第八章计算机采样控制系统
第八章 计算机采样控制系统
§8.4 采样控制系统的数学模型
或
(n) y(k) c1(n-1) y(k) cn-1y(k) cn y(k) d 0(m) r(k) d1 (m-1) r(k) d n-1r(k) d n r(k)
y (i) (k ), r ( j) (k) (i 0,1,, n; j 0,1,, m) 分别表示输出
一、差分方程
如将连续系统离散化，则可将各阶微分用各阶差分近似代替，从 而得到用输出、输入信号的离散序列及其各阶差分所描述的系统运动 方程，如下所示：
(n) y(k) c1(n-1) y(k) cn-1y(k) cn y(k) d 0 (m) r(k) d1(m-1) r(k) d n-1r(k) d n r(k)
后向差分方程
y(k) a1 y(k - 1) an-1 y(k - n 1) an y(k - n) b0r(k) b1r(k - 1) bm-1r(k - m 1) bmr(k - m)
其中n是差分方程的阶数，等于输出变量序号的最高值与最低值
之差。
表明 E (s) 是s的周期性函数。
第八章 计算机采样控制系统
§8-2 信号的采样与保持
(2) 采样定理
用 s j 代入上式得
E ( j)
1 T
E( j(
k -
k s
))
根据采样频率 s 的大小
第八章 计算机采样控制系统
§8-3 Z变换和Z反变换
2．求Z变换的方法
(1) 级数求和法 ：根据Z变换定义求得。
例8-1 求单位阶跃函数的Z变换
解 单位阶跃函数在各个采样时刻的值均为1，即1(kT) 1 ，k=0, 1, 2, …，则
Z[1(t)]
1
k 0
z -k
11
z -1
1
§8-2 信号的采样与保持
零阶保持器的幅频特性如图8-9所示 Gh ( j)
0
s
2s
3s
图8-9 零阶保持器的幅频特性
由图8-9可见，其幅值随着频率 的增大而衰减，具有明显的低通滤波特性，此外，由
相频特性可见，采用零阶保持器还将产生相角滞后，对稳定性不利。
第八章 计算机采样控制系统
§8-2 信号的采样与保持
零阶保持器
eh (t) eh (t)
T 2
0 T 2T 3T 4T
t
0 T 2T 3T 4T
t
图8-7 零阶保持器的输入和输出信号
第八章 计算机采样控制系统
§8-2 信号的采样与保持
2．零阶保持器的传递函数
gh (t) 1
由图可见：
gh (t) 1(t) -1(t - T )
0T gh (t)
第八章 计算机采样控制系统
通常把采样周期T当作一个单位，并将 f (kT) 简记为 f (k) ，这样，采样序列的Z
变换即定义为
F (z) Z[ f * (t)] Z[ f (k)] f (k)z -k
k 0
Z变换式只表征了连续函数在采样时刻的特性，而不能反映采样时刻 之间的特性。 Z变换实质上是指经过采样后 f (t)的 Z变换。
脉冲序列的过程。
采样器（采样开关）：用来实现采样过程的装置，可以用一个按一定周期闭合的开关
来表示，其采样周期为T，每次闭合时间为ε，如图8-3所示。
理想的采样器相当
e (t)
e*(t)
于一个理想的单位 脉冲序列发生器
T
0
t
0T
t
图8-3 模拟信号的采样
第八章 计算机采样控制系统
§8-2 信号的采样与保持
1
z
k0
1 - e-aT z -1 z - e-aT
第八章 计算机采样控制系统
§8-3 Z变换和Z反变换
e-aT z -1 1 ，即 z e-aT 时收敛。
(2) 部分分式法
当连续函数f (t) 的拉氏变换 F(s) 为s的有理函数，可以展开成部分分式，即
相应于F(s) 的Z变换为
n
n阶前向差分为：
n y(k) [(n-1) y(k)]
一阶后向差分为： 二阶后向差分为：
y(k) y(k) - y(k -1)
2 y(k) [y(k)] [ y(k) - y(k -1)] y(k) - 2 y(k -1) y(k - 2)
n阶后向差分为：
T (t) 是一个以T为周期的函数，可以展开为傅立叶级数 ，其复数形式为：
T (t) Ane jkst k -
e (t )
e(t)T
(t)
1 T
e(t)e
k -
jkst
E (s)
1 T
E(s
k -
jk s
)
上式反映了采样函数的拉氏变换式 E (s) 和连续函数拉氏变换式 E(s)之间的关系，这
第八章 计算机采样控制系统
§ 8.1 概述 §8.2 信号的采样与保持 §8.3 Z变换和Z反变换 §8.4 采样控制系统的数学模型 §8.5 采样系统的性能分析
§8.6 采样控制系统的设计
第八章 计算机采样控制系统
§8-1 概 述
定义
离散信号：离散系统中的一处或数处的信号不是连续的模拟信号，而是在时间上离散的 脉冲序列。 离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行 采样而得到的，故又称为采样信号，相应的离散系统称为采样系统。
解
因为 F(s) a 1 - 1 s(s a) s s a
，由拉氏反变换知，f (t) 1 - e-at
，故由例8-1和
例8-2可知：
F(z) 1 -
1
(1 - e-aT )z -1
z(1 - e-aT )
1 - z -1 1 - e-aT z -1 (1 - z -1 )(1 - e-aT z -1 ) (z - 1)(z - e-aT )
n y(k) [ (n-1) y(k)]
第八章 计算机采样控制系统
§8.4 采样控制系统的数学模型
从而得到相应的系统前向差分方程和后向差分方程如下： 前向差分方程
y(k n) a1 y(k n - 1) an-1 y(k 1) an y(k) b0r(k m) b1r(k m - 1) bm-1r(k 1) bmr(k)
计算机采样控制系统如图8-1所示。
r(t) e(t)
-
e (t) 数字 u (t)
A/D
控制器
D/A
数字计算机
uh (t) 被控 c(t)
对象
测量 元件
图8-1 计算机采样控制系统
第八章 计算机采样控制系统
§8-1 概述
在分析采样控制系统时，把 A/D和D/A的工作过程理想化， 即认为A/D转换相当于一个 每隔T秒瞬时接通一次的理想采样开关，它把连续信号变成数字信号； 而D/A转换则近 似于一个保持器，它把数字信号变成连续信号。
于是，图8-1中的计算机采样控制系统就可以用图8-2的结构图来表示。
r(t)
e(t) e(t) 数字
T
控制器
-
u (t)
uh (t)
保持器
T
被控 对象
c(t)
测量 元件
图8-2 采样控制系统结构图
第八章 计算机采样控制系统
§8-2 信号的采样与保持
一、采样过程
采样过程：就是按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其变换为时间上离散的
§8-2 信号的采样与保持
为使采样后的信号不丢失原连续信号的信息，或者说为了能将采样后的 离散信号恢复为原连续信号，必须使采样信号的频谱中各部分相互不重叠， 即：
s 2max
香农(Shannon)采样定理 只有当 s 2max 时，采样后的离散信号才能保持原连续信 号的信息，可无失真地恢复为原来的连续信号。
输入信号的各阶前向差分
y (i) (k) r ( j) (k ) 表示输出、输入信号的各阶后向差分。
以输出为例的各阶差分如下：
第八章 计算机采样控制系统
§8.4 采样控制系统的数学模型
一阶前向差分为： y(k) y(k 1) - y(k)
二阶前向差分为：
2 y(k) [y(k)] [ y(k 1) - y(k)] y(k 2) - 2 y(k 1) y(k)
e (t)
T(t) e(t) 调制器 e*(t)
0 T(t)
0 e*(t)
0
单位脉冲序列
T (t) (t - kT) k -
t
e
(t)
e(t ) T
(t)
e(t)
k -
(t
-
kT)
e(kT)
k -
(t
-
kT)
E(s) L[e(t)] e(kT)e-kTs k 0
Gh ( j) Gh ( j)
幅频特性为
Gh ( j)
sin2 T (1 - cosT )2 sin(T / 2)
T
T / 2
相频特性为
Gh
( j)
arctan
-
(1- cosT sin T
)
arctan
-
tan
T 2
-
T 2
