17章习题参考答案17-3 如图所示，通过回路的磁场与线圈平面垂直且指出纸里，磁通量按如下规律变化()Wb 1017632-⨯++=Φt t式中t 的单位为s 。

问s 0.2=t 时，回路中感应电动势的大小是多少? R 上的电流方向如何?[解] ()310712d d -⨯+=Φ-=t tε ()23101.3107212--⨯=⨯+⨯=V根据楞次定律，R 上的电流从左向右。

17-4如图所示，两个半径分别为R 和r 的同轴圆形线圈，相距x ，且，R >>r ，x >>R 。

若大线圈有电流I 而小线圈沿x 轴方向以速度v 运动。

试求x =NR 时(N >0)，小线圈中产生的感应电动势的大小。

[解] 因R>>r 可将通过小线圈的B 视为相等，等于在轴线上的B()2322202xR IR B +=μ由于x >>R ，有 3202x IR B μ=所以 t xxIS R t d d 32d d 420μ=Φ-=ε 而v t x=d d 因此 x =NR 时， 242023R N v r I πμ=ε17-5 如图所示，半径为R 的导体圆盘，它的轴线与外磁场平行，并以角速度ω转动(称为法拉第发电机)。

求盘边缘与中心之间的电势差，何处电势高?当R ＝0.15m ，B =0.60T ，rad 30=ω时，U 等于多大?[解] 圆盘可看成无数由中心向外的导线构成的，每个导线切割磁力线运动且并联，因此有2021d d )(BR r rB R L ωω==⋅⨯=⎰⎰l B v 感ε因电动势大于零，且积分方向由圆心至边缘，所以边缘处电位高(或由右手定则判断)代入数据得201506030212...=⨯⨯⨯==εU V 17-6 一长直导线载有电流强度I =5.0A 的直流电，在近旁有一与它共面的矩形线圈，线圈长l ＝20cm ，宽a =10cm ，共1000匝，如图所示。

线圈以v ＝2.0s m 的速率沿垂直于长导线的方向向右平动，问当线圈与导线的距离d ＝10cm 时线圈中的感应电动势是多少?[解] 设任一时刻t ，线圈运动到'x 。

令d x t =='0'时，，所以vt d x +=' 在线圈上取一面元，r l s d d =。

则x d 处的B 为)'(20x x IB +=πμs B d d ⋅=Φ vtd vta d Il +++=ΦΦ⎰ln2d a0πμ＝ v vt d vt a d Il N t N⎪⎭⎫⎝⎛++++⋅-=Φ-=112d d 0πμε 令t =0，得到当时的感应电动势为v a d d IlN⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅=1120πμε 371022.01.01.011.0122.00.5104100--⨯=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⨯⨯⨯=ππV17-7 如图所示。

导线OA 长为L ，以角速度ω绕轴O O '转动，磁场B 与O O '平行，导线OA 与磁场方向的夹角为θ。

求导线 OA 上的动生电动势OA ε，O 、A 两点哪点电势高?[解] 由动生电动势公式有⎰⋅⨯=AOl B v d )(OA ε⎰=AOl rB d sin θω⎰=AOl B l d sin sin θθωθω22sin 21Bl = OA ε>0，故A 点电势高(或用右手定则判断)17-8 在通有电流I =5.0A 的长直导线近旁有一导线ab ，长l =20cm ，ab 垂直于长直导线，到长直导线的距离d =10cm ，如图所示，当ab 沿平行于长直导线的方向以速率v =10m 平移时，导线ab 中的电动势为多大?a 、b 哪端电势高?[解] 在ab 上取一小线元d r ，距离长直导线为r ，则d r 处磁感应强度为 rIB πμ20=vIr vt r Id 2d 0⋅⋅=Φπμ 所以 dl d Ivt r vt r I l d d +=⋅⋅=Φ=Φ⎰⎰+ln2d 2d 00πμπμ 因此 dl d Iv t U +-=Φ-==ln2d d 0ba πμε 57101.121030ln 105104⨯-=⨯⨯⨯⨯-=-ππV a U >bU[解法2] V 101.1d 2d )(50⨯-=-=⋅⨯=⎰⎰+x xIvld dπμl B v ε 17-9 在半径为10cm 的圆柱形空间充满磁感应强度为B 的均匀磁场，如周所示。

B 的量值以T 100.33-⨯的恒定速率增加。

有一长为20cm 的金属棒放在图示位置，一半在磁场内部，另一半在磁场外部，求感生电动势AB ε。

[解1] (用法拉第电磁感应定律求解)连接OA 、OB 、OC 与圆交于D ，则回路AOBCA 中的感应电动势为tBSt Ld d d d d -=Φ-=⋅=⎰l E 感ε V 101.2d d 6213sin 21522-⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=t B R R ππ而AB BA d d d d d εε-==⋅=⋅+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰AB A B B O O A L l E l E l E l E l E ε因此有V 10125A B -⨯==.εε 方向由A 到B[法2]用电动势定义求解。

由[例1]知：DOCBAk R hRk l tB h l r h t B r l cos t B r l E ba b a b a b a 24321d d d 2d d d 2d d d 2d =====⋅⎰⎰⎰⎰θ 感内t B r E d d 2=感内t Br R E d d 22=感外⎰⎰∙∙+=∴c b b a abc l E l E d d 感外感内ε⎰⎰'''='⋅cbc b l tBr R l E d cos d d 2d 2θ感外)33(41243222ππε+=+=kR k R k R abc ∴23621212R k r r R t B πθππ='''=⎰d d d θ'r 'd l 'd17-10 在电子感应加速器中，电子沿半径为0.40m 的轨道作圆周运动。

如果每转一周它的动能增加160eV ，求：(1)轨道内磁感应强度的平均变化率；(2)欲使电子获得16 MeV 的能量，电子需转多少周?共走多少路程?[解] (1)由εe qU E ==∆k 得到V 160eV160==∆=ee E ε 2d d d d d d R t Bt B S t π⋅-=-=Φ-=ε 即 222102.34.0160d d ⨯=⨯==ππR t B ε (2) 转56101601016=⨯=n m 105.24.0210255⨯=⨯⨯=⋅=ππR n S17-11 一个矩形回路边长分别为 a 和b ，如图所示。

回路与一无限长直导线共面，且有一边与长直导线平行。

导线中通有电流t I i ωcos 0=，当回路以速度v 垂直地离开导线时，求任意时刻回路中的感应电动势(t ＝0时，左边与长直导线重合)。

[解] 取微元l a S d d ⋅=则dS 处的B 为 )(20l x iB +=πμ()l a l x id 2d d 0+==ΦπμS B所以()xbx ai l a l x i b +=+=Φ⎰ln 2d 2000πμπμ)ln cos (d d 2ln d d 2d d 000xb x t I t a x b x i t a t +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=Φ-=ωπμπμε ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=t x b x bvx b x t a I ωωωπμcos ln sin 200 17-12 一无限长直导线通以电流t I i ωsin 0=，和直导线在同一平面内有一矩形线框，其短边与直导线平行，b =3c ，如图所示。

(1)直导线与线框的互感系数；(2)线框中的互感电动势。

[解] (1)在长直导线中通以电流I ，则通过矩形线框的磁通量满足Mi =Φ。

在矩形线框内任取一面元d S ＝a d x ，宽为d x ，距导线x ，则xIB πμ20=x a xIS B d 2d d 0πμ==Φ 所以 3ln 2ln 2d 2d 000πμπμπμaIc b Ia x a x I b c ===Φ=Φ⎰⎰因此 3ln 20πμa I M =Φ=(2)互感电动势 t ia t I M d d 3ln 2d d 0πμ-=-=ε()t I t a ωπμsin d d3ln 200-=t I aωωπμcos 3ln 200-=17-13 一直角三角形线框ABC 与无限长直导线共面，其 AB 边与直导线平行，位置和尺寸如图所示，求二者之间的互感系数。

[解] 设在无限长直导线通一电流I ，二者互系数为M ，在ABC ∆上任取一面元 x h S d d ⋅=由于θt a n =-xb h所以 θt a n)(x b h -= 因此 x x b S d t a n )(d θ-= x x b xI d )(2tan d 0-=Φπθμ()()⎰---+=Φa b x x a b x a I00d tan 2θπμ ⎪⎭⎫⎝⎛++-+=⎰⎰--a b a b x x a x a x xa b I 000d d tan 2θπμ⎪⎭⎫⎝⎛-+=b a a b b I ln tan 20θπμ 所以 ⎪⎭⎫⎝⎛-+=Φ=b a a b b I M ln tan 20θπμ 17-14 自感本是对封闭线圈定义的，但求两平行长直输电线间长为l 的自感时，按下式定义IL Φ=，这里的Φ是图中阴影部分的磁通量(设导线内部的磁通量可以略去)。

若两导线的半径都是a ，中心距离为d ，载有大小相等方向相反的电流，试证明长为l 的一段的自感为aad l L -=ln0πμ。

[解] 在距左边长直导线中心x 处取微元x L S d d =该处的B 为 ()x d Ix I B -+=πμπμ2200x BL d d d ==ΦS B 所以 ()x x d IL x IL a d ad 22d 00⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=Φ=Φπμπμ aad IL a a d IL -=-⋅=lnln 2200πμπμ 因此 aad L I L -=Φ=ln 0πμOd-xdx x17-15 一矩形截面的螺绕环，尺寸如图所示，总匝数为N ，求它的自感系数。

设N ＝1000匝，1D =20cm ，2D =10 cm ，h =1.0cm ，求其自感系数的值。

[解] 在螺线管环内距离中心r 处取微元r h S d d =该处的磁感应强度B 为NI L 0d μ=⎰l B即 rNIB πμ20=所以 210220ln 2d 12d 12D Dh NI r r h NI D D S πμπμ==⋅=Φ⎰⎰⎰S B H 104.1ln 232120-⨯==Φ=D D h N I N L πμ 17-16 有一半径为R 的无限长圆柱形导体，电流I 均匀地从横截面流过，导体的相对磁导率r μ＝1，求长为L 的一段导体内的磁场能量。