数学参考答案 第 1 页（共 14 页）2020-2021学年北京市高三定位考试数学试题本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{1,2,3},{|(2)0}A B x x x ==-≥，则AB =（A ）{1,2} （B ）{1,3}（C ）{2,3}（D ）{1,23},（2）已知3log 2a =，0.12b =，123c =，则（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）b c a >>（D ）c b a >>（3）在复平面内，复数sin icos z θθ=+对应的点位于第二象限，则角θ的终边在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（4）在4(x -的展开式中，2x 的系数为（A ）6 （B ）12 （C ）24（D ）48（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最长棱为（A ）2 （B）（C（D ）4（6）已知函数()|1||1|f x x a x =-++，则“1a =-”是“()f x 为奇函数”的俯视图数学参考答案 第 2 页（共 14 页）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）已知直线:30l ax by +-=经过点(,2)a b -，则原点到点(,)P a b 的距离可以是（A ）4 （B ）2 （C（D ）12（8）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知15a =-，31a =-．记nn nS b a =(1,2,)n =，则数列{}n b 的（A ）最小项为3b（B ）最大项为3b （C ）最小项为4b（D ）最大项为4b（9）抛物线2:8W y x =的焦点为F . 对于W 上一点P ，若W 的准线上只存在一个点Q ，使得FPQ △为等腰三角形，则点P 的横坐标为（A ）2 （B ）4 （C ）5（D ）6（10）在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11ADD A 内，且不在棱上，则（A ）在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQAC（B ）在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥ （C ）在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC 平面ABC（D ）在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQCD 1C 1B 1DC BA 1A数学参考答案 第 3 页（共 14 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）函数()f x =________．（12）已知双曲线222:14x y W a -=（其中0a >）的渐近线方程为y x =±，则a =________，W的右焦点坐标为________．（13）已知平面向量(1,2)=a 与(3,)x =b 的夹角为π4，则x =________．（14）已知函数()sin 2f x x =．若非零实数,a b ，使得 ()()f x a bf x +=对x ∈R 都成立，则 满足条件的一组值可以是a =________，b =________．(只需写出一组) （15）已知曲线2221:W x y m +=，4222:W x y m +=，其中0m >．① 当1m =时，曲线1W 与2W 有4个公共点；② 当01m <<时，曲线1W 围成的区域面积大于曲线2W 围成的区域面积； ③ 1m ∃>，曲线1W 围成的区域面积等于2W 围成的区域面积；④ 0m ∀>，曲线1W 围成的区域内整点（即横、纵坐标均为整数的点）个数不少于曲线2W围成的区域内整点个数．其中，所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题14分）在ABC △中，1cos 8C =-，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）sin B 的值； （Ⅱ）ABC △的面积．条件①：4a =，6c =；条件②：4a =，ABC △为等腰三角形．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．数学参考答案 第 4 页（共 14 页） （17）（本小题共14分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中, 1AB AD ==， 12AA =，点E 为1DD 的中点．（Ⅰ）求证：1BD ∥平面ACE ； （Ⅱ）求证：1EB ⊥平面ACE ； （Ⅲ）求二面角1A CE C --的余弦值．（18）（本小题14分）某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次：1期、2期、3期和4期．记随机变量1x 、2x 分别表示顾客购买H 型手机和V 型手机的分期付款期数，根据以往销售数据统计，1x 和2x 的分布列如下表所示：（Ⅰ）若某位顾客购买H 型和V 手机各一部，求这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率； （Ⅱ）电商平台销售一部V 型手机，若顾客选择分1期付款，则电商平台获得的利润为300元；若顾客选择分2期付款，则电商平台获得的利润为350元；若顾客选择分3期付款，则电商平台获得的利润为400元；若顾客选择分4期付款，则电商平台获得的利润为450元．记电商平台销售两部V 型手机所获得的利润为X (单位:元)，求X 的分布列； （Ⅲ）比较1()D x 与2()D x 的大小．（只需写出结论）1x123 4P0.10.40.4 0.12x123 4P0.40.10.10.4数学参考答案 第 5 页（共 14 页）（19）（本小题14分）已知函数()(1)ln f x x x ax a =+-+．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线倾斜角为π4，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 在(0,)+∞上单调递增，求a 的最大值； （Ⅲ）请直接写出()f x 的零点个数.（20）（本小题14分）已知椭圆22:16x C y +=．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）经过原点的直线与椭圆C 交于,P Q 两点，直线PM 与直线PQ 垂直，且与椭圆C 的另一个交点为M ．（i ） 当点M 为椭圆C 的右顶点时，求证：PQM △为等腰三角形； （ii ）当点P 不是椭圆C 的顶点时，求直线PQ 和直线QM 的斜率之比.（21）（本小题15分）对于给定的区间[,]m t 和非负数列12:,,k A a a a ,, 若存在01,,,,k x x x 使1||i i i x x a --=，1,2,,i k =成立，其中[,]i x m t ∈，0,1,,i k =，则称数列A 可“嵌入”区间[,]m t .（Ⅰ）分别指出下列数列是否可“嵌入”区间[0,2]；①1:2,3A ； ②2:1,0,1A . （Ⅱ）已知数列A 满足(1,2,,)n a n n k ==，若数列A 可“嵌入”区间0[1,]m 0()m *∈N ，求数列A 的项数k 的最大值； （Ⅲ）求证：任取数列122021:,,,A a a a 满足[0,1](1,2,,2021)i a i ∈=，均可以“嵌入” 区间]2,0[.数学参考答案 第 6 页（共 14 页）2020-2021学年北京市高三定位考试数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）D （3）D （4）B （ 5 ）C （6）C （7）B （8）C （9）D （10）A 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）(,0]-∞ （12）2（13）1（14）2π 1（答案不唯一）（15）①③④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共14分）解：选条件①：4a =，6c =（Ⅰ）在ABC △中，因为2222cos c a b ab C =+-， …………3分且1cos 8C =-，4a =，6c =所以2136168()8b b =+--所以4b =，5b =-（舍）．…………5分数学参考答案 第 7 页（共 14 页）由正弦定理得sin sin b CB c=． …………8分因为1cos 8C =-，(0,π)C ∈所以sin C = …………9分所以sin B =． …………10分 （Ⅱ）因为1sin 2ABCS ab C =△ …………13分在ABC △中，4a =，4b =，sin C =所以ABC S =△…………14分选条件②：4a =，ABC △为等腰三角形． （Ⅰ）在ABC △中，因为1cos 8C =-，所以C 为钝角．因为ABC △为等腰三角形， 所以C 为顶角．所以4a b ==．…………2分 因为2222cos c a b ab C =+-， …………5分所以6c =． 由正弦定理得sin sin b CB c=． …………8分因为1cos 8C =-，(0,π)C ∈所以sin C =． …………9分所以sin B =． …………10分 （Ⅱ）因为1sin 2ABCS ab C =△ …………13分在ABC △中，4a =，4b =，sin C =数学参考答案 第 8 页（共 14 页）所以ABC S △ …………14分数学试卷 第 9 页（共 14 页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）连接BD 交AC 于点O ，连接EO ．因为1111ABCD A B C D -为长方体， 所以ABCD 为矩形．所以点O 为BD 中点．又因为E 为1DD 中点， 所以在1BD D ∆中，1OEBD ．…………2分 又OE ⊂平面ACE ，1BD ⊄平面ACE ， …………4分所以1BD 平面ACE ．…………5分（Ⅱ）以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．…………6分则1(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,2)A C E B ，所以1()1,1,1EB −−→=，()1,0,1EA −−→=-，()C 0,1,1E −−→=-．所以1100EB EA EB EC −−→−−→−−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩，．所以11EB EA EB EC ⊥⎧⎨⊥⎩，．…………8分 又EA EC E =，…………9分 所以1EB ⊥平面ACE ．…………10分（Ⅲ）因为1111ABCD A B C D -为长方体，所以BC ⊥平面11DCC D所以取平面1ECC 的法向量为(1,0,0)BC −−→=-， …………11分 再由（Ⅱ），取平面ACE 的法向量为1()1,1,1EB −−→=．…………12分数学试卷 第 10 页（共 14 页）所以111cos ||||EB BCEB BC EB BC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉==，．由题知二面角1A CE C --为钝角，所以其余弦值为 …………14分（18）（共14分）解：（Ⅰ）设事件A 为“这位顾客两种手机都选择分4期付款”．…………1分 故()0.10.40.04P A =⨯=．…………4分 （Ⅱ）X 的所有可能值为600,650,700,750,800,850,900．…………5分(600)0.40.40.16P X ==⨯=12(650)C 0.40.10.08P X ==⨯⨯=12(700)0.10.1C 0.40.10.09P X ==⨯+⨯⨯=1122(750)C 0.40.4C 0.10.10.34P X ==⨯⨯+⨯⨯=12(800)0.10.1C 0.10.40.09P X ==⨯+⨯⨯=12(850)C 0.10.40.08P X ==⨯⨯= (900)0.40.40.16P X ==⨯=所以X 的分布列为11分 （Ⅲ）1()D x <2()D x ．…………14分（19）（共14分）解：（Ⅰ）因为()(1)ln f x x x ax a =+-+，所以1()ln x f x x a x+'=+-． …………2分(1)2f a '=-．由题设知π(1)tan14f '==， 即21a -=，解得1a =． …………5分（Ⅱ）设()()g x f x '=．数学试卷 第 11 页（共 14 页）所以22111()x g x x x x-'=-=． …………7分令()0g x '=,1x =．因为当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以()g x 的最小值为(1)2g a =-， 即()f x '的最小值为(1)2f a '=-． …………9分因为()f x 在(0,)+∞上单调递增， 所以()0f x '≥对(0,)x ∈+∞成立． 所以20a -≥． 所以a 的最大值为2．…………11分 （Ⅲ）当2a ≤时，()f x 只有1个零点．…………12分 当2a >时，()f x 有3个零点． …………14分（20）（共14分）解：（Ⅰ）因为椭圆方程22:16x C y +=，所以226,1a b ==． …………1分 所以25c =． …………2分所以离心率c e a ===． …………4分（Ⅱ）（i ）设1111(,),(,)P x y Q x y --1x ≠．由题设知，M ． …………5分因为PQ PM ⊥，所以点11(,)P x y 在以线段OM 为直径的圆上，所以有22211(x y +=． …………6分 又221116x y +=． …………7分解得11x x ==．所以2211624,2525x y ==． …………9分所以PQ===．又PM=…………10分所以PQ PM=，即PQM△为等腰三角形．（ii）法1：设22(,)M x y，且21x x≠±,1x≠,1x≠.记直线,,PQ PM QM的斜率分别为,,PQ PM QMk k k.所以1212112121,,PQ PM QMy y y y yk k kx x x x x-+===-+. …………11分因为PQ PM⊥，所以1PQ PMk k⋅=-. …………12分又2221212122212121PM QMy y y y y yk kx x x x x x-+-⋅=⋅=-+-.因为221122221,61,6xyxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩所以2221222116y yx x-=--. …………13分所以16PM QMk k⋅=-.所以6PQQMkk=，即直线PQ和直线QM的斜率之比为6. …………14分（ii）法2：因为点P不是椭圆C的顶点，所以直线,,PQ PM QM的斜率都存在且不为0，设直线PM的方程为()0y kx m km=+≠由2216y kx mxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2221612660k x kmx m+++-=由0,∆>所以22610k m+->.设1122(,),(,)P x y M x y,PM的中点00(,)T x y.因为1221216kmx xk-+=+，…………12分数学试卷第12 页（共14 页）数学试卷 第 13 页（共 14 页）所以12026216x x kmx k +-==+00216my kx m k =+=+，…………13分因为,OT QM ∥ 所以0016QM OT y k k x k===- 又因为,PQ QM ⊥ 所以1PQ k k=-.所以1616PQ QMk k k k -==-.…………14分（21）（共15分）解：（Ⅰ）①不可以；②可以.…………4分（Ⅱ）因为10||1k k k a k x x m -==-≤-，所以01k m ≤-.…………6分当0m 为奇数时，取1,[0,1]22,[0,1]2i m i i m i x m i i m i -+⎧∈-⎪⎪=⎨++⎪∈-⎪⎩且为偶数,且为奇数.当0m 为偶数时，取2,[0,1]21,[0,1]2i m i i m i x m i i m i ++⎧∈-⎪⎪=⎨-+⎪∈-⎪⎩且为偶数,且为奇数.此时k 可取01m -，所以max 01k m =-．…………10分（Ⅲ）设数列122021:,,,A a a a 满足[0,1](1,2,,2021)i a i ∈=， 构造数列012021,,,x x x 如下：0110,x x a ==，111,,,1,1i i i i ii i x a x x x a x ++++⎧=⎨->⎩≤ 其中1,2,,2020i =.数学试卷 第 14 页（共 14 页）根据1i x +的定义知道，当1i x ≤时，因为1[0,1]i a +∈，所以1[0,2]i x +∈. 当1i x >时，因为1[0,1]i a +∈，所以1[0,2]i x +∈. 而111,,||,1||||,1i i i i i i i i i i x a x x x x x a x x ++++-⎧-=⎨-->⎩≤所以111,,,1||,1i i i i i ia x x x a x +++⎧-=⎨>⎩≤所以任取数列122021:,,,A a a a 满足[0,1](1,2,,2021)i a i ∈=，均可以“嵌入” 区间[0,2].。