*股票价格的期权定价模型分析李啸宇（南京信息工程大学数学与统计学院南京 210044）摘要：在2000年之后，证券交易在世界范围内得到良好发展，随之产生期权问题，投资消费相关情况开始得到我国专家和学者的关注，对此领域进行高效科学的分析，是目前高效管理且避免风险的重要方式，是金融衍生证券正常运作和长久发展的核心。
期权定价的分析主要是在大量衍生证券定价模型中进行，现实因素是：（1）期权定价简单易行。
（2）若干期权合约就可以构建成新的证券组合，通过对期权定价，可以更容易对证券组合定价。
（3）对于多种证券来说，定价原理本质重点相同，所以，利用分析期权定价，也许可以寻找到证券定价的一般性结果。
本文对若干期权定价问题进行研究，试图得到一些实用的数学结论，此外可以表现出数学与金融两者间的紧密关系：第一，前者是后者分析活动的主要方式，第二，后者促进前者理论领域的进步。
论文共分为三章:第一章叙述期权定价理论发展与主要使用的方式：第二章叙述股票具体定价方式；第三章是对全文的总结。
关键词:股票期权定价证券组合Option pricing model of stock price analysisLi Xiao-YuCollege of Mathematics and Statistics, NUIST, Nanjing 210044, ChinaAbstract:Since 2000, on a global scale to obtain rapid development of stock exchange, the subsequent rights as scheduled, investment spending more and more cause the attention of domestic mathematicians and financial economists, a reasonable valuation, financial derivatives accurately is the precondition of effective management and risk aversion, a reasonable existence and healthy development of financial derivatives.The study of option pricing is the most widely studied in the pricing model of many derivative securities, because:(1) option pricing is simple and easy.(2) a number of options contracts can be built into a new portfolio, which can be more easily priced through the pricing of options.(3) for all kinds of securities, the pricing principle is the one that changes from one to another. Therefore, by studying the pricing of options, it is possible to find the general conclusion of securities pricing.In this paper, the number of option pricing problem is studied,trying to get some practical mathematical conclusion, and be able to show the dialectical relationship between mathematics and finance: on the one hand, mathematics is a powerful tool of financial research,on the other hand, the financial practice to promote the development of mathematics itself. The thesis is divided into three chapters: chapter one introduces the development of option pricing theory and the basic method of pricing: the second chapter introduces the pricing method of stock options. The third chapter is the summary of the full text. Keywords:Stock Option pricing Portfolio第一章 课题背景与相关理论1.1 课题背景与意义改革开放使得在中国大陆上沉寂了20年之久的证券市场重新崛起，随着90年代上海交易所与深圳交易所的成立以及邓小平同志的南巡，中国股市开始迅速扩张，这是中国金融市场新的开始。
然而,随着金融行业的不断扩张，金融事件如经济危机，泡沫经济等也都在给全球的经济带来难以估量的伤害。
可以说，股价的合理性对国家的经济繁荣尤为重要，也牵扯到平民百姓的损益。
这是本论文的出发点——希望借以分析股票的期权定价模型来探索股市的规律性。
1.2 早期模型1.2.1 期权的含义期权，简单地说就是一个订货合同，我们用一个例子来说明。
甲希望在一年以后购得某品牌新上市的手机A ，甲认为该手机新上市时会以8000元出售，超过了甲的承受范围，同时，有乙认为，该手机新上市时会以6000元出售，那么这时甲乙同意签署一份合同（即期权），且甲向乙支付期权费用，该合同规定，当手机上市时，甲有权利以7000元的价格从乙处购买手机A ，但是甲不具备买入的义务。
这是最简单的期权模型，我们也可以规定将“买入”改为“卖出”，不变的只是支付期权费用的人是有权利而无义务的。
1.2.2 期权定价模型的发展股市有风险，投资需谨慎。
正是这种风险显示了期权的价格，长久以来，人们一直致力于研究如何用各种不确定因素估计标的资产的风险。
早在20世纪初，法国数学家路易斯在他的《投机理论》中就提出了对绝对的布朗运动的股票价格[2]（股价的变动也是一个随机过程，其变化过程可以用布朗运动来模拟）的估值模型，站在买方的角度上进行统计，其期权价值主要是：⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=τσϕτστστσXS X S X X S S V (1-1)()dx e 21y 2x -y-2⎰∞=πφ , ()2y -2e 21y πϕ=因为理论并未关注到正值货币的时间价值，投资者对风险的接受程度，所以该理论也只能作为定价模型的基石。
1964年，波内斯提出了在固定对数分布下的股票收益，给出了以下定价公式：()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+Φ-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++Φ=-τστσατστσαατ)21(/ln e )21(/ln 22X S X X S S V (1-2) 此处，α表示股票预期收益率。
二十世纪中期，萨缪尔森寻找到欧式买方期权[17]的定价方式，思考到需要具备较高预期收益率β，此主要公式为：()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+Φ-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++Φ=-τστσατστσαβττβα)21(/ln e )21(/ln e 22-X S X X S S V (1-3) 通过观察（1-2）（1-3）可知，波内斯模型就是萨缪尔森模型在 α=β 时的特殊情况[3-7,11]。
这些理论,为Black -Scholes 定价理论的发展寻找到正确方向,还对日后的各项定价理论的发展起到了决定性的作用。
第二章 现代期权定价模型2.1 Black-Scholes 模型二十世纪七十年代，Black 等专家指出Black -Scholes 模型[15] (此后叫做B -S 模型），另外，Merton [8]在很多方面做出了重要推广。
上述学者在股价服从对数正态分布的假设基础上，使用相关观点知识，推测得到不需要红利的欧式期权定价模型： ()()2-r 1d Xe -d ΦΦ=τS V(2-1)其中：()τστσ⎪⎭⎫⎝⎛++=2121r /ln d X S()τστστσ-d 21-r /ln d 122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=X S我们已经知道，在清算日，买入期权的支付为()X S C T T -=,0m ax ，我们只要求出T C 的期望，我们就可以通过利率贴现，求出现在的期权价格，即：()()()T t T r C E e t S c --=,(2-2)因此突破口在于计算出()T C E 。
取P 是X S T >的概率，那么，()[]{}()01|⨯-+->•=P X X S S E P C E T T T ,即()[]{}X X S S E P C E T T T ->•=|(2-3)该问题最终归结为求解P 和[]X S S E P T T >•|。
接下来我们来求解这两个量。
（1）求P 。
因为0>>X S T ,有X S T ln ln >和S X S S T ln ln ln ln ->-，()()S X S S T /ln /ln >， 故有()()()()S X S S ob X S ob P T T /ln /ln Pr Pr >=>=(2-4)在风险中性基础上，r =μ，基于上述假定我们就可以知道，()S S T /ln 服从正态分布，此外其期望与方差主要是：τσ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛221ln r S S E T 及 τσ2ln =⎪⎭⎫⎝⎛S S D T其中t T -=τ()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-->⎪⎭⎫ ⎝⎛--=>=τστστστσ2221ln 21lnPr rob r S X r S S ob X S P P T T (2-5)如果记()τστσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2121ln r X S d , τσ-=12d d 。
()()()()()221121121ln Pr d d d d r S S ob P T Φ=-Φ-=+-Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+->⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=τστστστσ (2-6)由于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T T e r S S τστσ221ex p 服从对数正态分布。