初等数学研究复习题一、 选择题1、中学数学的证明方法，按选证命题形式的不同可分为：（ C ） A ：综合法与分析法 B ：演绎法与归纳法C ：直接证法与间接证法D ：具体方法、一般方法和数学思想方 2、不等式22x x x x-->的解集是（ A ） A. (02)， B. (0)-∞， C. (2)+∞， D. (0)∞⋃+∞（-，0），3、函数sin 1tan tan2x y x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭的最小正周期为 ( B ) A π B 2π C2πD 32π4、已知)(x f 不是常数函数，对于R x ∈，有)8()8(x f x f -=+，且)4()4(x f x f -=+，则)(x f （ C ）A 、是奇函数不是偶函数B 、是奇函数也是偶函数C 、是偶函数不是奇函数D 、既不是奇函数也不是偶函数5、已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围：（B ）A （0，1）B （1，2）C （0，2）D [2，＋∞）法6、下列定理能作为证明“点共线”的依据的是：（ B ）A 西姆松定理B 梅涅劳斯定理C 塞瓦定理D 斯蒂瓦尔特定理7.下列关于平移的说法中正确的是 （ A ）。
A.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向；B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；C.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；D.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向8.若一个四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个四边形是（ D ）。
A.直角梯形；B.等腰梯形；C.平行四边形；D.矩形。
9、已知)2(),1(3)(2f f x x x f ''+=则=（ B ）A ．－1B ． 0C ．2D ．410、设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+=( D ) A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ． 1i +11、函数f (x )＝sin(2x －π6)的图象可以通过以下哪种变换得到函数g (x )＝cos(2x ＋π3)的图象（ D ）A.向右平移π个单位B.向左平移π个单位C.向右平移π3D.向左平移π2个单位12、函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，函数f (x )为减函数，则m 等于( B )A ．－4B ．－8C ．8D ．无法确定9、4．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( B )A ． 0B .34C ． 1D .5413．已知△ABC 和点M 满足MA→＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM→成立，则m ＝( B ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、 填空题;1、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点的个数为____3____．2、函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝e x 的图像关于直线y ＝x 对称，将y ＝f (x )的图像向左平移2个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，再将y ＝g (x )的图像向上平移1个单位，得到函数y ＝h (x )的图像，则函数y ＝h (x )的解析式是_____ y ＝ln(x ＋2)＋1___．3、在⊿ABC 中，E 是AB 的中点，D 是AC 上一点，且AD:DC=2:3，BD 与CE 交于F ，40ABC S =V ，则AEFD S 四边形=__11_____。
4、.等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角之和等于260°。
则这个等腰三角形的顶角等于 ____100°________ ，底角等于__40°______。
5、多项式2223++-x x x表示成（x-1）的幂的多项式的形式为 4)1(3)1(2)1(23+-++--x x x6、已知===105,7,5loglog log 6353则b aababa +++21 。
7、θθθθθθ3tan tan tan 3cot cot cot -+-= 1 。
8、合同变换包括 平移 、 旋转 、 反射 三种变换。
9、三大几何作图不能问题是立方倍积问题 、 三等分角问题 和 化圆为方问题 。
10、常用的平面几何作图方法有交轨法、三角形奠基法 、 变位法 、位似法 和代数法。
三、 计算题1、计算（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷- 解：原式=4a2、解方程：32(120++-=x x解：x x ==3、、计算：（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°） …（1+tan44°）解:Q tan 045=tan(α+45°- α)=tan tan(45)1tan tan(45)o o αααα+---=1∴(1tan )[1tan(45)]2o αα++-=所以 原式=2224、、解方程：=x解：令x =，解得x =2所以 原式=25、、计算：解;2=2==lg 2(12)lg 2)x x ≤≤⎧⎪⎨≥⎪⎩四、 解答题1、已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋2(a ∈R )．(1)若f (x )在(0,1)上是减函数，求a 的最大值；(2)若f (x )的单调递减区间是(－13，1)，求函数y ＝f (x )的图像过点(1,1)的切线与两坐标轴围成图形的面积．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax －1，由题意可得f ′(x )在(0,1)上恒有f ′(x )≤0， 则f ′(0)≤0且f ′(1)≤0，得a ≤－1，所以a 的最大值为－1.(2)∵f (x )的单调递减区间是(－13，1)，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax －1＝0的两根为－13和1，可求得a ＝－1，∴f (x )＝x 3－x 2－x ＋2，设切线的切点为(x 0，y 0)，则有y 0－1x 0－1＝3x 20－2x 0－1，y 0＝x 30－x 20－x 0＋2，解得x 0＝1或x 0＝0， 则切线斜率为k ＝0或k ＝－1，切线方程为y ＝1，x ＋y －2＝0，与两坐标轴围成的图形为直角梯形，面积为S ＝12×(1＋2)×1＝32.1()(1)=-10(2)=-1(4)=101(5)=218(3).x x 、设是的三次式，已知：，，，，试求f f f f f f 3233()=.a 10a 284210-564a 84101-7125a 255218()2-5-7.(3)23-53-7=32.x ax bx cx d b c d a b c d b c b c d d b c d x x x ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩++++++=-=+++=-==+++==+++=∴=∴=⨯⨯解：法一：设 则有：解得： f f f01230001120120123()=(1)(1)(2)(1)(2)(4)(1)=-1010(2)+=-19(3)+3+6(4)41212218x a a x a x x a x x x a a a a a a a a a a a a a ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩+-+--+---==-==∴===+++= 法二：设则有： f f f f f 3142()109(1)14(1)(2)2(1)(2)(4)(3)32a x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩=∴=-+-+--+---∴= f f 2、、解方程112432--=-+x x x解：原方程可化为 112)4)(1(--=+-x x x （1）x ≥1时，方程为065,224322=-+-=-+x x x x x即解得 1,221=-=xx所以x=1（2）21πχπ1时，方程为0652=-+x x 解得 1,621=-=xx此时方程无解 （3）214≤≤-x 时，方程为042=-+x x 解得 2171±-=x 所以2171--=x （4）045,42=-+-x x x方程为时π 解得2415±-=x 所以2415--=x 综上知，方程的解为2415--，2171--，1 2、、已知：如图，在ABC ∆中，∠C=90°，sinA=25,D 为AC 上一点，∠BDC=45°,DC=6,求AB 的长。
解：在BCD ∆中，∠C=90°，∠BDC=45°, ∴∠DBC=∠BDC=45°. ∴ DC=CB, ∵ DC=6 ∴ CB=6在ABC ∆中，∠C=90°，∵ sinA=25=CB AB ,∴ 56152AB =⨯=. ∴ AB 的长为15.五、 证明题1、设a Z ∈，求证(1)(2)(3)1a a a a ++++是奇数的平方证明：22222(1)(2)(3)1[(1)1](1)[(2)(2)1]1[(1)(1)][(2)(2)]1(1)(2)2(1)(2)1[(1)(2)1]a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=+-+++++=+-+++++=++-+++=++-1,2a a ++肯定一奇一偶(1)(2)a a ∴++肯定为偶数 (1)(2)1a a ∴++-肯定为奇数2、用序数理论证明：1）3+4=7 2）3412⋅=证明：1）3+4=73134++== 3231(31)45++++=+=+== 3332(32)56++++=+=+== 3433(33)67++++=+=+==2）3412⋅=313⋅= 32313136+⋅=⋅=⋅+=33323239+⋅=⋅=⋅+= 343333312+⋅=⋅=⋅+=3、.已知p 是异于3的奇素数，求证2241p -证明：p 是异于3的奇素数，21p ∴-为偶数，3p >⇒219p ->21(1)(1)p p p -=+-其中1,1p p +-都为合数，且都大于31,1p p ∴+-都可被2、3中的一个整除，若21p -，则由1(1)2p p +=-+21p +，因为13,13p p +>-> 2241p ∴-4、设n N ∈，证明n 415n 1+-是9的倍数。
证明：1n 141511189,1n =+⨯-==①当时，是的倍数故时命题成立。
k n k 415k 19=+-②假设当时，命题成立。
即是的倍数。