三角函数求值域专题求三角函数值域及最值的常用方法：（1） 一次函数型：或利用为：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a ，利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，（1）：5)123sin(2+--=πx y ，x x y cos sin =（2）x x y cos 3sin 4-=（3）.函数在区间上的最小值为 1 ． （4）函数且的值域是___(,1][1,)-∞-⋃+∞（2）二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解； 二倍角公式的应用：如： （1） x x y 2cos sin += （2）函数的最大值等于43． （3）.当时，函数的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ． （5）.若，则的最大值与最小值之和为____2____．（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。
例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。
解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。
作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q的两切线得斜率分别为3-3。
结合图形可知，此函数的值域是[。
解法2：将函数sincos2xyx=-变形为cos sin2y x x y-=，∴sin()xφ+=由|sin()|1xφ+=≤22(2)1y y⇒≤+，解得：33y-≤≤，故值域是[33-解法3：利用万能公式求解：由万能公式212sinttx+=，221cos1txt-=+，代入sincos2xyx=-得到2213tyt=--则有2320yt t y++=知：当0t=，则0y=，满足条件；当0t≠，由24120y=-≥△，33y⇒-≤≤，故所求函数的值域是[33-。
解法4：利用重要不等式求解：由万能公式212sinttx+=，221cos1txt-=+，代入sincos2xyx=-得到2213tyt=--当0t=时，则0y=，满足条件；当0t≠时，22113(3)yt tt t==---+，如果t > 0，则22113(3)yt tt t==-≥=--+，此时即有03y-≤<；如果t < 0，则213()(3)ytt=≤=-+-0y<≤。
综上：此函数的值域是[。
例2.求函数的最小值．解法一：原式可化为，得，即，故，解得或（舍），所以的最小值为．解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点B在左半圆上，由图像知，当AB与半圆相切时，最小，此时，所以的最小值为．（4）换元法．代数换元法代换：x x x x y cos sin cos sin ++= 令：t t y t x x +-==+21,cos sin 2则再用配方、 例题：求函数的最大值．解：设，则，则，当时，有最大值为．（5）降幂法型如)0(cos sin sin 2≠+⋅+=a c x x b x a y 型。
此类型可利用倍角公式、降幂公式进行降次、整理为sin 2cos 2y A x B x =+型再利用辅助角公式求出最值。
例1：求函数)2474(cos sin 4sin 3cos 35)(22ππ≤<-+=x x x x x x f 的最值，并求取得最值时x 的值。
解：由降幂公式和倍角公式，得x xx x f 2sin 222cos 1322cos 135)(--++= 332sin 23cos 32+-=x x 33)62cos(4++=πx∵2474ππ≤<x ， ∴436232πππ≤+<x ，∴21)62cos(22-<+≤-πx ∴()f x 的最小值为2233-，此时247π=x ，()f x 无最大值。
例2. 已知函数，．（I ）求的最大值和最小值；（II ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 解：（Ⅰ） ．又，，即，． （Ⅱ），，且，，即的取值范围是． （5）典型应用题扇形的半径为1，中心角为，是扇形的内接矩形，问在怎样的位置时，矩形的面积最大，并求出最大值．解：连接，设，则，，． ，，所以当时，在圆弧中心位置，．类型6：条件最值问题（不要忘了条件自身的约束）。
例1. 已知，求的最大值与最小值． 解：（1）由已知得：，，则．，当时，有最小值；当时，有最小值．例2：已知αβαsin 2sin 2sin 322=+，求βα22sin sin +=y 的取值范围。
解：∵αβαsin 2sin 2sin 322=+，∴ααβsin sin 23sin 22+-= ∵1sin 02≤≤β ∴32sin 01sin sin 230sin sin 2322≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≥+-ααααα解得∵21)1(sin 21sin sin 21sin sin 2222+--=+-=+=αααβαy ∵32sin 0≤≤α。
∴sin α=0时，0min =y ； 32sin =α时，94max =y ∴94sin sin 022≤+≤βα。
例3 ：求函数x x y -+=1的最大值和最小值，并指出当x 分别为何值时取到最大值和最小值。
解：∵定义域为0≤x ≤1，可设x x 2cos =且20πθ≤≤θθ22sin cos 11=-=-x ，20πθ≤≤∴)4sin(2cos sin sin cos 22πθθθθθ+=+=+=y∵20πθ≤≤，∴4344ππθπ≤+≤，∴1)4sin(22≤+≤πθ即21≤≤y ABORS PQ∴当44ππθ=+或434ππθ=+，即θ =0或2πθ=（此时x=1或x=0），y=1；当2πθ+，即4πθ=时，（此时21=x ），2=y ，当x=0或x=1时，y 有最小值1；当21=x 时，y 有最大值2。
【反馈演练】1．函数的最小值等于____－1_______．2．已知函数，，直线和它们分别交于M ，N ，则_________． 3______4 _______． 4．函数的最大值为_______5．函数的值域为 .6．已知函数，则的值域是 .7．已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等 于_________．328．（1）已知，函数的最大值是_______. （2）已知，函数的最小值是____3___.9．在△OAB 中，O 为坐标原点，，则当△OAB 的面积达最大值时，_____________ ．10．已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值． 解：（Ⅰ）．因此，函数的最小正周期为．（Ⅱ）因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，， 故函数在区间上的最大值为，最小值为． 解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：2π123(1,1)-[,22-x由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．11．若函数的最大值为，试确定常数a 的值. 解：因为的最大值为的最大值为1，则所以 12．已知函数．（1）若．求使为正值的的集合；（2）若关于的方程在内有实根，求实数的取值范围. 解：（1）∵又 ∴ （2）当时，∴ 则，∴∵方程有实根，得∴【高考赏析】（1）设函数2()sin f x x xcos x ωωωα=++（其中0,R ωα>∈），且()f x 的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π。
（I ）求ω的值。
（II ）如果()f x 在区间5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求α的值。
1()2sin 22 sin 232 2,6321.2f x x x x ωωαπωαπππωω=++⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⋅+==解：（I ）依题意得解之得)257 ,0,,36361 sin()1,2351 (),3621 22x x x f x παπππππππαα++⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-≤+≤⎡⎤--++⎢⎥⎣⎦-++=（II)由（I ）知,f(x)=sin(x+3又当时，故从而在上取得最小值因此，由题设知12α=2.已知函数f(x)=3sin(2x －π6)+2sin 2(x －π12) (x ∈R)(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合.解:(Ⅰ) f (x )=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π12)= 2[32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12)]+1 =2sin[2(x －π12)－π6]+1 = 2sin(2x －π3) +1 ∴ T =2π2=π (Ⅱ)当f (x )取最大值时， sin(2x －π3)=1，有 2x －π3 =2k π+π2即x =k π+5π12 (k ∈Z ) ∴所求x 的集合为{x ∈R |x = k π+ 5π12， (k ∈Z )}．。