ＋y －a＝1， 代入点(1,2)可得1a －2a＝1，解得a ＝－1， 方程为x －y ＋1＝0，故所求直线方程为y ＝2x 或y －x ＝1.3.(2019·东北三省三校模拟)设直线y ＝x －2与圆O ：x 2＋y 2＝a 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则圆O 的面积为( )A.πB.2πC.4πD.8π答案 C解析 圆O ：x 2＋y 2＝a 2的圆心坐标为(0,0)，半径为|a |，∵直线y ＝x －2与圆O ：x 2＋y 2＝a 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，又圆心(0,0)到直线y ＝x －2的距离d ＝|2|2＝1， ∴1＋3＝a 2，解得a 2＝4，圆的半径r ＝|a |＝2，∴圆的面积S ＝4π.4.(2019·湘赣十四校联考)圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝9上到直线x ＋y ＝0的距离等于2的点有( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案 A解析 如图，圆的圆心为(－2,3)，半径为3，圆心到直线的距离d ＝|－2＋3|2＝22， 可知2－22<3,2＋22<3， 由图可知，圆上到直线距离等于2的点共有4个.5.(2019·黄山质检)直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝36的直径分为两段，则较长一段与较短一段的长度的比值等于( )A.2B.3C.4D.5答案 A解析 令x ＝0代入2x －y －3＝0可得P (0，－3)，又圆心坐标为(－1,0)，半径为6，则P 与圆心的距离为1＋3＝2，可知较长一段的长度为8，较短一段的长度为4，则较长一段与较短一段长度的比值等于2.6.若直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A. 5 B.5 C.2 5 D.10答案 B解析 由直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ，知直线ax ＋by ＋1＝0必过圆M 的圆心， 由圆的方程可得圆心为M (－2，－1)，代入ax ＋by ＋1＝0中，可得2a ＋b －1＝0.(a －2)2＋(b －2)2表示点(2,2)与直线2a ＋b －1＝0上的点(a ，b )的距离的平方.点(2,2)到直线2a ＋b －1＝0的距离d ＝|2×2＋2×1－1|5＝5， 所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.7.(2019·河北省五个一名校联盟诊断)已知点P 为圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4上一点，A (0，－6)，B (4,0)，则|P A →＋PB →|的最大值为( )A.26＋2B.26＋4C.226＋4D.226＋2答案 C解析 取AB 中点D (2，－3)，则P A →＋PB →＝2PD →，|P A →＋PB →|＝|2PD →|，又由题意知，圆C 的圆心C (1,2)，半径为2，|PD →|的最大值为圆心C (1,2)到D (2，－3)的距离d 再加半径r ，又d ＝1＋25＝26，∴d ＋r ＝26＋2，∴|2PD →|的最大值为226＋4，即|P A →＋PB →|的最大值为226＋4.8.(2019·菏泽模拟)已知点P 是直线l ：3x ＋4y －7＝0上的动点，过点P 引圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r >0)的两条切线PM ，PN .M ，N 为切点，当∠MPN 的最大值为π3时，则r 的值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1答案 D解析 结合题意，绘制图象如图，可知当∠MPN 取到最大值时，则∠MPC 也取到最大值，而sin ∠MPC ＝MC PC ＝r PC， 当PC 取到最小值时，∠MPC 取到最大值，故PC 的最小值为点C (－1,0)到直线l 的距离d ，故d ＝|3×(－1)＋0－7|32＋42＝2， 故r PC ＝r 2＝sin π6＝12，解得r ＝1. 9.(2019·宝鸡模拟)设D 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AD 至点P ，使得|PD |＝|BD |，则点P 的轨迹方程为( )A.x 2＋(y －2)2＝20B.x 2＋(y －2)2＝5C.x 2＋(y ＋2)2＝20D.x 2＋(y ＋2)2＝5答案 C解析 由题意，得|P A |＝|PD |＋|DA |＝|DB |＋|DA |，又点D 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点， 且A (0，－2)，B (0,2)为椭圆的两个焦点，∴|DB |＋|DA |＝25，∴|P A |＝25，∴点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为25的圆，∴点P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋2)2＝20.10.(2019·德阳模拟)已知点P (－3,0)在动直线m (x －1)＋n (y －3)＝0上的投影为点M ，若点N ⎝⎛⎭⎫2，32，那么|MN |的最小值为( ) A.2 B.32 C.1 D.12答案 D解析 因为动直线方程为m (x －1)＋n (y －3)＝0，所以该直线过定点Q (1,3)，所以动点M 在以PQ 为直径的圆上， 所以圆的半径为12(1＋3)2＋32＝52， 圆心的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，32， 所以点N 到圆心的距离为(2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫32－322＝3，所以|MN |的最小值为3－52＝12. 11.已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x ＋2y －4＝0上一动点，过点P 向圆C 引两条切线分别为P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A.⎝⎛⎭⎫12，14B.⎝⎛⎭⎫14，12C.⎝⎛⎭⎫34，0D.⎝⎛⎭⎫0，34 答案 B解析 设P (4－2m ，m ).∵P A ，PB 是圆C 的切线，A ，B 为切点，∴CA ⊥P A ，CB ⊥PB ，∴AB 是圆C 与以PC 为直径的圆的公共弦.易知以PC 为直径的圆的方程为[x －(2－m )]2＋⎝⎛⎭⎫y －m 22＝(2－m )2＋m 24，① 圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，②①－②得直线AB 的方程为2×(2－m )x ＋my ＝1，即4⎝⎛⎭⎫x －14＋m (y －2x )＝0， ∴直线AB 恒过定点⎝⎛⎭⎫14，12. 12.(2019·南昌模拟)已知A (－3，0)，B (3，0)，P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，AP →＝PQ →，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，则M 的横坐标的取值范围是( )A.|x |≥1B.|x |>1C.|x |≥2D.|x |≥22答案 A解析 设P (x 0，y 0)，则Q (2x 0＋3，2y 0)，当y 0≠0时，k AP ＝y 0x 0＋3，k PM ＝－x 0＋3y 0， k QB ＝2y 02x 0＋3－3＝y 0x 0， 直线PM ：y －y 0＝－x 0＋3y 0(x －x 0)，① 直线QB ：y －0＝y 0x 0(x －3)，② 又P 在圆上，∴x 20＋y 20＝1，③联立①②③消去y 得x ＝3＋x 01＋3x 0， ∴x 0＝x －31－3x，由|x 0|<1，解得|x |>1， 当y 0＝0时，点P ，M 重合，易求得|x |＝1.综上，|x |≥1.13.(2019·福建四校联考)已知直线3x ＋4y －3＝0,6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________.答案 2解析 因为直线3x ＋4y －3＝0,6x ＋my ＋14＝0平行，所以3m －4×6＝0，解得m ＝8，所以6x ＋my ＋14＝0即是3x ＋4y ＋7＝0，由两条平行线间的距离公式可得d ＝|7＋3|32＋42＝2. 14.(2019·天津市十二重点中学联考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，且y 轴和直线3x ＋4y ＋4＝0均与圆C 相切，则圆C 的标准方程为________.答案 (x －2)2＋y 2＝4解析 设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，r >0，故由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b ＝0，|a |＝r ，|3a ＋4b ＋4|5＝r ，解得a ＝2，b ＝0，r ＝2， 则圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.15.(2019·湖北省部分重点中学联考)已知O 为原点，过点P ⎝⎛⎭⎫1，－32的直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为2，则直线l 的方程为________.答案 x ＝1或5x ＋12y ＋13＝0解析 ①当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝1，则圆心O (0,0)到直线l 的距离为1，所以|AB |＝2(5)2－1＝4，故S △AOB ＝12×4×1＝2， 所以直线x ＝1满足题意.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋32＝k (x －1)， 即2kx －2y －2k －3＝0，所以圆心O (0,0)到直线l 的距离d ＝|2k ＋3|2k 2＋1， 故|AB |＝2(5)2－d 2＝25－d 2，因为S △AOB ＝12|AB |d ＝2， 所以5－d 2·d ＝2，整理得d 4－5d 2＋4＝0，解得d ＝1或d ＝2.当d ＝1时，|2k ＋3|2k 2＋1＝1， 解得k ＝－512； 当d ＝2时，|2k ＋3|2k 2＋1＝2，此方程无解. 故直线方程为y ＋32＝－512(x －1)， 即5x ＋12y ＋13＝0.综上可得所求直线方程为x ＝1或5x ＋12y ＋13＝0.16.(2019·辽宁省六校联考)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1.若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是________.答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 ∵圆心为(0,0)，半径r ＝1，设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形P AOB 为正方形，故有|PO |＝2r ＝2，∴圆心O 到直线y ＝kx ＋2的距离d ≤2，即|2|1＋k 2≤2， 即1＋k 2≥2，解得k ≥1或k ≤－1.B 组 能力提高17.若对圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，||3x －4y ＋a ||＋3x －4y －9的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是________.答案 [6，＋∞)解析 ||3x －4y －9表示圆上的点到直线l 1：3x －4y －9＝0的距离的5倍，||3x －4y ＋a 表示圆上的点到直线l 2：3x －4y ＋a ＝0的距离的5倍，因为||3x －4y ＋a ||＋3x －4y －9的取值与x ，y 无关，即圆上的点到直线l 1，l 2的距离和与圆上点的位置无关，又易知直线l 1与圆相离，所以直线3x －4y ＋a ＝0与圆相离或相切，并且l 1和l 2在圆的两侧，如图所示，所以圆心(1,1)到l 2的距离d ＝||3－4＋a 5≥1，并且a >0，解得a ≥6.18.已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)且|AB |＝2，过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论：①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2.其中正确结论的序号是________. 答案 ①②③解析 如图，根据题意，利用圆中的特殊三角形，可求得圆心及半径，即得圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，并且可以求得A (0，2－1)，B (0，2＋1)，因为M ，N 在圆O ：x 2＋y 2＝1上， 所以可设M (cos α，sin α)，N (cos β，sin β)，所以|NA |＝(cos β－0)2＋[sin β－(2－1)]2 ＝2(2－1)(2－sin β)，|NB |＝(cos β－0)2＋[sin β－(2＋1)]2 ＝2(2＋1)(2－sin β)，所以|NA ||NB |＝2－1， 同理可得|MA ||MB |＝2－1， 所以|NA ||NB |＝|MA ||MB |， |NB ||NA |－|MA ||MB |＝12－1－(2－1)＝2， |NB ||NA |＋|MA ||MB |＝22， 故①②③都正确.。