第三章3-1已知系统脉冲响应 1.25()0.0125tk t e-=，试求系统闭环传递函数()s Φ。

解：由系统的脉冲响应 1.25()0.0125tk t e -=得0.0125() 1.25C s s=+ 又 ()1R s = 则()0.01251()() 1.2580100C s s R s s s Φ===++ 3-3单位反馈系统的开环传递函数4()(5)G s s s =+，求单位阶跃响应h(t)和调节时间t s 。

解：由开环传递函数4()(5)G s s s =+得闭环传递函数为2()4()1()54G s s G s s s Φ==+++则 单位阶跃响应24()()()(54)H s s R s s s s =Φ=++拉氏反变换得：441()133t t h t e e --=-+ ∵24()54s s s Φ=++ ∴24,25n n ωζω== 解得： 2, 1.25n ωζ==若取5%∆=，则得 31.2s nt s ζω≈=若取2%∆=，则得 41.6s nt s ζω≈=3-6机器人控制系统结构图如下图所示，试确定参数K 1 ,K 2,使系统阶跃响应的峰值时间0.5p t s =，超调量2%δ=。

解：由图可得 系统闭环传递函数1221()()1()K K G s s G s s as K Φ==+++对照二阶系统的数学模型有212,2,1n n K a K ωζω===又0.52%p t eδ==== 解得10.04,0.78n ωζ== 则1215.67,100.71,1a K K ===3-7设上题所示系统的单位阶跃响应如下图所示，试确定系统参数K 1 ,K 2和a 。

解：由图可知1()3,,0.13p p h t δ∞=== 又∵ 系统单位阶跃响应为：1221()()()()K K H s s R s s s as K =Φ=++ ∴20()lim ()3130.1p s p h sH s K et δ→∞=======解得 33.3,0.33n ωζ== 代入21,2n n K a ωζω== 有 1222,1106.5,3a K K ===3-8已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在s 右半平面根的个数及纯虚根。

（1）5432()22411100D s s s s s s =+++++=（2）5432()3122432480D s s s s s s =+++++=（3）54()220D s s s s =+--=（4）5432()2244825500D s s s s s s =+++--=解（1）各项系数均大于零，满足稳定的必要条件，列劳斯阵列如下5s1 2 114s 2 4 10 3s 0ε→ 62s 412εε-→-∞10 1s 6 0s10第一列元素符号改变两次，所以系统不稳定，且有两个s 右半平面的根。

（2）各项系数均大于零，满足稳定的必要条件，列劳斯阵列如下5s 1 12 32 4s 3 24 48 3s 4 162s 12 48 2()1248P s s =+ 1s 0 '()24P s s = 1s 24 1,22s j =±0s48即系统有一对共轭虚根1,22s j =±，没有s 右半平面的根，系统处于临界稳定状态。

（3）544()22(1)(2)0D s s s s s s =+--=-+= 解得1,,2s j =±±-则系统不稳定，有一对共轭纯虚根j ±，且s 右平面有一个根为1。

（4）543222()224482550(25)(1)(2)0D s s s s s s s s s =+++--=+-+=解得1,5,2s j =±±-则系统不稳定，有一对共轭纯虚根5j ±，且s 右平面有一个根为1。

3-9单位反馈系统的开环传递函数为()(3)(5)KG s s s s =++，为使系统特征根的实部不大于-1，试确定开环增益的取值范围。

解：系统闭环传递函数32()()1()815G s Ks G s s s s KΦ==++++则特征式32()8+15+D s s s s K =+ ∵极点在1s =-之左∴令11s s =-代入D （s ）中，得321111()5+2-8+0D s s s s K =+=劳斯阵列表为31s 1 2 21s 5K -811s 185K- 01sK -8系统稳定，则 18058080K K K -⎧>⎪⎪->⎨⎪-+>⎪⎩解得 818K <<3-12已知单位反馈系统的开环传递函数为27(1)()(4)(22)s G s s s s s +=+++，试求当输入信号()r t 分别等于1()t ，t 和2t 时系统的稳定误差。

解：稳态误差01lim ()1()()ss s e sR s G s H s →=+由题意可知27(1)()(4)(22)s G s s s s s +=+++， H(s)=1○1当()1()r t t =时 1()R s s = 则220(4)(22)1lim 0(4)(22)7(1)ss s s s s s e ss s s s s s →+++=⋅=+++++ ○2当()r t t =时 21()R s s = 则2220(4)(22)18lim (4)(22)7(1)7ss s s s s s e s s s s s s s →+++=⋅=+++++ ○3当2()r t t =时 32()R s s= 则2230(4)(22)2lim (4)(22)7(1)ss s s s s s e s s s s s s s →+++=⋅=∞+++++3-13系统结构图如下图所示，已知12()()()1()r t n t n t t ===，试分别计算1(),()r t n t 和2()n t 作用时的稳态误差，并说明积分环节设置位置对减小输入和干扰作用下的稳态误差的影响。

解：○1()r t 作用时121(),(),()1(1)(1)K G s R s H s s T s T s s===++则系统稳态误差：120012(1)(1)1lim ()lim 01()()(1)(1)ss s s s T s T s e sR s G s H s s T s T s K →→++===++++○21()n t 作用时11()N s s= 干扰作用点与误差点之间的传递函数为11()1K G s T s =+则系统稳态误差：11001111lim ()lim ()ss s s T s e sN s G s K K→→+-===--○32()n t 作用时21()N s s=干扰作用点与误差点之间的传递函数为211()1K G s T s S =⋅+ 则系统稳态误差：12002(1)1lim ()lim 0()ss s s T s S e sN s G s K→→+-===-扰动作用下的稳态误差与扰动作用点之后积分环节无关，而与误差信号到扰动作用点之间的前向通道中的积分环节有关，增加积分环节可减小甚至消除稳态误差。

3-15单位反馈系统的开环传递函数为25()(5)G s s s =+（1）求各静态误差系数和2()120.5r t t t =++时的稳态误差ss e 。

（2）当输入作用10s 时的动态误差是多少？解：（1）静态位置误差系数025lim ()()lim(5)p s s k G s H s s s →→===∞+静态速度误差系数025lim ()()lim5(5)v s s sk sG s H s s s →→===+静态加速度误差系数220025lim ()()lim0(5)a s s s k s G s H s s s →→===+ 当2()120.5r t t t =++时23121()R s s s s =++ 稳态误差223001(5)121lim ()lim ()1()()(5)25ss s s s s e sR s G s H s s s s s s→→+==++=∞+++ （2）由已知可得1(5)()1()()(5)25e s s s G s H s s s +Φ==+++∵()()1(0),()()!i i i e ss i i C e t C r t i ∞==Φ=∑ 且2()120.5,'()2,''()1r t t t r t t r t =++=+=∴01211(0),'(0),''(0)052e e e C C C =Φ=Φ==Φ= 故1()(2)5ss e t t =+ 则 当输入作用10s 时，动态误差(10) 2.4ss e =。