n 1


于是得知 wn 亦必为收敛.又由于 un vn wn ,所以
n 1

得知级数
u
n 1

u
n 1
n

n

v
n 1

n
wn
n 1

vn wn 两个级数 和 都发散. n 1 n 1
绝对收敛 ,此与已知条件矛盾,因此证明了
定理2
绝对收敛级数
n 1


证明
(i)若级数 u n 绝对收敛,由于
n 1

0 vn un ,0 wn un ,
按比较判别法,级数 vn 和级数 wn 都收敛.
un (ii)若 为条件收敛,用反证法证明定理的第二结论. n 1

n 1 n 1


假设级数 vn 和级数 wn 中至少有一个是收敛的,不妨 n 1 n 1 假设 vn 为收敛级数,那么,由于 w n v n un
' n 1 n 1 n 1



而 u ' n v' n w' n ,所以
' ' ' u v w n n n V W un . n 1 n 1 n 1
这样就证明了定理. 若级数 u n 和 vn 都绝对收敛,其 n 1 n 1 和分别为 U 和 K ,则它们各项之积 ui vi i, k 1,2,3, 按照任 何方法排列所构成的级数绝对收敛,且其和为 UV . 定理3(柯西定理)
所以,取 n 大于所有下标 n1 , n2 ,, nk 后,显然有
' 1
'
Sk u u2 uk u1 u2 u3 un Sn .
又由于正项级数 u n ,于是对一切 k 成立 S ' S , k n 1 按照正项级数收敛的基本定理,更序级数 u ' n 亦收敛,设其
ຫໍສະໝຸດ 1' u u n 的更序级数 n
n 1


对收敛,且其和相同,
un
un
n 1

n 1
仍为绝
'
证明
' u (i)我们先证明当 n为收敛的正项级数的情形. n 1

' u 考虑更序级数 n 的部分和 S n 1
' k
.因为
'
u un1 , u2 un2 ,, uk unk ,
n 1

这就表明了更序级数 u ' n 是绝对收敛的.
vn 和 w 的更序级数 再设 v ' n 和 w ' n 分别为级数 n n 1


n 1


.由(i)的结论知道
n 1
n 1
n 1
v
n 1

'
n
vn V , w n wn W ,
§5.绝对收敛级数和条件收敛级 数的性质
定理1 对于级数
un ,将它的所有正项保留而将负项
n 1

vn .将它的所以负项变号(乘 换为0,组成一个级数记为 n 1

上因子-1)而将正项换为0,也组成一个正项级数记为
亦即
un , un 0 un un vn { 0, un 0 2
有组成的级数.由定理1知道,这两个级数都收敛,设它们的
n 1 n 1
n 1


n 1
和分别是V 和W ,则有
由(i)中的结论知道,
' u n V W , n 1
u
n 1
n 1
u
n

n
V W , un V W .
n 1

的更序级数 u ' n 成立着
un , un 0 un un wn { 0, un 0 2
那么
vn 和级数 w 都 (i)若级数 u n 绝对收敛,则级数 n n 1 n 1 n 1 收敛;


散
wn 都发 (ii)若级数 u n 条件收敛,则级数 vn 和级数 n 1
n 1
S

'
' 1
'
'
和为 S ' ,故有S S , ,另一方面级数 u 也可视为级数 u ' n
n 1 n

n 1

n 1
的更序级数故又有S S ' , ,得知
S S',
(ii)再来证明 u n 为任意绝对收敛级数的情形.

仍旧记级数 vn 和 wn 分别为 u n 的所有正项和所