复习
推 理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理） 三段论 （一般到特殊）
归纳
(特殊到一般）
类比 （特殊到特殊）
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的 重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.
2.2.1 综合法和分析法
引例：四边形ABCD是平行四边形，
求证：AB=CD，BC=DA
F E
A
B
C
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
例3:设a,b,c为一个三角形的三边,且s =2ab,
2
1 s = (a + b + c), 试证： s < 2a 2 2
s 解:欲证s<2a,只需证 s b
即证b<s,也即证 即证b<a+c 因为a,b,c为一个三角形的三边,所以 b<a+c成立. 故s<2a成立.
b2 1 b(a c) b 1 π 例3. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθ cosθ= sin β
2
1 - tan α 1 - tan β 求证: = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)
ab
(a>0,b>0)的证明.
a+b ab 证明:要证; 2 只需证;a + b 2 ab
还原成综合法： 证明:
只需证;a + b 2 ab 0
( 只需证; a b ) 0
2
( a b )2 0 因为;
所以 a + b 2 ab 0 所以 a + b 2 ab
证明:因为b2+c2
≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2
≥2bc,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对 应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等 差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ 为等边三角形．
ab
(a>0,b>0)的证明.
a+b ab 证明:要证 2 只需证 a + b 2 ab
只需证 a + b 2 ab 0 只需证 ( a b ) 0
2
因为 ( a b )2 0 成立
a+b 所以 2
ab 成立
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中， 使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把 要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 为止，这种证明的方法叫做分析法． 这个明显成立的条件可以是： 已知条件、定理、定义、公理等
2
2
用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表 示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:
小结
1.在数学证明中，综合法和分析法是 两种最常用的数学方法，若从已知入手 能找到证明的途径，则用综合法，否则 用分析法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条 件，分析法的每步推理都是寻找充分条 件，在解题表述中要注意语言的规范性 和逻辑性.
因为;( a b )2 0 成立
a+b 所以 2
a+b ab 成立 所以 2 ab成立
例2.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂 S 足为F,求证 AF⊥SC
证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
A C 2B B 600 (为什么?) 分析 :由A,B,C成等差数列可得什么?
由a,b,c成等比数列可得什么? b2 ac
怎样把边,角联系起来?
余弦定理 : b2 a2 c2 2ac cos B
文字语言 学会语言转换
找出隐含条件
图形语言
符号语言
a+b 分析基本不等式： 2
C
从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等 为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为 止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法) 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
P Q1
Q1 Q 2
Q2 Q3
…
Qn Q
特点:“由因导果”
例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
1 b (a b c) 2
a 例3.△ABC三边长 , b, c的倒数成等差数列，求证： B 90
证明：
cos B
.
2ac b 2 2ac b2 1 2ac
a 2 c 2 b2 2ac
因为a,b,c为△ABC三边 所以 a + c > b
b 1 0 ac
B
A
D
3 2
1 4
证明 连结AC，因为四边形ABCD是平行四边形
所以AB//CD，BC//DA 故1 2，3 4 所以ABC CDA 故 AB=CD，BC=DA 又AC=CA 从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等 为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为 止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法) 本题条件 已知定义 … 本题结论 已知公理 已知定理
3.综合法和分析法是两种互逆的思维 模式，在证明某些较复杂的问题时，常 采用分析综合法，用综合法拓展条件， 用分析法转化结论，找出已知与结论的 连结点.
特点： 执果索因 即：
要证结果Q，只需证条件P
例1 求证 3 7 2 5
解:要证 3 7 2 5 只需证 ( 3 7 )2 (2 5 )2 展开,只需证 只需证 21<25 因为 21<25成立,所以 3 7 2 5 成立.
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a+b 分析基本不等式： 2