课程名称： 初等数学研究 任课教师姓名： 左晓虹卷面总分： 100 分 考试时长： 100 分钟 考试类别：闭卷 √ 开卷 □ 其他 □注：答题内容请写在答题纸上，否则无效． 一、单选题（4*10=40分）1．设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则||||a b =”的逆否命题是 （ ） （A ）若a b ≠-，则||||a b ≠ （B ）若a b =-，则||||a b ≠ （C ）若||||a b ≠，则a b ≠- （D ）若||||a b =，则a b =-2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 （ ） （A ）28y x =- （B ）28y x = （C ）24y x =- （D ）24y x =3．设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图像是 （ ）4．6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是 （ ）（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20 5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ）（A ）283π-（B ）83π- （C ）82π-（D ）23π6．函数()cos f x x x =-在[0,)+∞内 （ ）（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点（C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点 7．设集合22{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈，1{|||2N x x i=-<，i 为虚数单位，x ∈R }，则MN 为（ ）（A ）（0，1） （B ）(0，1] （C ）[0，1) （D ）[0，1]8．右图中，1x ，2x ，3x为某次考试三个评阅人对同一道题的 独立评分，p 为该题的最终得分，当16x =，29x =，8.5p =时， 3x 等于（ ）（A ）11 （B ）10 （C ）8 （D ）79．设1122(,),(,)x y x y ，…，33(,)x y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如右图），以下结论中正确的是 （ ）（A ）x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 （B ）x 和y 的相关系数在0到1之间（C ）当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 （D ）直线l 过点(,)x y10．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ）（A ）136 （B ）19 （C ）536（D ）16二、解答题（10*5=50分，选做5道题目即可） 1．如右图，∠B=∠D ，AE BC ⊥，90ACD ∠=， 且AB=6，AC=4，AD=12，求BE 的长度．2． 设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1()f x x'=，()()()g x f x f x '=+． （1）求()g x 的单调区间；（2）讨论()g x 与1()g x的大小关系；3．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，求这个最小值． 4．叙述并证明余弦定理． 5．（1）作出相应图像，叙述“三垂线定理”及其逆定理的内容； （2）请至少列出与三角形相关的5个性质命题．6．就感兴趣的某节课，请设计出你认为最好的开课语及结束语． 三、证明题（10分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,AB AC D ⊥、E 分别为1AA 、1B C 的中点，DE ⊥平面1BCC ，求证：AB AC =．一、选择题（4*10=40分）1．C 2． B 3． B 4． C 5． A 6． B 7． C 8． C 9． D 10． D二、解答题（10*5=50分，选做5道题目即可）1.如图，∠B=∠D ，AE BC ⊥，90ACD ∠=，且AB=6，AC=4，AD=12，求BE ． 解：因为AE BC ⊥，所以∠AEB=90ACD ∠=，又因为∠B=∠D ，所以△AEB ∽△ACD ，……5分所以AC ADAE AB=, 所以64212AB AC AE AD ⋅⨯===， 在Rt △AEB 中，22226242BE AB AE =-=-=．………………………5分2. 设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1()f x x'=，()()()g x f x f x '=+． （1）求()g x 的单调区间；（2）讨论()g x 与1()g x的大小关系；解：（1）∵1()f x x'=，∴()ln f x x c =+（c 为常数），又∵(1)0f =，所以ln10c +=，即0c =， ∴()ln f x x =；1()ln g x x x=+，∴21()x g x x -'=，令()0g x '=，即210x x-=，解得1x =，…………2分当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 是减函数，故区间在(0,1)是函数()g x 的减区间；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 是增函数，故区间在(1,)+∞是函数()g x 的增区间；…………3分（2）1()ln g x x x =-+，设11()()()2ln h x g x g x x x x=-=-+， 则22(1)()x h x x -'=-，当1x =时，(1)0h =，即1()()g x g x=， 当(0,1)(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，(1)0h '=，因此函数()h x 在(0,)+∞内单调递减，当01x <<时，()(1)h x h >=0，∴1()()g x g x>；当1x >时，()(1)h x h <=0，∴1()()g x g x<． ………………5分3.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，求这个最小值为．解：（方法一）设树苗放在第i 个树坑旁边（如图），1 2 … i … 19 20 那么各个树坑到第i 个树坑距离的和是(1)10(2)10()10[(1)]10(20)10s i i i i i i i =-⨯+-⨯++-⨯++-⨯++-⨯(1)(20)(120)10[(20)]22i i i i i i i i +-++=⨯⨯--⨯-+210(21210)i i =-+，…………………………8分所以当10i =或11时，s 的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米.……………………2分（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。

树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是19(119)10(1219)210238002+⨯+++⨯=⨯⨯=；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是10(129)10(1210)2⨯++++⨯+++⨯9(19)10(110)1021029001100200022⨯+⨯+=⨯⨯+⨯⨯=+=，所以路程总和最小为2000米.…………………………………………………………10分4. 叙述并证明余弦定理．解： 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。

或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有2222cos a b c bc A =+-， 2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-.……………………5分证明：（证法一） 如图，2c BC = ()()AC AB AC AB =-•-222AC AC AB AB =-•+222cos AC AC AB A AB =-•+222cos b bc A c =-+即 2222cos a b c bc A =+- 同理可证 2222cos b c a ca B =+-， 2222cos c a b ab C =+-…………………………5分（证法二）已知ABC ∆中，,,A B C 所对边分别为,,,a b c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ，∴222222222||(cos )(sin )cos 2cos sin a BC b A c b A b A bc A c b A ==-+=-++222cos b c bc A =+-，即 2222cos a b c bc A =+- 同理可证 2222cos b c a ca B =+-， 2222cos c a b ab C =+-……………………………………5分5. （1）“三垂线定理”复述正确…………3分“三垂线逆定理”复述正确…………2分 （2）5个命题每题1分。

6. 开课语5分：其中正确性……3分；艺术性……2分。

结束语5分：其中正确性……3分；艺术性……2分。

三、证明题（10分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,AB AC D ⊥、E 分别为1AA 、1B C 的中点，DE ⊥平面1BCC ，证明：AB AC = 证明：方法1：连结BE ，111ABC A B C -为直三棱柱，190,B BC ∴∠=︒E 为1B C 的中点，BE EC ∴=。

…………5分又DE ⊥平面1BCC ，BD DC ∴=（射影相等的两条斜线段相等）而DA ⊥平面ABC ， AB AC ∴=（相等的斜线段的射影相等）。

…………5分方法2：取BC 的中点F ，证四边形AFED 为平行四边形，………………5分进而证AF ∥DE ，AF BC ⊥，得AB AC =也可。

……………………5分方法3：利用空间向量的方法。

具体解法略。