2021学年高三下学期入学考试数学（一）一、填空题1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,1A =-，则UA =____.【答案】{}2,3【解析】结合所给的集合和补集的定义，可得U A 的值.【详解】解：由全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,1A =-， 可得：{}2,3U A =，故答案为：{}2,3. 【点睛】本题主要考查集合和补集的定义，相对简单. 2．复数3ii+（i 是虚数单位）的虚部为____. 【答案】3-【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，可得原复数的虚部. 【详解】 解：(3)313131i i i ii ii i +⨯+-+===-⨯-， 故原复数的虚部为3-， 故答案为：3-. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题. 3．某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1100人、1000人、900人，为了解不同年级学生的视力情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为30的样本，则高三年级应抽取的学生人数为____. 【答案】9【解析】先求出抽样比，由此可求出高三年级应抽取的学生人数. 【详解】解：由题意可得：抽样比30111001000900100f ==++，故高三年级应抽取的学生人数为：19009100⨯=，故答案为：9. 【点睛】本题主要考查分层抽样的相关知识，求出抽样比是解题的关键. 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．【答案】1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 5．函数()22log 43y x x =+-的定义域为____.【答案】()14-,【解析】由对数函数真数大于0，列出不等式可得函数的定义域. 【详解】解：由题意得：2043x x +-＞，解得：4x -1＜＜， 可得函数的定义域为：()14-,， 故答案为：()14-,. 【点睛】本题主要考查函数的定义域及解一元二次不等式，属于基础题型.6．劳动最光荣.某班在一次劳动教育实践活动中，准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦教室玻璃，则恰好选中2名男生的概率为____. 【答案】310【解析】分别计算出从5名学生中选出 2名学生的选法，与从3名男生选出 2名男生的选法，可得恰好选中2名男生的概率. 【详解】解：由题意得：从5名学生中选出 2名学生，共有2510C =种选法；从3名男生选出 2名男生，共有233C =种选法，故可得恰好选中2名男生的概率为：2325310C C =，故答案为：310【点睛】本题主要考察利用古典概型概率公式计算概率，分别计算出从5名学生中选出 2名学生的选法，与从3名男生选出 2名男生的选法是解题的关键.7．已知抛物线y 2=8x 的焦点恰好是双曲线()222102x y a a -=>的右焦点，则该双曲线的离心率为______.【解析】求出抛物线的焦点，可得c 的值，由双曲线方程，可得a 的值，可得双曲线的离心率. 【详解】解：易得抛物线y 2=8x 的焦点为：(2,0)，故双曲线()222102x y a a -=>的右焦点为(2,0)，2c =可得：2222a +=，a =故双曲线的离心率为：c e a ===. 【点睛】本题主要考查抛物线的性质及双曲线的离心率，相对简单，注意利用双曲线的性质解题. 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若366,8S S ==-，则9S =____. 【答案】42-【解析】由3S ，63S S -，96S S -成等差数列，代入366,8S S ==-可得9S 的值. 【详解】解：由等差数列的性质可得：3S ，63S S -，96S S -成等差数列，可得：633962()S S S S S -=+-，代入366,8S S ==-， 可得：942S =-， 故答案为：42-. 【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和的性质，相对不难.9．已知α是第二象限角，且sin α=，()tan 2αβ+=-，则tan β=____. 【答案】34-【解析】由α是第二象限角，且sin α=，可得tan α，由()tan 2αβ+=-及两角和的正切公式可得tan β的值. 【详解】解：由α是第二象限角，且sin α=，可得cos α=1tan 2α=-，由()tan 2αβ+=-，可得tan tan 21tan tan αβαβ+=--⨯，代入1tan 2α=-，可得3tan 4β=-， 故答案为：34-.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系及两角和的正切公式，相对不难，注意运算的准确性.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 两点在圆x 2＋y 2=1上，若直线0x y +-=上存在点C ，使△ABC 是边长为1的等边三角形，则点C 的横坐标是______.【答案】2【解析】设点()C x x ，连接,,,AC AB CO BO ,由△ABC 是边长为1的等边三角形，故四边形AOBC 为菱形,由OC =C 的横坐标.【详解】解：设点(,6)C x x -，连接,,,AC AB CO BO ,由△ABC 是边长为1的等边三角形，故四边形AOBC 为菱形，=60120o o ACB AOB OAC OBC ∠=∠∠=∠=，，在OAC ∆中：2222cos OC OA AC OA AC OAC =+-⨯⨯⨯∠, 可得：222111211()32OC =+-⨯⨯⨯-=，3OC =223(6)x x =+-62x =， 故答案为：62【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，相对不难.11．设m 为实数，若函数f (x )=x 2－mx －2在区间()2-∞，上是减函数，对任意的12,112m x x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，，总有12()()4f x f x -≤，则m 的取值范围为____.【答案】[]46，【解析】由函数f (x )=x 2－mx －2在区间()2-∞，上是减函数可得4m ≥，由12,112m x x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，，可得()f x 在此区间的最大、最小值，化简12()()4f x f x -≤，可得m 的取值范围. 【详解】解：由题意：函数f (x )=x 2－mx －2的对称轴为：2mx =，由其在区间()2-∞，上是减函数，可得22m≥，可得4m ≥； 由4m ≥，1122m m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，，且11222m m m +-≤-，故当12,112m x x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，时，max ()(1)3f x f m ==-，2min ()()224m m f x f ==-+， 由12()()4f x f x -≤，可得23(2)44mm ---+≤，化简可得：24120m m --≤，可得：26m -≤≤， 综合可得：46m ≤≤， 故答案为：[]46，. 【点睛】本题主要考查二次函数的单调性及函数的最值，属于中档题型.12．如图所示，在△ABC 中，AB =AC =2，AD DC =，2DE EB =，AE 的延长线交BC 边于点F ，若45AF BC ⋅=-，则AE AC ⋅=____.【答案】229【解析】过点D 做DG AF ,可得16EF AF =，15BF BC =，4155AF AB AC =+由45AF BC ⋅=-可得2cos 3BAC ∠=，可得541()655AE AC AB AC AC ⋅=+⋅，代入可得答案. 【详解】解：如图，过点D 做DG AF ,易得：13EF BE DG BD ==,13EF DG =, 12DG CD AF AC ==,故12DG AF =,可得：16EF AF =，同理：12BF BE FG ED ==,11FG AD GC CD ==,可得15BF BC =, 1141()5555AF AB BF AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,由45AF BC ⋅=-，可得22411424()()555555AB AC AC AB AC AB AB AC +⋅-=-+⋅=-, 可得：14244422cos 5555BAC ⨯-⨯+⨯⨯∠=-,可得：2cos 3BAC ∠=，255412122122()2246655353369AE AC AF AC AB AC AC AB AC AC ⋅=⋅=+⋅=⋅+=⨯⨯⨯+⨯=, 故答案为：229. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，由题意作出DG AF 是解题的关键.13．若实数,x y 满足：0x y <<，则22y x y x x y--+的最小值为____.【解析】将原式化简为1212x y yx--+，令yt x =，则1t ＞，令12()1,(1)12f t t t t=+--+＞，对()f t 求导数，可得()f t 的最小值，可得答案. 【详解】解：由题意得：212212y x x y y x x yy x-=--+-+， 令yt x=，则1t ＞， 1221211212121t t t t t t t=-=-=+-+-+-+-原式，设12()1,(1)12f t t t t=+--+＞，可得： 22222'2222222212(2)2(1)(2)2(1)82()(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)t t t t t t f t t t t t t t t t -++--++---=-+===-+-+-+-+，令'()0f t =，可得4t =+，其中4t =-可得当(1,4t ∈+时，'()0f t ＜，()f t 单调递减；当(4)t ∈++∞时，'()0f t ＞，()f t 单调递增；可得当4t =+时，原式有最小值，代入可得：12(41133333f +==+--+=，故可得22y x y x x y --+的最小值为3，故答案为：3. 【点睛】本题主要考察利用导数求函数的最值，其中利用换元法对原式进行换元是解题的关键. 14．若函数2ln ,0()1,x a x x f x x ax x ⎧-->=⎨++≤⎩恰有3个不同的零点，则a 的取值范围是____.【答案】(,1)(2,)-∞-+∞【解析】去绝对值，分0a x e <≤、a x e >与0x ≤进行讨论，对()f x 进行化简，同时对()f x 求导，结合函数有3个不同的零点，可得a 的取值范围.【详解】解：（1）当0a x e <≤时，()ln f x x x a =--+，因为()f x 递减，()0a a f e e =-<，0x →时，()f x →+∞，所以()f x 在(0,]ae -有1个零点；当a x e >时，()ln f x x x a =-+-，因为1()xf x x-'=， ①1a e ≥，即0a ≥时，()f x 在(,)a e +∞上递减，所以()()0a a f x f e e <=-<，即()f x 在(,)a e +∞没有零点；②1a e <，即0a <时，()f x 在(,1)a e 上递增，在(1,)+∞上递减，因为()0a a f e e =-<，(1)1f a =--，所以10a -<<时，()f x 在(,)a e +∞没有零点；1a =-时，()f x 在(,)a e +∞有1个零点；1a <-时，()f x 在(,)a e +∞有2个不同的零点.（2）当0x ≤时，2()1=++f x x ax ，当2a <时，()f x 在(,0]-∞上没有零点；当2a =时，()f x 在(,0]-∞有1个零点；2a >时，()f x 在(,0]-∞有2个不同的零点.综上，当1a <-或2a >时()f x 恰有三个不同的零点. 【点睛】本题主要考查函数的零点与利用导数判断函数的单调性与零点，属于难题.二、解答题15．如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD //平面BCC 1B 1，AD ⊥DB .求证：（1）BC //平面ADD 1A 1； （2）平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由直线与平面平行的性质可得：由AD //平面BCC 1B 1，有AD //BC ，同时AD ⊂平面ADD 1A 1，可得BC //平面ADD 1A 1；（2）由（1）知AD //BC ，因为AD ⊥DB ，所以BC ⊥DB ，同时由直四棱柱性质可得DD 1⊥BC ，BC ⊥平面BDD 1B 1，可得证明.【详解】解：（1）因为AD //平面BCC 1B 1，AD ⊂平面ABCD ，平面BCC 1B 1∩平面ABCD =BC ， 所以AD //BC .又因为BC ⊄平面ADD 1A 1，AD ⊂平面ADD 1A 1， 所以BC //平面ADD 1A 1.（2）由（1）知AD //BC ，因为AD ⊥DB ，所以BC ⊥DB ， 在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中DD 1⊥平面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ， 所以DD 1⊥BC ，又因为DD 1⊂平面BDD 1B 1，DB ⊂平面BDD 1B 1，DD 1∩DB =D ， 所以BC ⊥平面BDD 1B 1，因为BC ⊂平面BCC 1B 1， 所以平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1 【点睛】本题主要考查线面平行的性质及面面垂直的证明，熟悉相关定理并灵活运用是解题的关键.16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a sin B =b sin2A . （1）求角A ；（2）若a =5，△ABC 的面积为ABC 的周长. 【答案】（1）3π；（2）12. 【解析】（1）由正弦定理可得：sin A sin B =2sin B sin A cos A ，可得cos A 的值，可得角A 的大小；（2）由△ABC 的面积为A 的值，可得bc 的值，由余弦定理可得b c +的值，可得△ABC 的周长. 【详解】解：（1）由a sin B =b sin2A 及正弦定理，得sin A sin B =2sin B sin A cos A ， 因为sin A >0，sin B >0，所以1cos 2A =， 又()0,πA ∈，所以π3A =.（2）由△ABC 的面积为1sin 2bc A = 又π3A =，所以8bc =. 在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos b c bc A a +-=， 因为a =5，所以2233b c +=， 所以()249b c +=，所以12a b c ++=，即△ABC 的周长为12. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，注意灵活运用定理解题.17．如图1，已知正方形铁片A B C D ''''边长为2a 米，四边中点分别为E ，F ，G ，H ，沿着虚线剪去大正方形的四个角，剩余为四个全等的等腰三角形和一个正方形ABCD （两个正方形中心重合且四边相互平行），沿正方形ABCD 的四边折起，使E ，F ，G ，H 四点重合，记为P 点，如图2，恰好能做成一个正四棱锥（粘贴损耗不计），PO ⊥底面ABCD ，O 为正四棱锥底面中心，设正方形ABCD 的边长为2x 米.（1）若正四棱锥的棱长都相等，求所围成的正四棱锥的全面积S ； （2）请写出正四棱锥的体积V 关于x 的函数，并求V 的最大值.【答案】（1）2(232)a -；（2）2242,032a V x a ax x =-<<. 33165375a m .【解析】（1）连接OH 交BC 于点H ′，由正方形ABCD 边长为2x ，所以HH ′=a －x . 可得PO 的长及PB 的长，由PB AB =得可得x 的值，可得正四棱锥的全面积4SBC ABCD S S S ∆=+正方形，计算可得答案；（2）可得13ABCD V S PO =⨯⨯正方形，可得V 关于x 的函数，对其求导，利用导数可得V 的最大值. 【详解】解：在图1中连接OH 交BC 于点H ′，因为正方形ABCD 边长为2x ，所以HH ′=a －x . 在图2中，OH ′=x ，PH ′=a －x ， 由勾股定理得，正四棱锥的高2222()PO PH OH a x x ''---22a ax =-（1）在直角三角形POB 中，2OB x =，所以2222(2)2PB OB PO a ax x =+=-+， 由PB AB =得，22(2)22a ax x x -+=， 整理得，()22324ax a +=，解得31x a -=（13x a --=舍去）. 所以，正四棱锥的全面积4SBC ABCD S S S ∆=+正方形 2142()42x a x x =⨯⨯⨯-+24(232)ax a ==-平方米.（2）2211(2)233ABCD V S PO x a ax =⨯⨯=⨯⨯-正方形，所以2242,032aV x a ax x =-<<.因为245423V a x ax =-，设245()2,02af x a x ax x =-<<，则234()410f x a x ax '=-32(25)ax a x =-，令()0f x '=得，25ax =，当()20,5a x ∈时，()0f x '>，()f x 在区间()20,5a 上递增；当()2,52a a x ∈时，()0f x '<，()f x 在区间()2,52a a上递减.所以当25ax =时，()f x 取得最大值，此时3max 1652()5a V V a ==立方米. 【点睛】本题主要考查正四棱锥的几何性质，正四棱锥棱长、高、表面积、体积的计算，需建立函数模型并求其最值，属于难题.18．已知椭圆221193y x C +=：，椭圆()2222210y x C a b a b+=>>：经过椭圆C 1的左焦点F 和上下顶点A ，B .设斜率为k 的直线l 与椭圆C 2相切，且与椭圆C 1交于P ，Q 两点.（1）求椭圆C 2的方程；（2）①若4OP OQ =⋅，求k 的值； ②求PQ 弦长最大时k 的值.【答案】（1）22163x y +=；（2）①2. 【解析】（1）分别求出C 1的左焦点与上下顶点的坐标，可得椭圆C 2的a b 、的值，可得椭圆C 2的方程；（2）①设直线l 的方程为y kx m =+与椭圆C 2联立，由直线l 与椭圆2C 相切，可得0∆=， 可得k m 与的关系，同时直线l 与椭圆C 1的方程联立，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由韦达定理结合4OP OQ =⋅，即12124x x y y +=，代入可得k 的值；②由①知12PQ x -，可得PQ 关于k 的函数，化简利用基本不等式可得PQ 弦长最大时k 的值. 【详解】解：（1）由题意可知，椭圆C 1的左焦点(0)F ，上下顶点(0,A ，(0,B -，所以椭圆C 2的左顶点为(0)F ，上下顶点(0,A ，(0,B -，所以a =b =所以椭圆C 2的方程为22163x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx m =+与椭圆C 2：22163x y+=方程联立，消去y 得，()222124260k xkmx m +++-=，因为直线l 与椭圆2C 相切，所以()()2222216412260k m k m ∆=-+-=，整理得，22630k m +-=，直线l 与椭圆C 1的方程联立得，()222136390k x kmx m +++-=， 其中()()22222136********k m k m k ∆=-+-=>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则22121222263918,131313km m k x x x x k k k -+=-==+++. ①因为4OP OQ =⋅，所以12124x x y y +=，即12121212()()x x y y x x kx m kx m +=+++ 221212(1)()k x x km x x m =++++222222218(1)61313k k k m m k k+=-+++ 22153413k k +==+，所以3k =±.②由①知12PQ x -==，设2131k t +=>，则PQ ==.所以当1k =±时，PQ 的长最大，最大值为2. 【点睛】本题主要考察椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，解题的关键是掌握椭圆的基本性质，联立直线与椭圆方程组求解，属于难题.19．已知函数22()2x ef x x mx =++，其中0m ≤<，e 为自然对数的底数.（1）当0m =时，求()f x 在0x =处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若存在12,x x (12x x ≠)，使得12()()0f x f x ''==，证明：12()()1f x f x ⋅>. 【答案】（1）10x y -+=；（2）当02m ≤≤时，()f x 的递增区间是(,)-∞+∞，无递减区间；当2m <<()f x 的递增区间是(-∞和)+∞，递减区间是；（3）证明见解析.【解析】（1）对()f x 求导，可得(0)f 与(0)f '的值，可得()f x 在0x =处的切线方程； （2）令()0f x '=，可得2(2)(2)0x m x m +-+-=，对其分0∆≤，>0∆进行讨论，可得m 的取值范围及()f x 的单调区间；（3）由（2）知，2m <<12122x x x x m +==-，可得12()()f x f x ⋅关于m 的函数，对其求导可得其单调性，可得证明. 【详解】解：因为0m ≤<220x mx ++>对R x ∈恒成立， 所以()f x 定义域为R ，且()2222(2)(2)()2x e x m x m f x x mx ⎡⎤+-+-⎣⎦'=++，（1）当0m =时，(0)1f =，()()222222()2xe x xf x x -+'=+，所以(0)1f'=，所以()f x 在0x =处的切线方程为：10x y -+=. （2）令()0f x '=得，2(2)(2)0x m x m +-+-=， （※）①当2(2)4(2)(2)(2)0m m m m ∆=---=+-≤，即22m -≤≤时，又0m ≤< 所以02m ≤≤时，()0f x '≥，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；②当>0∆，解得2m <-或2m >，又0m ≤<2m <<由方程（※）解得，1x =，2x =当12(,)(,)x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>，()f x 的递增区间是12(,),(,)x x -∞+∞； 当12(,)x x x ∈时，()0f x '<，()f x 的递减区间是12(,)x x .综上，当02m ≤≤时，()f x 的递增区间是(,)-∞+∞，无递减区间；当2m <<()f x的递增区间是(-∞和)+∞，递减区间是.（3）由（2）知，2m <<12122x x x x m +==-， 所以121222112222()()22x x e e f x f x x mx x mx ⋅=⋅++++， 因为2(2)2i i x m x m =-+-，1,2i =，代入上式得12121222()()22x x e e f x f x x m x m ⋅=⋅++12124(2)(2)x x e x m x m +=++ 1221212442()x x e x x m x x m +=+++2222448(8)m m e e m e m -==--，令224()(8)x eg x e x =-，2x <<则()()22222224e (28)4e (4)(2)()0e 8e 8xxx x x x g x xx+-+-'==>--，所以()g x 在(2,上单调递增，所以()(2)1g x g >=，即证得12()()1f x f x ⋅>. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，及利用导数求函数的极值、单调性及证明不等式，属于难题.20．已知数列{}n a 和2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭都是等差数列，11a =.数列{}n b 满足11122nn i n ii a bn ++-==--∑.（1）求{}n a 的通项公式； （2）证明：{}n b 是等比数列；（3）是否存在首项为1，公比为q 的等比数列{}n c ，使得对任意,2n n ∈≥*N ，都有1n n n a c b -≤≤成立？若存在，求出q 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析；（3）存在，.【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，可得1(1)(1)n a n d dn d =+-=+-，N n *∈， 由2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，可得222321,,23a a a 成等差数列，可得222321223a a a ⨯=+，求出d 的值，可得{}n a 的通项公式；（2）将11122nn i n i i a b n ++-==--∑展开，可得11212(1)22n n n b b n b nb n +-+++-+=--，将1n +代入此式子相减，可得112121n n n b b b b ++++++=-，再将1n +代入此式子相减，可得122n n b ++=，此时3n ≥，验证1,2n n ==时也满足可得{}n b 是等比数列；（3）设存在1n n c q -=对任意,2n n *∈≥N ，都有1n n n a c b -≤≤恒成立，即1112n n n q ---≤≤，,2n n *∈≥N ，易得1q >，由由11n n q --≤得，ln(1)ln 1n q n -≥-，可得设ln (),1x f x x x =≥，对其求导，可得其最小值，可得q 的取值范围. 【详解】解：（1）因为数列{}n a 是等差数列，设{}n a 的公差为d ，则1(1)(1)n a n d dn d =+-=+-，N n *∈，因为2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，所以222321,,23a a a 成等差数列，即222321223a a a ⨯=+，221(1)1(12)3d d +=++，解得1d =，当1d =时，n a n =，此时22na n n n n==是等差数列.故n a n =.（2）由11122nn i n i i a b n ++-==--∑，即11212(1)22n n n b b n b nb n +-+++-+=--， ①所以21212(1)23n n n b b nb n b n +++++++=--， ②②-①得，112121n n n b b b b ++++++=-， ③ 所以，2212121n n n b b b b +++++++=-， ④④-③得，122n n b ++=，即3n ≥时，12n nb -=，在①中分别令12n =，得，121,2b b ==，也适合上式， 所以12n n b -=，N n *∈，因为12n nb b +=是常数，所以{}n b 是等比数列. （3）设存在1n n c q -=对任意,2n n *∈≥N ，都有1n n n a c b -≤≤恒成立，即1112n n n q ---≤≤，,2n n *∈≥N ， 显然1q >，由112n n q --≤可知，12q <≤， 由11n n q --≤得，ln(1)ln 1n q n -≥-，,2n n *∈≥N . 设ln (),1x f x x x=≥，因为21ln ()xf x x -'=， 所以当(1,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 递增；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 递减. 因为ln 2ln 3(2)(3)23f f =<=，所以ln 3ln 3q ≥，解得q ≥综上可得，存在等比数列{}n c ，使得对任意,2n n *∈≥N ，都有1n n n a c b -≤≤恒成立， 其中公比q的取值范围是. 【点睛】本题主要等差数列的基本性质、递推法求数列的通项公式，及数列与导数的综合，综合性大，属于难题.21．已知矩阵00a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值λ=2，其对应的一个特征向量是11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.求矩阵M 的另一个特征值以及它的逆矩阵.【答案】2-，102102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【解析】将特征值于特征向量代入，可得关于b a 、方程，可得b a 、的值，求出矩阵M ,可求出其另一个特征值，可得其逆矩阵. 【详解】解：由题意，λ＝2是矩阵M 的一个特征值，所以2M αα=， 所以0112011a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2a b ==， 由方程22()402f λλλλ-==-=-.所以2λ=或2λ=-， 所以M 的另一个特征值－2. 又因为02240-⨯=-≠，所以矩阵M 的逆矩阵为1102102M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查矩阵与逆矩阵的相关知识，属于矩阵的特征值与特征向量的相关知识并灵活运用是解题的关键.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos 0ρθ-=.若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【解析】将直线l 与线C 化为普通方程，利用直线与圆的位置关系，求出圆心到直线的距离，可求出线段AB 的长. 【详解】解：直线l的普通方程为1x =，由4cos 0ρθ-=，即24cos 0ρρθ-=，化为直角坐标方程即2240x y x +-=，化简可得22(2)4x y -+=， 可得其圆心坐标(2,0)，半径为2，由圆心到直线的距离得到12d ==，所以AB ===． 【点睛】本题主要考察直线参数方程与普通方程的转化及极坐标与直角坐标的转换、直线与圆的位置关系，相对不难，注意运算准确.23．已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥. 【答案】证明见解析【解析】将1231233x x x x x x ++=化简可得2331121113x x x x x x ++=，由柯西不等式可得证明.【详解】解：因为()123,,0,x x x ∈+∞，1231233x x x x x x ++=， 所以2331121113x x x x x x ++=，又122331()x x x x x x ++⋅2233112111(111)9x x x x x x ⎛⎫++≥++=⎪⎝⎭， 所以1223313x x x x x x ++≥，当且仅当1231x x x ===时取等号. 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.24．在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛. （1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；（2）记X 为选出的4名选手中女教师的人数，求X 的概率分布和数学期望. 【答案】（1）28种；（2）分布见解析，75.【解析】（1）分这名女教师分别来自党员学习组与非党员学习组，可得恰好有一名女教师的选派方法数；（2）X 的可能取值为0123，，，，再求出X 的每个取值的概率，可得X 的概率分布和数学期望. 【详解】解：（1）选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为11221141242228C C C C C C +=种. （2）X 的可能取值为0，1，2，3.224222541(0)10C C P X C C ===， 11221141242222547(1)15C C C C C C P X C C +===， 111122412242225411(2)30C C C C C C P X C C +===， 124222541(3)15C CP X C C ===.故X 的概率分布为：所以7()5E x =. 【点睛】本题主要考查组合数与组合公式及离散型随机变量的期望和方差，相对不难，注意运算的准确性.25．对于给定正整数n ，设2012(1)nnn x a a x a x a x -=++++，记01nn kk S a==∑.（1）计算1234S S S S ，，，的值； （2）求n S .【答案】（1）见解析；（2）()11(1)2n n n S n +=⋅+-+. 【解析】（1）将n 1234=，，，代入01nn k k S a ==∑，可得1234S S S S ，，，的值；（2））由二项式定理得，(1),,k k k n a k n k =-≤∈C N ，111!()!1!C 1112C C knk k n nn k n k n n +++⎡⎤+⋅+⎢⎥+⎣-=⎦=， 由二项式定理01nn kk S a ==∑011211111111111111(1)2C C C C C C n n n n n n n n n n n +++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 可得n S 的值. 【详解】 解：（1）1011111011S a a =+=-=； 201211111131212S a a a =++=-+=； 301231111111101331S a a a a =+++=-+-=；40123411111111115146413S a a a a a =++++=-+-+= （2）由二项式定理得，(1),,k k k n a k n k =-≤∈C N ，因为!()!1!C k n k n k n -=1[(1)(1)][!()!]2(1)!n n k k k n k n n +-+++-=⋅++ 1!(1)!(1)!()!2(1)!n k n k k n k n n +-+++-=⋅++ 1!(1)!(1)!()!2(1)!(1)!n k n k k n k n n n ⎡⎤+-++-=⋅+⎢⎥+++⎣⎦1111112C C k k n n n n +++⎡⎤+=⋅+⎢⎥+⎣⎦， 所以01nn k k S a ==∑011211111111111111(1)2C C C C C C n n n n n n n n n n n +++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦0111111(1)2C C n n n n n n +++⎛⎫+=⋅+- ⎪+⎝⎭()11(1)2n n n +=⋅+-+. （或写成0,22,2n n S n n n ⎧⎪=+⎨⎪+⎩是奇数是偶数）【点睛】本题主要考查二项式定理及二项式展开式的通项公式，需注意运算的准确性，属于中档题.。