【标题01】没能准确全面理解命题的概念【习题01】判断下列语句是否是命题？(1)2008年5月12日在四川汶川县难道没有发生了里氏8.0特大级地震吗？(2)对2(1)0x -≤，有210x -<.【经典错解】(1)(2)都不是命题.【习题01针对训练】判断下列语句是否是命题？（1）请举起手来！（2）今天天气真好！（3）0x > ；（4）0a b >>,则ac bc >.【标题02】混淆了逻辑联结中的“或”与日常生活中的“或”【习题02】若命题p ：方程(2)(1)0x x +-=的根是2-，命题q ：方程(2)(1)0x x +-=的根是1，则命题“方程(2)(1)0x x +-=的根是2-或1”是__________________(填“真”或“假”)命题.【经典错解】由条件易知命题p 与命题q 都是假命题，而命题“方程(2)(1)0x x +-=的根是2-或1”为“p ∨q ”，故就填假命题.【详细正解】所判断命题应为真命题.根据一真“或”为真判断出命题为真命题.【深度剖析】（1）经典错解混淆了逻辑联结中的“或”与日常生活中的“或”.（2）命题“方程(2)(1)0x x +-=的根是2-或1”中的“或”不是逻辑联结词，有“和”的意思.正确区分数学中的“或”与日常用语中的“或”的不同点.日常用语中的“或”，带有两者选择其一的意思.如：我暑假准备到海南或昆明旅游，意思是或去海南，或去昆明，绝没有两地都去的意思，如果两地都去，应说成：我准备暑假到海南和昆明旅游.逻辑联结词“或”，用在数学命题的分解与合成上，包含了三层：如0ab =包含了“0a =，0b ≠；或0a ≠，0b =；或0a =且0b =”.【习题02针对训练】已知命题p :所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中是真命题的是（ ）A ．()q p ∨⌝B ．q p ∧ C ．()()q p ⌝∨⌝ D ．()()q p ⌝∧⌝【标题03】“且”的否定错误 【习题03】写出命题“若22(1)(3)0x y -+-=，则1x =，且3y =”的逆否命题.【经典错解】逆否命题：“若1x ≠，且3y ≠，则22(1)(3)0x y -+-≠”.【详细正解】逆否命题为：“若1x ≠，或3y ≠，则22(1)(3)0x y -+-≠”.【习题03针对训练】对于以下判断：（1）命题“已知R y x ∈,”，若2x ≠或3y ≠，则5x y +≠”是真命题.（2）设()f x 的导函数为()f x '，若0()0f x '=，则0x 是函数()f x 的极值点.（3）命题“R x ∈∀,0x e > ”的否定是：“R x ∈∃,0x e >”.（4）对于函数(),()f x g x ，()()f x g x ≥恒成立的一个充分不必要的条件是min max ()()f x g x ≥.其中正确判断的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0【标题04】对命题的否定和命题的否命题两者没有区别清楚【习题04】把命题“全等三角形一定相似”写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.【经典错解】原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.【详细正解】原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.【深度剖析】（1）经典错解错在对命题的否定和命题的否命题两者没有区别清楚.（2）命题的否定是对命题的条件和结论的同时否定，经典错解中对“一定”的否定把握不准，误认为“一定”的否定 是“不一定”，实际上“一定”的否定是“一定不”.在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因此否命题与逆否命题错了.【习题04】a 和b 都是偶数的否定是： .【标题05】考虑命题的充分性时没有经过严格的推导【习题05】设命题甲为：两个实数a b 、满足4a b +<，命题乙为：两个实数a b 、满足2a <且2b <，那么( )A ．甲是乙的充分但不必要条件B ．甲是乙的必要但不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件【经典错解】4222,2a b a b +<=+⇔<<,所以本题甲是乙的充要条件，所以选C .【详细正解】（1）先考虑充分性，看4a b +<是否能推出2a <且2b <.可以举反例：134-+<错误！未找到引用源。

所以4a b +<不能推出2a <且2b <，所以甲是乙的非充分条件.（2）再考虑必要性，即看2a <且2b <是否能推出4a b +<.因为2a <且2b <，所以由不等式性质得4a b +<，所以2a <且2b <能推出4a b +<，所以甲是乙的必要条件.综合（1）（2）得甲是乙的必要非充分条件，所以选B .【习题05针对训练】若R y ,x ∈，则1≤y ,x 是122≤+y x 成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【标题06】判断含有否定概念的命题的充要条件问题方法选择不对【习题06】 已知命题甲：4a b +≠, 命题乙:1a ≠且3b ≠，则命题甲是命题乙的 .【经典错解】通过举例得到命题甲是命题乙的充分不必要条件.【详细正解】（1）先考虑充分性，即看命题甲能否推出命题乙.由于命题甲能否推出命题乙等价于命题乙的否命题能否推出命题甲的否命题，所以可以考虑命题乙的否命题能否推出命题甲的否命题.命题乙的否命题为：1a =或3b =，命题甲的否命题为4a b +=.显然命题乙的否命题不能推出命题甲的否命题，如1,6a b == 时不能推出4a b +=.所以甲是乙的非充分条件.（2）再考虑必要性，即看命题乙能否推出命题甲.由于命题乙能否推出命题甲等价于命题甲的否命题能否推出命题乙的否命题，所以可以考虑命题甲的否命题能否推出命题乙的否命题.命题甲的否命题为4a b +=，命题乙的否命题为：1a =或3b =，.显然命题甲的否命题不能推出命题乙的否命题，如3,7a b ==时4a b +=,但是不能推出1a =或3b =.所以甲是乙的非必要条件.综合（1）（2）得甲是乙的非充分非必要条件.【习题06针对训练】命题p ：“1≠x 或3y ≠”是命题q ：“4≠+y x ”的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【标题07】对含逻辑联结词命题的真假规律理解不清【习题07】 已知命题p :方程210x mx ++=有两个不等的负根；命题q :方程244(2)10x m x +-+=无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围．【经典错解】若方程210x mx ++=有两不等的负根，则⎩⎨⎧>>-=∆0042m m 解得2m >，即命题p ：2m >. 若方程244(2)10x m x +-+=无实根，则2216(2)1616(43)0m m m ∆=--=-+<解得：13m <<.即q ：13m <<.因“p 或q ”为真，所以p q 、两个都真，所以22313m m m >⎧∴<<⎨<<⎩ 错误！未找到引用源。

又“p 且q ”为假，所以命题p q 、都假，所以2113m m m m ≤⎧∴≤⎨≤≥⎩或错误！未找到引用源。

, 综合得m 的取值范围为123m m ≤<<或.【详细正解】若方程210x mx ++=有两不等的负根，则⎩⎨⎧>>-=∆0042m m 解得2m >，即命题p ：2m >.若方程244(2)10x m x +-+=无实根，则2216(2)1616(43)0m m m ∆=--=-+<解得：13m <<.即q ：13m <<.因“p 或q ”为真，所以p q 、至少有一为真，又“p 且q ”为假，所以命题p q 、至少有一为假，因此，命题p q 、应一真一假，即命题p 为真，命题q 为假或命题p 为假，命题q 为真.∴⎩⎨⎧<<≤⎩⎨⎧≥≤>312312m m m m m 或或解得：3m ≥或12m <≤.【习题07针对训练】已知0>a ,设命题:p 函数21lg()16y ax x a =-+的定义域为R ；命题:q 当]2,21[∈x 时,函数ax x y 11>+=恒成立，如果q p ∨为真命题,q p ∧为假命题,求a 的取值范围． 【标题08】全称命题的否定没有理解透彻【习题08】已知命题p ：对所有的实数m ，方程20x x m +-=必有实数根，写出p ⌝ .【经典错解】p ⌝：对所有的实数m ，方程20x x m +-=没有实数根.【详细正解】p ⌝：存在实数m ，使方程20x x m +-=没有实数根.【深度剖析】（1）经典错解错在全称命题的否定没有理解透彻. （2）仔细推敲，所给命题p 与p ⌝同为假命题，故上述的陈述是错误的.事实上，对全称量词的否定中用特称量词，对特称量词的否定是用全称量词.由于p 与p ⌝是一对矛盾命题，两者真假性相反，因此在写命题p 的p 命题时，如果出现命题p 与p ⌝命题同真或同假，则一定错了，此时须检查所写的p ⌝命题是否对命题中的全称量词或特称量词进行了否定.【习题08针对训练】已知命题p ：R ∀∈x ,cos 1≤x ，则p ⌝是（ ）A.∈∃0x R,1cos 0≥xB. ∈∀x R,1cos ≥xC.∈∃0x R,1cos 0>xD. ∈∀x R,1cos >x【标题09】命题的否定没有理解透彻【习题09】写出命题p ：“菱形的对角线相等”的p ⌝形式.【经典错解】p ⌝：菱形的对角线不相等【详细正解】原命题可表述为：“所有的菱形的对角线相等”，或“菱形的对角线都相等”，则p ⌝：有些菱形的对角线不相等，或菱形的对角线不都相等.【习题09针对训练】命题“能被2整除的整数都是偶数”的否定是 ( )A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数【标题10】否命题没有理解透彻【习题10】写出命题“质数不是正偶数”的否命题【经典错解】质数是正偶数【详细正解】原命题的否命题是“若一个数不是质数，则这个数是正偶数”【深度剖析】（1）经典错解错在否命题没有理解透彻. （2）此题易写成“质数是正偶数”作为原命题的否命题，即将“命题的否定与否命题”这两个不同的概念混淆在一起了. “命题的否定与否命题”是两个不同的概念，对于命题“p ”而言，命题的否定指的是“非p ”，只否定命题的结论.对于命题“若p 则q ”而言，它的否定形式则为“若p 则非q ”，而其否命题是“若非p 则非q ”,由此可见，“否命题”是对原命题“若p 则q ”既否定其条件，又否定其结论，不否定原命题的条件，从命题的真假来看原命题的否定必定一真一假，而其否命题的真假可能与原命题同真或同假或一真一假.因此要写一个命题的其它形式的命题应首先将其写成“若p 则q ”的形式，有的“p 或q ”与“p 且q ”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义，从而分清是“p 或q ”还是“p 且q ”形式.一般地，若两个命题属于同时都要满足的为“且”，属于并列的为“或”，再根据其它命题的结构形式，写出其它形式的命题，这样才能有效的避免出错.【习题10针对训练】下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若1,12==x x 则”的否命题为：“若1,12≠=x x 则”.B ．“1-=x ”是“0652=--x x ”的必要不充分条件.C ．命题“01,2<-+∈∃x x R x 使得”的否定是：“01,2>-+∈∀x x R x 均有”.D ．命题“若y x y x sin sin ,==则”的逆否命题为真命题.【标题11】逆否命题的概念理解错了【习题11】设命题p ：|43|1x -≤；命题q :0)1()12(2≤+++-a a x a x .若p ⌝是q ⌝的必要而不充分的条件，试确定实数a 的取值范围.【经典错解】据题意知命题p ：112x ≤≤；命题q :1a x a ≤≤+;由条件p ⌝是q ⌝的必要而不充分的条件可知q 是p 的充分而不必要条件，即若不等式|43|1x -≤的解集为A ,不等式0)1()12(2≤+++-a a x a x 的解集为B ，则必有集合B 是集合A 的真子集，所以1112a a +≤⎧⎪⎨≥⎪⎩，结合数轴可得实数a φ∈.【详细正解】据题意知命题p ：112x ≤≤；命题q :1a x a ≤≤+;由条件p ⌝是q ⌝的必要而不充分的条件可知q 是p 的必要不充分条件，即若不等式|43|1x -≤的解集为A ,不等式0)1()12(2≤+++-a a x a x 的解集为B ，则必有集合A 是集合B 的真子集，所以1112a a +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩,结合数轴可得实数a 的取值范围是1[0,]2.B 的必要条件；若A B =，则A 是B 的充要条件.【习题11针对训练】设p ：实数x 满足(3)()0x a x a --< ，其中0a >，q ：实数x 满足223020x x x x ⎧-≤⎨-->⎩. （1）当1a =，p 且q 为真时，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【标题12】没有分清充要条件问题中谁是条件谁是结论【习题12】使不等式02x <<成立的充分不必要条件是（ ）A ．10<<xB ．131<<-x C ．21<<-x D ．20<<x 【经典错解】设p 命题所对应的集合为A ，q 命题所对应的集合为B ，则“p 成立的充分不必要条件是q ”A B ⇔Ü，所以不等式02x <<成立的充分不必要条件对应的集合比集合{}|02x x <<大，根据选项，只有C 符合要求，故选C .【详细正解】设p 命题所对应的集合为A ，q 命题所对应的集合为B ，则“p 成立的充分不必要条件是q ”B A ⇔Ü，所以不等式02x <<成立的充分不必要条件是集合{}|02x x <<的真子集，根据选项，只有A 符合要求，故选A .【习题12针对训练】函数32)(2+-=x x x f ，若a x f -)(＜2恒成立的充分条件是21≤≤x ，则实数a 的取值范围是 ．【标题13】对特称命题的否定没有理解清楚【习题13】命题“02,2<+-∈∃x x R x ”的否定是： .【经典错解】2,20x R x x ∈-+≥不存在【详细正解】02,2≥+-∈∀x x R x【深度剖析】（1）经典错解的造成主要是对特称命题的否定没有理解清楚. （2）特称命题的否定为全称命题.全称命题的否定为特称命题.如果是“,()x D p x ∀∈”，则它的否定是“,()x D p x ∃∈⌝”； 如果是“,()x D p x ∃∈”，则它的否定是“,()x D p x ∀∈⌝”.【习题13针对训练】若命题“x R ∃∈，使得2(1)10x a x +-+≤”为假命题，则实数a 的范围________．【标题14】利用集合的大小关系判断充要条件出错【习题14】已知(1,),(,4),a k b k ==那么“2k =-”是“,a b 共线”的（ ）A.充分非必要条件 B ，必要非充分条件 C.非充分非必要条件 D.充要条件【经典错解】,a b 共线，所以2402k k -=\=?.因为2k =-不能推出2k =?，所以“2k =-”是“,a b 共线”的非充分条件.因为2k =?不能推出2k =-,所以“2k =-”是“,a b 共线”的非必要条件.所以选择C .【详细正解】,a b 共线，所以2402k k -=\=?.因为2k =-能推出2k =?，所以“2k =-”是“,a b 共线”的充分条件.因为2k =?不能推出2k =-,所以“2k =-”是“,a b 共线”的非必要条件.所以选择A .【习题14针对训练】若b a ,都是实数,则“0>-b a ”是“022>-b a ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件高中数学经典错题深度剖析及针对训练第34讲：常用逻辑用语参考答案【习题01针对训练答案】(1)(2)(3)都不是命题，（4）是命题.【习题01针对训练解析】(1)(2)(3)都不是命题，因为它们是不能判定真假的语句.（4）是命题，因为它是能判定真假的语句，只不过它是假命题.【习题04针对训练答案】a 和b 不都是偶数.【习题04针对训练解析】由于“都是”的否定是“不都是”，所以原命题的否定是“a 和b 不都是偶数”.【习题05针对训练答案】B【习题05针对训练解析】因为若R y ,x ∈，则1≤y ,x ，则122≤+y x 不一定成立，所以充分性不成立；若122≤+y x ，则可得1x ≤且1y ≤，所以必要性成立.所以若R y ,x ∈，则1≤y ,x 是122≤+y x 成立的必要不充分条件.故选B .【习题06针对训练答案】D【习题06针对训练解析】由题意当2,6x y ==-时，+=4x y ，当+4x y ≠时，1,5x y ==成立，所以“13x y ≠≠或”是“+4x y ≠”的既不充分又不必要条件.【习题08针对训练答案】C【习题08针对训练解析】∵全称命题的否定是特称命题∴p ⌝是∈∃0x R,1cos 0>x .【习题09针对训练答案】D【习题09针对训练解析】全称命题：“,x A p ∀∈”的否定为“,x A p ∃∈⌝”，否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，所以“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的整数不是偶数”.故选D .【习题10针对训练答案】D【习题10针对训练解析】A ．命题“若21x =则1x =”的否命题为：““若21x =则1x ≠”.是错误的，命题的否命题是对条件结论同时否定；B ．“1-=x ”是“0652=--x x ”的必要不充分条件. 是错误的，“1-=x ”是“0652=--x x ”的充分不必要条件；C ．命题“x R ∃∈，使得210x x +-<”的否定是：“,x R ∀∈均有210x x +->”. 是错误的，命题“x R ∃∈，使得210x x +-<”的否定是：“,x R ∀∈均有210x x +-≥”.D ．命题“若y x y x sin sin ,==则”的逆否命题为真命题是正确的，因为逆否命题与原命题同真假，而原命题为真，故逆否命题也为真命题．【习题11针对训练答案】（1）23x <<；（2）12a <≤.【习题13针对训练答案】13a -<<【习题13针对训练解析】由题意：2(1)10x a x +-+>恒成立．则对应方程2(1)10x a x +-+=无实数根．则2(1)40a ∆=--<，即2230a a --<，所以13a -<<.【习题14针对训练答案】A【习题14针对训练解析】由“0>-b a ”可得 0a b >>，故有“022>-b a ”成立，故充分性成立．由“022>-b a ”可得|||b |a >，不能推出0>-b a ，故必要性不成立． 故“0>-b a ”是“022>-b a ”的充分而不必要条件，故选A .。