2018-2019学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合A＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{x|0＜x≤2} 2．（4分）已知向量＝（m，6），＝（﹣1，3），且∥，则m＝（）A．18B．2C．﹣18D．﹣23．（4分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）＝2﹣x B．f（x）＝x3C．f（x）＝lgx D．f（x）＝sin x 4．（4分）命题p：∀x＞2，x2﹣1＞0，则￢p是（）A．∀x＞2，x2﹣1≤0B．∀x≤2，x2﹣1＞0C．∃x＞2，x2﹣1≤0D．∃x≤2，x2﹣1≤05．（4分）已知，sinα＜0，则cosα＝（）A．B．C．D．6．（4分）若角α的终边经过点（1，y0），则下列三角函数值恒为正的是（）A．sinαB．cosαC．tanαD．sin（π+α）7．（4分）为了得到函数的图象，只需把函数y＝sin x的图象上的所有点（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆O相交于点P．过点P的圆O的切线交x轴于点T，点T的横坐标关于角α的函数记为f（α）．则下列关于函数f（α）的说法正确的是（）。

A．f（α）的定义域是B．f（α）的图象的对称中心是C．f（α）的单调递增区间是[2kπ，2kπ+π]，k∈ZD．f（α）对定义域内的α均满足f（π﹣α）＝f（α）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.9．（4分）已知f（x）＝lnx，则f（e2）＝．10．（4分）已知＝（1，2），＝（3，4），则•＝；|﹣2|＝．11．（4分）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{3，5}，集合S满足S⊊A，S∪B＝A．则一12．x≥0时，，则不等式f（x）13．（的长为2，则所对的圆心角的大小为弧是上的一个动点，则当取得最大值时，14．（4分）已知函数f（x）＝（Ⅰ）若函数f（x）没有零点，则实数a的取值范围是；（Ⅱ）称实数a为函数f（x）的包容数，如果函数f（x）满足对任意x1∈（﹣∞，a），都存在x2∈（a，+∞），使得f（x2）＝f（x1）．在①﹣；②；③1；④；⑤中，函数f（x）的包容数是．（填出所有正确答案的序号）三、解答题：本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（11分）已知函数．（Ⅰ）求T的最小正周期T；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数的简图，并直接写出函数f（x）在区间上的取值范围．16．（10分）已知函数f（x）＝x2+bx+c，存在不等于1的实数x0使得f（2﹣x0）＝f（x0）．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）判断函数f（x）在f（1，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明；（Ⅲ）直接写出f（3c）与f（2c）的大小关系．17．（11分）如图，在四边形OBCD中，，，∠D＝90°，且||＝||＝1．（Ⅰ）用表示；（Ⅱ）点P在线段AB上，且AB＝3AP，求cos∠PCB的值．18．（12分）设函数f（x）定义域为I，对于区间D⊆I，如果存在x1，x2∈D，x1≠x2使得f （x1）+f（x2）＝2，则称区间D为函数f（x）的ℱ区间．（Ⅰ）判断（﹣∞，+∞）是否是函数y＝3x+1的ℱ区间；（Ⅱ）若[]是函数y＝log a x（其中a＞0，a≠1）的ℱ区间，求a的取值范围；（Ⅲ）设ω为正实数，若[π，2π]是函数y＝cosωx的ℱ区间，求ω的取值范围．19．（5分）附加题：声音靠空气震动传播，靠耳膜震动被人感知．声音可以通过类似于图①和图②的波形曲线来描述，图①和图②是一位未成年女性和一位老年男性在说“我爱中国”四个字时的声波图，其中纵坐标表示音量（单位：50分贝），横坐标代表时间（单位：2.3×10﹣5秒）．声音的音调由其频率所决定，未成年女性的发声频率大约为老年男性发声频率的2倍．下面的图③和图④依次为上面图①和图②中相同读音处的截取的局部波形曲线，为了简便起见，在截取时局部音量和相位做了调整，使得二者音量相当，且横坐标从0开始．已知点（800，0）位于图④中波形曲线上．（Ⅰ）描述未成年女性声音的声波图是；（填写①或②）（Ⅱ）请你选择适当的函数模型y＝f（x），x∈[0，2000]来模仿图④中的波形曲线：f（x）＝（函数模型中的参数取值保留小数点后2位）．2018-2019学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵A＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜2}；∴A∩B＝{1}．故选：A．2．【解答】解：∵；∴3m+6＝0；∴m＝﹣2．故选：D．3．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝2﹣x，是指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于B，f（x）＝x3，为幂函数，既是奇函数又在（0，+∞）上是增函数，符合题意；对于C，f（x）＝lgx，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，f（x）＝sin x，是正弦函数，在（0，+∞）上不是增函数；故选：B．4．【解答】解：命题p：∀x＞2，x2﹣1＞0，则￢p是：∃x＞2，x2﹣1≤0，故选：C．5．【解答】解：由，得，即sinα＝，代入sin2α+cos2α＝1，得cosα＝±，∵sinα＜0，tanα＞0，∴α为第三象限角，则cosα＝．故选：D．6．【解答】解：角α的终边经过点（1，y0），∴x＝1，y＝y0，r＝，故cosα＝＝＞0，而sinα＝＝，正负号不确定，tanα＝＝y0，正负号不确定，故选：B．7．【解答】解：把函数y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得y＝sin（x+）＝sin（x+π﹣）＝﹣sin（x﹣）的图象，故选：A．8．【解答】解：由三角函数的定义可知：P（cosα，sinα），则以点P为切点的圆的切线方程为：x cosα+y sinα＝1，由已知有cosα≠0，令y＝0，得：x＝，即函数f（α）＝，由cosα≠0，得：α≠2kπ±，即函数f（α）的定义域为：±，k∈z，故A错误，由复合函数的单调性可知：函数f（α）的增区间为：[2kπ，2k），（2k2kπ+π]，k∈Z，故C错误，由函数的周期得：f（α）的周期为2π，故D错误，函数f（α）的对称中心为（k，0），k∈Z，故B正确．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. 9．【解答】解：∵f（x）＝lnx，∴f（e2）＝lne2＝2．故答案为：2．10．【解答】解：＝1×3+2×4＝11，＝5，＝25，|﹣2|＝＝＝＝．故答案为：11；．11．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{3，5}，集合S满足S⊊A，S∪B＝A．∴一个满足条件的集合S是{1，2，3，4}（或{1，2，4，5}或{1，2，4}）．故答案为：{1，2，3，4}（或{1，2，4，5}或{1，2，4}）．12．【解答】解：∵x≥0，为增函数，f（x）是R上的偶函数；∴f（1）＝2；∴由f（x）﹣2＞0得，f（x）＞f（1）；∴f（|x|）＞f（1）；∴|x|＞1；解得x＜﹣1，或x＞1；∴原不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x＞1}．故答案为：{x|x＜﹣1，或x＞1}．13．【解答】解：由弧长公式得：θ＝＝2，即所对的圆心角的大小为2弧度，由三角函数定义可建立以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴的直角坐标系，易得：A （1，0），B（cos2，sin2），设＝θ，则P（cosθ，sinθ）（0≤θ≤2），则＝cosθ﹣cosθcos2﹣sinθsin2＝（1﹣cos2）cosθ﹣sinθsin2＝2sin21cosθ﹣2sin1cos1sinθ＝2sin1sin（1﹣θ），又0≤θ≤2，所以﹣1，≤1﹣θ≤1，当1﹣θ＝1即θ＝0时，取得最大值2sin21，故答案为：2，0．14．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝，由x＜a时，f（x）＝2x﹣1＞0，无零点；若x≥a时，f（x）＝2a﹣x2，当a＜0时，f（x）＜0，无零点；当a≥0时，由2a﹣x2＝0，即2a＝x2，由x≥a时，y＝x2递增，可得y≥a2，由2a＜a2，可得a＞2，f（x）无零点；综上可得a＜0或a＞2；（Ⅱ）由题意可得f（x1）的值域为f（x2）的值域的子集，当a＝﹣时，由x＜﹣时，f（x）＝2x﹣1∈（0，2）；由x≥﹣时，f（x）＝﹣1﹣x2∈（﹣∞，﹣1]，]，（0，2）⊈（﹣∞，﹣1]，不满足题意；当a＝时，由x＜时，f（x）＝2x﹣1∈（0，2）；由x≥时，f（x）＝1﹣x2∈（﹣∞，]，（0，2）⊆（﹣∞，]，满足题意；当a＝1时，由x＜1时，f（x）＝2x﹣1∈（0，1）；由x≥1时，f（x）＝2﹣x2∈（﹣∞，1]，（0，1）⊆（﹣∞，1]，满足题意；当a＝时，由x＜时，f（x）＝2x﹣1∈（0，2）；由x≥时，f（x）＝1﹣x2∈（﹣∞，﹣1]，（0，2）⊈（﹣∞，﹣1]，不满足题意；当a＝时，由x＜时，f（x）＝2x﹣1∈（0，2）；由x≥时，f（x）＝1﹣x2∈（﹣∞，﹣]，（0，2）⊈（﹣∞，﹣]，不满足题意．综上可得函数f（x）的包容数是②③．故答案为：a＜0或a＞2；②③．三、解答题：本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．【解答】（本小题满分11分）解：（Ⅰ）．……………………（2分）（Ⅱ）由，k∈Z，……………………（4分）可得：，k∈Z．所以函数f（x）的单调递增区间是：，k∈Z．……………………（6分）（Ⅲ）列对应值表如下：通过描出五个关键点，再用光滑曲线顺次连接作出函数的简图如图所示．……………………（8分）可得函数在区间上的取值范围是．……………………（11分）注：中每一个端点正确给（1分），括号正确（1分）．16．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，对于函数f（x）＝x2+bx+c，因为实数x0使得f（2﹣x0）＝f（x0），所以，即（2b+4）（x0﹣1）＝0．因为x0≠1，所以2b+4＝0，即b＝﹣2；经检验，b＝﹣2满足题意，所以b＝﹣2．（Ⅱ）根据题意，函数f（x）＝x2﹣2x+c，在（1，+∞）上单调递增，证明如下：任取1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝，又由1＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1+x2﹣2＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，则函数f（x）在（1，+∞）上为增函数；（Ⅲ）当c＝0时，有3c＝2c，则有f（3c）＝f（2c）；当c≠0时，有3c＞2c＞1或0＜3c＜2c＜1，则有f（3c）＞f（2c）．17．【解答】解：（Ⅰ）∵，，∴，所以．∴＝2++＝﹣﹣．（Ⅱ）因为∥，，所以点O，A，D共线．因为∠D＝90°，所以∠O＝90°．以OA为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为A（2，0），B（0，1），C（3，2），A（2，0），B（0，1），C（3，2），A（2，0），B（0，1），C（3，2），所以A（2，0），B（0，1），C（3，2）．所以，．因为点P在线段AB＝3AP上，且AB＝3AP，所以．所以．因为，所以．……………………（11分）18．【解答】解：（Ⅰ）（﹣∞，+∞）不是函数∀x∈（﹣∞，+∞）的ℱ区间，理由如下：因为对∀x∈（﹣∞，+∞），3x＞0，所以3x+1＞1．所以∀x1，x2∈（﹣∞，+∞）均有，即不存在x1，x2∈（﹣∞，+∞），（﹣∞，+∞），使得（﹣∞，+∞）．所以（﹣∞，+∞）不是函数的ℱ区间．（Ⅱ）由是函数（其中）的ℱ区间，可知存在，log a x1+log a x2＝2，使得log a x1+log a x2＝2．所以．因为所以，即．又因为a＞0且a≠1，所以．（Ⅲ）因为[π，2π]是函数x1，x2∈[π，2π]的ℱ区间，所以存在x1，x2∈[π，2π]，cosωx1+cosωx2＝2，使得cosωx1+cosωx2＝2．所以所以存在k，l∈Z，使得不妨设π≤x1＜x2≤2π．又因为ω＞0，所以ωπ≤ωx1＜ωx2≤2ωπ．所以ω≤2k＜2l≤2ω．即在区间[ω，2ω]内存在两个不同的偶数．①当ω≥4时，区间[ω，2ω]的长度2ω﹣ω≥4，所以区间[ω，2ω]内必存在两个相邻的偶数，故ω≥4符合题意．②当0＜ω＜4时，有0＜ω≤2k＜2l≤2ω＜8，所以2k，2l∈{2，4，6}．（i）当时，有即3≤ω≤4．所以3≤ω＜4也符合题意．（ii）当时，有即ω＝2．所以ω＝2符合题意．（iii）当时，有即此式无解．综上所述，{2}∪[3，+∞）的取值范围是{2}∪[3，+∞）．19．【解答】解：（Ⅰ）未成年女性的发声频率大约为老年男性发声频率的2倍，即有未成年女性的发声周期大约为老年男性发声周期的一半，由图③和图④，可得图③的周期为图④周期的2倍，描述未成年女性声音的声波图为②；（Ⅱ）由图④可设f（x）＝cosωx，x∈[0，2000]，由f（800）＝cos800ω＝0，可得800ω＝kπ+，由图④可得ω＝×≈0.03，可得f（x）＝cos0.03x，x∈[0，2000]，故答案为：②，cos0.03x，x∈[0，2000]．。