皖南八校2009届高三第一次联考数学试卷（理）命题：江西金太阳教育研究所数学研究室本试卷主要考试内容：函数、导数占40%，其它占60%第一卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、如果实数b 与纯虚数z 满足关系式(2)4i z bi -=-（其中i 为虚数单位），那么b 等于 A 、8 B 、－8 C 、2 D 、－22、下列函数中，在区间(1,1)-上单调递减的是A 、1y x =B 、13y x = C 、12log (1)y x =+ D 、2xy =3、若0m >且1m ≠，0n >，则“log 0m n <”是“(1)(1)0m n --<”的A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件 4、已知奇函数()f x 在区间[3，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则2(6)(3)f f -+-等于A 、－15B 、－13C 、－5D 、55、在公差不为零的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b 等于A 、2B 、4C 、8D 、166、函数()y f x =的图象如下图所示，则函数0.2log ()y f x =的图象大致是7、如果一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图中ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的俯视图的面积为正视图侧视图俯视图A 、32 B 、23C 、12D 、6 8、某校根据新新课程改革的要求，开设数学选修4系列的10门课程供学生选修，其中4－1，4－2，4－4三门由于上课时间相同，所以至多选一门，根据学分制的要求，每位同学必须选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是 A 、120 B 、98 C 、63 D 、569、设O 为坐标原点，(1,1)A ，若点(,)B x y 满足2222101212x y x y x y ⎧+--+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则OA OB ⋅取得最小值时，点B 的个数是A 、2B 、3C 、4D 、510、已知抛物线24y x =的准线与双曲线2221x y a-=交于A 、B两点，点F 为抛物线的焦点，若FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是ABC 、2D 、311、如图所示的算法中，令tan a θ=，sin b θ=，cos c θ=，若在集合3{|,0,,}4442ππππθθθ-<<≠中，给θ取一个值，输出的结果是sin θ，则θ的取值范围是A 、(,0)4π-B 、(0,)4π C 、3(,)24ππ D 、(,)42ππ12、若不等式221s i n t a t x -+≥对一切[,]x ππ∈-及[1,1]a ∈-都成立，则t 的取值范围是A 、2t ≤-或2t ≥B 、2t ≤C 、2t ≥-D 、2t ≤-或2t ≥或0t =第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

请将正确答案填在答卷卷中的横线上）13、计算：22(sin 2)x dx -+=⎰14、已知(1)n x -的展开式中所有项有系数的绝对值之和为32，则(1)n x -的展开式中系数最小项是15、已知向量a 与b 的夹角为120，若向量c a b =+，且c a ⊥，则||||a b 值为 16、若函数1()ax f x e b=-的图象在0x =处的切线l 与圆C ：221x y +=相离，则点(,)P a b 与圆C 的位置关系是三．解答题（本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17、（本小题满分12分）已知在ABC 中，三条边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，向量(sin ,cos )m A A =，(cos ,sin )n B B =，且满足sin 2m n C ⋅=。

（1）求角C 的大小；（2）若sin A 、sin C 、sin B 成等比数列，且()18CA AB AC ⋅-=，求c 的值。

18、（本小题满分12分）某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有A 、B 两项技术指标需要检测，按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品。

已知各项技术指标达标与否互不影响，但A 项技术指标达标的概率大于B项技术指标的概率，若有且仅有一项技术指标达标的概率为512，至少有一项技术指标达标的概率为1112。

（1）求一个零件经过检测为合格品的概率；（2）任意依次抽出5个零件进行检测， 其中至多3个零件是合格品的概率； （3）任意依次抽取该种零件4个，设X 表示其中合格品的个数，求EX 与DX 。

19、（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和侧视图如下图所示，正视图和俯视图是全等的正方形。

（1）求该几何体的体积V ；（2）求证：平面ACE ⊥平面BDF ；（3）若O 是AC 的中点，P 是BF 上一点，BP BF λ=（0λ>），直线OP 与平面ABCD 所成的角为6π，求λ的值。

俯视图直观图20、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有211122n S n n =+。

数列{}n b 满足2120n n n b b b ++-+=（*n N ∈），且311b =，前9项和为153。

（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设3(211)(21)n n n c a b =--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57n k T >对一切*n N ∈都成立的最大整数k 的值。

21、（本小题满分13分）已知函数322()33f x x ax a a =--+（0a >）。

（1）求函数()f x 的单调区间；（2）曲线()y f x =在点(,())A m f m 和(,())B n f n （m n <）处的切线都与y 轴垂直，若曲线()f x 在区间[,]m n 上与x 轴相交，求实数a 的取值范围。

侧视图22、（本小题满分13分）椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右准线是1x =，倾斜角4πα=的直线l 交椭圆于A 、B 两点，已知AB 的中点为11(,)24M -。

（1）求椭圆的方程；（2）若P 、Q 是椭圆上满足223||||4OP OQ +=的两点，求证：||OP OQ k k ⋅是定值。

答案一、选择题：BCAAD CABAD CD 二、填空题13、8 14、310x - 15、1216、圆内。

三、解答题17、（1）由sin 2m n C ⋅=得cos cos sin sin()sin 2snA B A B A B C +=+=，即sin sin 2C C =，所以1cos ,23C C π==。

……………………………………6分 （2）∵sin A 、sin C 、sin B 成等比数列，∴2ab c =，由()18CA AB AC ⋅-=得18CA CB ⋅=，即cos 18ab C =，所以36ab =，因此有236c =，6c =。

……………………………………12分18、设A ＝{A 项指标达标}，B ＝{B 项指标达标}，A 、B 是相互独立的，且()()P A P B >，由题意知，11()12P A B +=，5()12P A B A B ⋅+⋅=，而11()()()()12P A B P A P B P A B +=+-⋅=，解得3()4P A =，2()3P B =。

…………3分（1）A B ⋅={一个零件经过检测为合格品}1()()()2P A B P A P B ⋅=⋅=。

……2分（2）C ＝{任意依次抽出5个零件进行检测， 其中至多3个零件是合格品}，则051525355555111113()()()()()222216P C C C C C =+++=…………4分（3）1~(4,)2X B ，则1422EX np ==⨯=，114122DX npq ==⨯⨯=…………3分19、由题意知，面ABEF ⊥面ABCD ，AB ⊥面ADE ，且四边形ABEF 与四边形ABCD 均是边长为2的正方形，90EAD ∠=。

…………3分（1）该几何体的体积为122242⨯⨯⨯=…………2分（2）因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，又∵AE ABCD ⊥面，∴AE BD ⊥，则BD AEC ⊥面，所以平面ACE ⊥平面BDF 。

…………4分（3）∵FB ABCD ⊥面，∴直线OP 与平面ABCD 所成的角为6POB π∠=，又BO =∴BP =，且2FB =，由BP BF λ=（0λ>2λ=，λ=。

……3分 20（1）由1n n n a S S -=-（2n ≥），21122n S n n =+知5n a n =+对*n N ∈成立；由2120n n n b b b ++-+=知{}n b 是等差数列，又因为311b =，959153S b ==，知3d =，所以32n b n =+。

……6分（2）31111[](211)(21)(21)(21)22121n n n c a b n n n n ===----+-+，所以11(1)223n T n =-+，要57n k T >对一切*n N ∈都成立，即11(1)22357k n ->+对一切*n N ∈都成立，而11(1)223n T n =-+当2n ≥时单调递增的，所以11(1)223n T n =-+在*n N ∈的最小值为25；当2557k>时，22.8k <，所以最大整数k 的值为22。

……C6分 21、（1）由2()360f x x ax '=->（0a >）知()f x 在(,0)-∞和(2,)a +∞是增函数，()f x 在(0,2)a 是减函数。

即(,0)-∞和(2,)a +∞是()f x 的单调递增区间，(0,2)a 是()f x 的单调递减区间。

……6分（2）由曲线()y f x =在点(,())A m f m 和(,())B n f n （m n <）处的切线都与y 轴垂直知，()()0f m f n ''==，又m n <，所以0m =，2n a =，若曲线()f x 在区间[,]m n 上与x 轴相交即若曲线()f x 在区间[0,2]a 上与x 轴相交，又()f x 在[0,2]a 上单调，所以(0)(2)0f f a <，即22(31)(2031)0a a a a -+-<，得31()403a -+∈……6分22、（1）直线l 的倾斜角4πα=，过点11(,)24M -，所以直线l 的方程为34y x =+，把直线l 的方程代入到椭圆22221x y a b+=的方程得222222239()0216a b x a x a a b +++-=，由AB 的中点为11(,)24M -知322312()2a ab =-+，得222b a =；又右准线是1x =，所以21a c=，从而得214b =，224a =，故22241x y +=为所求。