广东仲元中学2015学年第二学期期末考试高一
数学学科试卷
第Ⅰ卷 选择题(共60分)
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中只有一项是符合题
目要求的.
1、设全集U N =，集合2{|650},{2,3,4}A x N x x B =∈-+≤=，则()U A C B =( )
A. {1,3,5}
B. {1,2,4,5}
C. {1,5}
D. {2,4} 2、cos 42cos78sin 42sin 78o o o o -=( ) A ．
12- B ．12 C
．2-
D
．2
3、若a b c >>，则下列不等式成立的是( ) A.
11a c b c >-- B. 11a c b c
<-- C. ac bc > D. ac bc < 4、设02απ≤<
，若sin αα>，则角α的取值范围是( ) A. ()32ππ， B.
()3
π
π， C. 4()33ππ， D. 2()33
ππ，
5、要得到函数
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
+=32πx sin y 的图象，只需将函数x sin y 2=的图象( )
A ．向左平移3
π
个单位 B ．向左平移
6
π
个单位 C ．向右平移
3π个单位 D ．向右平移6
π
个单位 6、ABC ∆中，02,3,60AB AC B ==∠=，则cos C =( ) A
．
3 B
．3± C
．3-
D
．3
7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若45=10=35a S ，，则公差d =( )
A.1
B.2
C.3
D.4
8、已知数列{}n a 是公差为1，各项均为正数的等差数列，若13
1,,a a 成等比数列，则过点6(2,)P a 和5(,8)Q a 的直线的斜率是( )
A. 34
B. 14
C.
14
-
D. 13 9、若函数
2
()2sin ()sin()(0)
26
w f x x wx w π
=+->，且()f x 的最小正周期为π，则实数w =( )
A.12
B.1
C. 32
D.2
10、已知
()
3*211
n a n N n =∈-，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使0n S >的n 的最小值为( )
A ．13
B ．12
C ．11
D ．10 11、已知,,a b c 是同一个平面内的三个单位向量，且a b ⊥，则()()a c b c -⋅-的取值范围
是( ) A.
[- B.[ C. 2,2] D.[1
12、若不等式
12(12)4ln ln 4
4
x x
a x ++-≥对任意(,2]x ∈-∞恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A. [1,)+∞
B. ,2]∞（-
C.
43,]32∞-（- D. 43
)
32
-∞[,+
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13、若1x >，则
11
x x +
-的最小值为____________
14、已知tan 7θ=，则2sin cos cos θθθ+=__________ 15、在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若5,7,3
a b B π===
，则ABC S ∆=___
___
16、数列1，2，3，4，5，6，…，n ，…是一个首项为1，公差为1的等差数列，其通项公式n a n
=，
前n 项和
(1)2
n n n S +=
.若将该数列排成如下的三角形数阵的形式
1
2 3
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … … … …
根据以上排列规律，数阵中的第n 行(3≥n )的第3个(从左至右)数是__________. 三、解答题(本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17、(本小题满分10分) 已知向量
1(cos ,),(3sin ,cos 2),2
a x
b x x x R
=-=∈，设函数()f x a b =⋅
1)求()f x 的最小正周期；
2)用五点作图法做出()f x 在区间[0,]π上的草图； 3)写出()f x 在区间
[0,]2
π上的最大值和最小值.
18、(本小题满分12分)
某工厂生产A ，B 两种型号的童车，每种童车都要经过机械、油漆和装配三个车间进行加工，根据该厂现有的设备和劳动力等条件，可以确定各车间每日的生产能力，我们把它们拆合成有效工时来表示.现将各车间每日可利用的有效工时数、每辆童车的各个车间加工时所花费的工时数以及每辆童车可获得的利润情况列成下表：
19、(本小题满分12分) 已知数列
{}n a 的前n 项和为n S ，且()*n N n n n S ∈+=22， 数列{}n a 满足
()*n n N n b log a ∈+=342.
1)求n n
b a
，；
2)求数列{}n n
b a ⋅的前n 项和n T .
20、(本小题满分12分) 在
ABC ∆中，已知
AB B AC
==边上的中线BD =，求sin A 的值.
21、(本小题满分12分)
设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足
1210x x a
<<<
．
1)当1(0,)x x ∈时，证明1
()x f x x <<；
2)设函数()f x 的图像关于直线0=x x 对称，证明
102
x x <
．
22、(本小题满分12分)
已知数列1{}1n a a =中，且
221(1)k k k a a -=+-， 2+123k k k a a =+，其中1,2,3k =.
1)求35
,a a ；
2)求{}n
a 的通项公式.
广东仲元中学2015学年第二学期期末考试高一
数学学科答案
选择填空题CABCBD CBDCDC 3
17、解：(1)………………2分
的最小正周期为…………………………………………………………3分
(2)列表得
……5分作图：(草图，仅供参考)
…………8分
(3)由图像可得在上的最大值为1，最小值为……………………10分
18、解：设(单位辆)分别是A，
B两种型号童车的日生产量，工厂每日可获得利润为元，则，其中满足约束条件：………………………………………1分
，即，
………………4分
作出可行域如由图：
……………………………………7分
将化成直线，当变化时，直线的斜率为，在轴上的截距为的一簇平行直线，当直线在轴上的截距最大时取最大值.由图易知，直线过A点时，取最大值，由得………………………………9分
由于A点不是整数点，在可行域的整数点中，是最优解.
此时(元)…………………………………………………………………11分
答：生产A种童车2辆，B种童车32辆，能使工厂获得最大利润，最大利润为332元. ………………………………………………………………………………………………12分
19、解:(1) 由，得，当时，.
又也适合上式，所以………………………………………3分
由，得……………………………………6分
(2)由(1)知，所以
………………………………8分所以
故………………………………………………………………12分
20、解法一：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，……2分
设BE=x，在ΔBDE中利用余弦定理可得：，…4分
，解得，(舍去).…………………………5分故BC=2，从而，即，………7分又在内，，……………………………………………………………9分由正弦定理得，…………………………………………12分
解法二：在内，由得，………………………………2分
以B为坐标原点，为x轴正向建立直角坐标系，不妨设点A位于第一象限，则，……………………………………4分设=(x，0)，则…………………………6分
，………………………………………………8分解得：，(舍去)，故，………………………9分
于是，……………………11分
∴.…………………………………………………12分
解法三：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC
做PN⊥BC交BC的延长线于N，则，…………3分
，…………5分
而，
，………8分
………………10分
故由正弦定理得，∴………………12分
21、证明:(Ⅰ)令因为是方程的根，所以
设当时，由于得，
又得，即.
由得，，，，得，由此得.
(Ⅱ)依题意知
因为是方程的根，即是方程的根，
∴，
因为，所以．
22、解：(I)
所以.
(II) ，所以，同理，………………所以
由此得，于是
的通项公式为：
当n为奇数时，，
当n为偶数时，.。