§ 3.3 整体刚度矩阵
将方程组也用矩阵表示： 将方程组也用矩阵表示：
4 i1 2i 1 0 2 i1 4 i1 + 4 i 2 2 i2 0 δ1 M 1 2 i2 δ 2 = M 2 4 i2 δ 3 M 3
a)
2
c)
Fqe2
Fqe1
Fqe2
2
δ1
=
δ2
=
2
+
1
1、在施加荷载之前先在结点处各加上一个刚臂用以限制结 、 点角位移，这样，单元即成为固端梁，而后施加荷载。 点角位移，这样，单元即成为固端梁，而后施加荷载。由于荷 载作用，在各杆端将产生固端剪力和固端弯矩。 载作用，在各杆端将产生固端剪力和固端弯矩。 2、在原结构的结点处分别施加与约束反力数值相等、方 、在原结构的结点处分别施加与约束反力数值相等、
e e 将两种情况进行叠加， 向相反的外力 Fq1 、 Fq 2 ，将两种情况进行叠加，就可得到
原来的荷载作用情况。 原来的荷载作用情况。
Fqe1 、Fqe2 称为单元的等效结点荷载 这里所识“等效”，是 称为单元的等效结点荷载(这里所识 等效” 这里所识“ 指图c与图 两种情况的结点位移是相等的，因为图b情况的结点位 与图a两种情况的结点位移是相等的 指图 与图 两种情况的结点位移是相等的，因为图 情况的结点位 移为零)。 移为零 。
------为结点力 为结点力 荷载） （荷载）列阵
------称为整体刚度矩阵 称为整体刚度矩阵
结构刚度矩阵 的性质： 的性质：
1、对称性：结构刚度矩阵是一个对称矩阵，即位于主对角线 、对称性：结构刚度矩阵是一个对称矩阵， 两边对称位置的两个元素是相等的。 两边对称位置的两个元素是相等的。 2、由于连续梁结构为几何不变体系，因此其整体刚度矩阵为 、由于连续梁结构为几何不变体系， 非奇异矩阵。 非奇异矩阵。 3、结构刚度矩阵是一带状矩阵。 、结构刚度矩阵是一带状矩阵。
§ 3.4
非结点荷载的处理
以上关于矩阵位移法的讨论， 以上关于矩阵位移法的讨论，是说结构的结点位移作为基 本未知量。在讨论中，我们只考虑了作用结点荷载的情况。 本未知量。在讨论中，我们只考虑了作用结点荷载的情况。由 此所得到的矩阵位移法基本方程，即整体刚度方程，表述了结 此所得到的矩阵位移法基本方程，即整体刚度方程， 点位移和给点荷裁的关系。而实际上， 点位移和给点荷裁的关系。而实际上，不论是恒载还是活载常 常是作用在杆件单元上的均布荷载、分布荷载或集中荷载。 常是作用在杆件单元上的均布荷载、分布荷载或集中荷载。对 于这种非结点荷载的处理，一种方法是， 于这种非结点荷载的处理，一种方法是，不论均布或分布荷载 都适当地改用若干集中荷载加以代替， 都适当地改用若干集中荷载加以代替，并把集中荷载的作用点 也看作结点。这样处理的结果是，加多了单元和结点位移，从 也看作结点。这样处理的结果是，加多了单元和结点位移， 而增加了计算工作量。另一种则是目前通用的处理方法， 而增加了计算工作量。另一种则是目前通用的处理方法，即采 用所谓的等效结点荷载。 举例说明如下： 举例说明如下：
1．对结构的结点和单元进行编号； ．对结构的结点和单元进行编号； 2．进行结构的离散化：将结构拆成两个杆件单元①和②； ． 将结构拆成两个杆件单元① 3．进行单元分析：建立单元刚度矩阵； ． 建立单元刚度矩阵； 4．进行整体分析：将离散化的各单元重新集合，满足原结 ． 将离散化的各单元重新集合， 构的平衡条件和位移连续条件，而得到整体刚度方程。 构的平衡条件和位移连续条件，而得到整体刚度方程。我们利 用已求得的各单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵。 用已求得的各单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵。形成整体刚度 矩阵的方法，以直接刚度法最为常用。 矩阵的方法，以直接刚度法最为常用。
(1)
(1)
(h)
F
( 2)
=k δ
(2)
( 2)
(i )
------称为单元刚度方程 称为
4i1 2i1 4i 2 2i2 ( 2) k = 其中： 其中： k = ( j) (k ) 2i1 4i1 2i 2 4i2 ------称为单元刚度矩阵。 称为 矩阵中的各元素称为单元刚度影响系数。 矩阵中的各元素称为单元刚度影响系数。
(2) M23 ,δ2(2)
1 (1) M12
M
(1) 21
2
(2) M23
3
(1 单元 M 12 ) = 4i1δ (1) + 2i1δ 2(1) (a ) ①： (1) (1) (1) M 21 = 2 i1δ + 4 i1δ 2
1
(2 M 23 ) = 4i2δ 2( 2 ) + 2i2δ 3( 2 ) 单元 (b ) (2) (2) (2) ②: M 32 = 2i2δ 2 + 4i2δ 3
由位移连续条件得： 由位移连续条件得： δ 1(1) = δ 1 (1) (2) δ 2 = δ 2 = δ 2 ( c ) (2) δ3 = δ3
(1 M 12 ) = 4i1δ 1 + 2i1δ 2 (1) M 21 = 2i1δ 1 + 4i1δ 2 ( d ) (2) M 23 = 4i2δ 2 + 2i2δ 3 (2 M 32 ) = 2i2δ 2 + 4i2δ 3
(1)
4i1 = 2i1
2i1 δ 1 4i1 δ 2
(1)
(g )
M 23 M 32
(2)
4i 2 = 2i 2
2i2 δ 2 δ 4i 2 3
(2)
(g ′)
简写为： 简写为：
F
(1)
=k δ
总结为： 化整为零，积零为整” 总结为：“化整为零，积零为整”
§ 3.2 连续梁的单元刚度矩阵
y x
(1) M12 ,δ1(1)
(1) ( M21 ,δ21)
M 1 , δ1
1
M2
① i1
M 2 ,δ2
② i2
(2) M32 ,δ3(2)
M 3 ,δ3
2 ② i2
3
M3
(2) M32
M1
① i1
1
由结点平衡条件： 由结点平衡条件：
(1 Σ M 1 = M 12 ) − M 1 = 0
再将(d)式代入， 再将 式代入，得： 式代入
(1) (2) Σ M 2 = M 21 + M 23 − M 2 = 0 (e ) (2) Σ M 3 = M 32 − M 3 = 0
即为位移法 方程
* * * \ * \ * \ * \ * 0 \ * \ * \ * \ * \ \ * \ * \ * \ 0 * *
综上所述，可将直接刚度法的解算步骤归纳如下： 综上所述，可将直接刚度法的解算步骤归纳如下： (1)将结点和单元进行编号；选择结构坐标系和局部坐标系。 将结点和单元进行编号；选择结构坐标系和局部坐标系。 将结点和单元进行编号 (2)把所有结点力沿结构坐标系分解；建立结点位移列向量和 把所有结点力沿结构坐标系分解； 把所有结点力沿结构坐标系分解 结点力列向量(两者的分量要一一对应 两者的分量要一一对应)。 结点力列向量 两者的分量要一一对应 。 (3) 计算结构坐标系中各单元刚度矩阵的四个子块。 计算结构坐标系中各单元刚度矩阵的四个子块。 (4)将各单元刚度矩阵的四个子块，按其两个下标在结构原始 将各单元刚度矩阵的四个子块， 将各单元刚度矩阵的四个子块 刚度矩阵中“对号入座” 刚度矩阵中“对号入座”。 (5)根据边界条件修改结构原始刚度矩阵计算自由结点位移。 根据边界条件修改结构原始刚度矩阵计算自由结点位移。 根据边界条件修改结构原始刚度矩阵计算自由结点位移 (6)计算在结构坐标系中由杆端位移产生的杆端力；再计算单 计算在结构坐标系中由杆端位移产生的杆端力； 计算在结构坐标系中由杆端位移产生的杆端力 元在局部坐标系中的杆端力。 元在局部坐标系中的杆端力。 (7)计算支座反力。 计算支座反力。 计算支座反力 (8)校核。 校核。 校核
二、结构矩阵分析方法的分类
与传统的力法、位移法和混合法对应， 与传统的力法、位移法和混合法对应，也有矩阵力法、矩 阵位移法和矩阵混合法。矩阵位移法具有易于实现计算过程程 序化的优点而被广泛应用， 序化的优点而被广泛应用，我们主要介绍矩阵位移法。
矩阵位移法又分为刚度法和直接刚度法。两者的基本原理 并无本质的区别， 并无本质的区别，只是在形成所谓整体刚度矩阵时使用的方法
简写为： K ∆ = F 简写为：
------称为整体刚度方程 称为
0 2 i2 4 i2
4i1 2i K= 1 0
2i1 4i1 + 4i2 2i 2
δ 1 ∆ = δ 2 δ 3
------为结点 为结点 位移列阵
M1 F = M 2 M 3
第三章 连续梁的矩阵位移法
§ 3.1 概述 § 3.2 连续梁的单元刚度矩阵 § 3.3 整体刚度矩阵 § 3.4 非结点荷载的处理 § 3.5 连续梁的矩阵位移法举例
§ 3.1 概述
一、结构矩阵分析方法 结构矩阵分析方法
结构矩阵分析方法的广泛应用是近年来结构力学最重要的
发展之一，这与计算机技术的迅速发展有直接的关系。 发展之一，这与计算机技术的迅速发展有直接的关系。它是以 传统的结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表述形式，以 传统的结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表述形式， 电子计算机作为计算手段的三位一体的方法。 电子计算机作为计算手段的三位一体的方法。
结构矩阵分析方法的基本思想是：把整个结构看作是由若 基本思想是