一、 环的定义与基本性质（一） 环的定义:1、 定义1:交换群称为加群(Aβελ群),其运算叫做加法,记为“+”。

2、 定义2:代数系统),;A (⋅+称为环,若1)(A,+)就是加群;2)代数系统);A (⋅适合结合律;3)乘法);A (⋅对加法+的分配律成立。

3、 例子(1)),;Z (⋅+、),;Q (⋅+、),;R (⋅+、),;C (⋅+都就是环,均称为数环。

(2)Z[ι] ={α+βι | α、β∈Z,ι2=－1 },则),];i [Z (⋅+也就是数环,称之为高斯整环。

(3)设Φ就是任一数环,则Φ[ξ]关于多项式加法与乘法作成一个多项式环。

(4)Z ν={所有模ν剩余类},则),;Z (n ⋅+就是模ν剩余类环,这里[α]＋[β] = [α+β],]b []a [⋅ = [αβ].(5)设(A,＋)就是加群,规定乘法如下:,A b ,a ∈∀αβ=0,则),;A (⋅+作成一个环,称之为零环。

(二)环的基本性质:(1)0x a a x =⇒=+。

(2)a x x a -=⇒=+0。

(3)c b c a b a =⇒+=+。

(4)nb na )b a (n +=+。

(ν为整数)(5)na ma a )n m (+=+。

(μ、ν为整数)(6))na (m a )mn (=。

(μ、ν为整数)(7),A a ∈∀ 000=⋅=⋅a a 。

(8)ab )b (a b )a (-=-=-。

(9)ab )b )(a (=--。

(10)ac bc c )a b (,ac ab )c b (a -=--=-。

(11)j m i n j i n j j m i i b a b a ∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111 。

(12))ab (n )nb (a b )na (==。

(ν为整数)。

(13)若环中元a 、b 满足ba ab =,则()k n k nk k n n b a C b a -=∑=+0 (14)mn n m n m n m a )a (,a a a ==⋅+。

(μ、ν为整数)(三)交换律与单位元:1、定义3:环R 叫做交换环,若,R b ,a ∈∀有ba ab =定义4:环R 的元e 称为单位元,若,R a ∈∀有a ea ae ==约定:环R 若有单位元,则记其单位元为1,并称R 为有1的环。

性质:设R 就是有1环,则(1)若{}001==R ,则;(2)若P 不仅含一个元,则1≠0.2、 定义5:R 为有1环,a 、,ba ab ,R b 1==∈则称b 为a 的逆元,记为1-a 。

性质:有1环的所有可逆元关于乘法构成群。

二、 整环、除环、域(一)整环1、 定义:设R 为环,a 、R b ∈,若,b ,a 00≠≠ 但0=ab ,则称α为P 的一个左零因子,β为P 的一个右零因子。

定理1:在一个无左零因子的环里,两个消去律都成立;反之,若一个环里有一个消去律成立,则该环无零因子。

推论:环中,若有一消去律成立,则另一消去律也成立。

2、定义:无零因子的有1交换环称为整环。

3、例子(1)A=⎪⎭⎫ ⎝⎛0101、B=⎪⎭⎫ ⎝⎛1100分别就是全阵环M 2(P)的左右零因子。

(2)整数环Z 就是整环;(3)实数域P 上的多项式环P[ξ]就是整环;(4)证明左逆元不就是零因子。

(二)除环与域1、定义:一个至少包含一个非零元的有1环R 中,若R 的任一非零元都有逆元,则称R 为除环(或体)。

交换除环称为域。

2、 基本性质:1)除环无零因子。

2)R 为除环⇔R 有1,且R a ∈≠∀0都可逆。

3)R 为除环,则{}0\R R *=关于乘法作成一 个群,反之也然。

4） R 为除环,则0≠∈∀a ,R b ,a ,方程αξ=β, ψα=β在P 中各有唯一解。

5)R 为域,α、β0≠∈a ,R ,则方程αξ=β,ψα=β在P中各有唯一解,且解相同,记为商的形式ab 。

在域中,商有如下性质: (1)bc ad dc b a ,d ,b =⇔=≠≠则00; (2))d ,b (bdbc ad d c b a 00≠≠+=+; (3))d ,b (bdac d c b a 00≠≠=⋅。

3、 环、整环、除环、域的隶属关系:环P的特征记为Xηαρ(P)定理2:无零因子环的特征或为无限大,或为素数。

推论:整环、除环、域的特征或无限大,或就是素数。

四、子环、环的同态(一)子环1、子环的概念与例子定义1:设∑就是环P的一个非空子集,若∑对于P的两个运算也作成环,则称∑为P的子环,而P为∑的扩环。

特别,可相仿得到子体、子域的概念。

2、子环的判别定理定理1:∑为环P的非空子集,以下四条等价: （1）∑为P的子环;（2）S⇒+-0;∈且∀∈ab,bS∈ac,c,b,aS(3) S+⇒∀;b,a∈∈-S,aaba,b(4) S⇒∈∀。

-,babaSb,a∈定理2:设{0}⎺K 就是体(域)Φ的非空子集,以下四款等价:（1） K 就是Φ有子体(域);（2） K ,K ∈∈10且K d ,c ,ab ,b a K d ,c ,b ,a ∈-+⇒∈≠∀-10;(3) K c ,ab ,b a K c ,b ,a ∈-⇒∈≠∀-10;(4) K ab ,K b a b ,K b ,a ∈∈-⇒≠∈∀-10。

3、环与子环关于交换律、零因子、单位元的情形:1） 关于交换律:① 交换环的子环必就是交换环;② 非交换环的子环可能就是交换环,也可能就是非交换环。

2） 关于零因子:① 无零因子环的子环无零因子;② 有零因子环的子环可能有零因子,也可能无。

3） 关于单位元的例:① Θ、Z 的单位元都为1,这里Z ⊂Θ、② ⎪⎭⎫ ⎝⎛1 00 1 为M 2(P)的单位元,而 R a 0 00 a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=S 的单位元为)R (M S ,20 00 1⊂⎪⎭⎫ ⎝⎛. ③Z 的单位元为1,但Z 的子环偶数环却无单位元.④⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=z b a, b 00 a R 对运算⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛d b 0 0 c a d 00 c b 00 a , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0 00 ac d 00 c b 00 a 作成环,但P 无单位元,而 z a 0 00 a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫⎝⎛=S 为P 的子环,∑有单位元⎪⎭⎫ ⎝⎛0 00 1. ⑤P 为偶数环,{}z n 4∈=n S 为P 的子环,P 与∑都无单位元.(二)环的同态以下总设);;R (•+、);;R (•+就是代数系统。

1、环的同态基本性质:定理1:设 P 就是环,P R ,则R 也就是环,而且 (1)00=)(ϕ;(2)R a ),a ()a (∈∀-=-ϕϕ;(3)若P 为交换环,则R 也就是交换环;(4)若P 有1,则)(1ϕ为R 的单位元。

定理2:设P 、R 都就是环,P R ,则P 就是整环(体、域)⇔R 就是整环(体、域)。

1、 关于零因子与特征的例:(1)ν为合数,[]z a ,a a :∈∀→ϕ,则()•+,;z ()•+,;z n ,而ζ无零因子,n z 有零因子; (2)规定),d b ,c a ()d ,c ()b ,a (++=+),bd ,ac ()d ,c )(b ,a (= 则(){}z b ,a b ,a R ∈=就是环,且有零因子.令a )b ,a (:→ϕ,则P Z,但Z 无零因子。

（3） π为素数,ϕ同 (1) ,则ZZ ∏, 且Xηαρ(Z)+∞=,但Xηαρ(Z ∏)=∏。

3、挖补定理:引理:若存在代数系统),;A (•+到集A 的一个双射ϕ,则可在A 上规定代数运算,使A A 。

定理3(挖补定理)设∑就是环P 的子环,∑＇就是∑在P 中的补集,S 就是另一环。

若φ=S 'S I ,且∑～S ,则存在S 的扩环R 使R R ≅。

五、理想定义:环P 的一个非空子集Θ叫做P 的一个理想子环,简称理想,如果(ι) α、βQ b a Q ∈-⇒∈;(ιι) αQ ar ,ra R r ,Q ∈⇒∈∈。

任何一个环都至少有两个理想:环本身,称为环的单位理想;以及{}0,称为该环的零理想。

定理1:除环只有零理想与单位理想。

定理2:P 就是一个环,R a ∈,则 Y=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈∈+++∑=m i i i i i Z n ,N m ,R t ,s ,y ,x na at sa ay x 1就是P 的一个理想。

定义:定理2中的Y 称为由α生成的P 的一个主理想,记为(α)。

定理3:设α为环P 的元,那么（1） 若P 为交换环,则（2） (α)=｛ρα+Z n ,R r na ∈∈｝;（3） 若P 为有1环,则(α)={};R y ,x ay x i i i i ∑∈ （4） 若P 为有1交换环,则(α)={}R a ra ∈。

定理4:m 21a ,a ,a Λ为环P 的元,则()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=∑=i m i i i a s s M 1就是P 的理想。

定义:定理4中的M 称为由m a ,a ,a Λ21生成的理想,记为(m a ,a ,a Λ21)。

六、剩余类环、同态与理想若Θ为环P 的理想,则(Θ;+)就是(P;+)的不变子群,那么商群[]{}R a a Q /R ∈= ,其中 []{}Q x x a a ∈+=为R a ∈所在的陪集,并称[]a 为P 的一个模Θ剩余类。

显然,()R b ,a ,Q b a Q b a ∈∀∈-⇔≡定理1:P/Θ对于运算[α]+[β]=[α+β] , [α][β]=[αβ],R b ,a ∈∀作成一个环,且P ～P/Θ,这里Θ为环P 的一个理想。

定义:称P/Θ为环P的模Θ的剩余类环。

定理2:P、R都为环,且P R,则κερϕ为P的一个理想,且P/κερϕR≅.定理3:环P～R,则（ι）P的一个子环(理想)∑的象S就是R的子环(理想);（ιι）R的一个子环(理想)S的逆象∑就是P的子环(理想)。

七、最大理想定义:一个环P的一个不等于P的理想Θ,若P没有其它包含Θ的理想存在,则称Θ为P的一个最大理想。

即,若N为P之一理想,且QN⊃,那么必N=P,则称理想Θ为P的最大理想。

Λεμμα1:Θ为环P的一个理想,P/Θ除零理想与单位理想外不再有理想,当且仅当Θ为最大理想。

Λεμμα2:若有1交换环P除了单位理想与零理想外没有其它理想,则P就是域。

定理:设Θ为有1交换环P的一个理想,则P/Θ就是域⇔Θ为最大理想。