收稿日期:1999209221　基金项目:国家自然科学基金资助项目(79670076)第一作者简介:郑小迎(1972—),男,河北涞水人,博士研究生.主要从事金融工程学及金融衍生工具研究.关于路径依赖型期权定价模型的研究郑小迎,陈金贤(西安交通大学管理学院,陕西西安　710049)摘　要:剖析了路径依赖型期权的主要特征和价值形成机理,归纳出路径依赖型期权的主要类型.在Black 2Scholes 模型的基础上,讨论了各类期权的定价模型,并创建了包含路径因子在内的多因素定价模型.关键词:路径依赖型期权;Black 2Scholes 模型;无套利原理;偏微分方程中图分类号:F 83019 文献标识码:A 文章编号:10012988Ⅹ(2000)022*******期权是20世纪70年代中期首先在美国出现的一种金融创新工具,20多年来它作为一种防范风险或投机的有效手段得到了迅猛发展.由于期权合约灵活多样、适于创造,又有一个庞大的场外交易市场,近年来,国际衍生金融市场除了交易人们广为熟悉的欧式、美式等标准期权之外,还涌现出大量由标准期权变化、组合、派生而出的新品种,即新型期权.而众多的新型期权往往又具备路径依赖的特征,即期权价格不仅取决于到期日的基础资产价格,而且取决于基础资产价格的变化路径〔1〕.障碍期权、亚式期权、回望期权等品种都是其中的代表,它们的定价与标准期权相比有较大差异.本文在研究标准期权定价的基础上,深入探讨各类路径依赖型期权的特征与价值形成机理,并建立针对不同种类路径依赖型期权的定价模型.鉴于我国当前金融创新的发展动向,本文仅以股票作为期权的基础资产进行研究,至于股指、商品、货币等类型的基础资产暂不作讨论.1　路径依赖型期权及相关内容传统的标准期权通常是按照权利的种类和行使权利的时间来划分的.根据所赋予的权利不同,期权可分为看涨期权和看跌期权:看涨期权是指期权买方拥有以执行价格向期权卖方买入或不买入一定数额标的资产的权利;看跌期权是指期权买方拥有以执行价格向期权卖方卖出或不卖出一定数额标的资产的权利.根据执行时间的不同,期权可分为欧式期权和美式期权:欧式期权只允许期权买方在到期日进行交易;而美式期权则允许买方在到期日或到期日之前的任何营业日进行交易.路径依赖型期权与标准期权的条件和特征多有不同,许多品种都是金融机构应市场的特殊要求设计而成的,并最终延伸成为一系列有助于管理特定风险的金融产品.它们通常在场外市场交易,其收益规律也远较标准期权复杂.为了讨论方便,有必要对其进行如下分类〔1〕:51　第36卷2000年第2期 西北师范大学学报(自然科学版)　V ol 136　2000　N o 12 Journal of N orthwest N ormal University (Natural Science )　1)合同条款变化型期权.由于标准期权合同条款的某些特征发生变化而产生的期权品种,主要包括任选期权、障碍期权等.另外,由于美式期权具备提前执行的条件,使其收益与基础资产的价格变化路径有关,故也可归入此类.该类期权的定价模型大都是欧式期权定价模型的变形与延伸.2)多因素型期权.该类期权的定价不仅要考虑标的变量的变化规律,还需度量路径因子的变化规律,其定价模型将涉及到多个变量.亚式期权、回望期权等品种都属于该类型.由于路径依赖型期权的多样性、复杂性,我们将其定价分解为3个待解决的问题:①从欧式期权定价出发,探讨期权定价的建模思路;②建立能够反映路径依赖特征的多因素定价模型;③以上述模型为基础,详细讨论不同品种的期权定价.2　Black 2Scholes 模型的应用由于路径依赖型期权与欧式期权具有密切的联系,所以首先应溯根求源,在充分理解欧式期权定价的基础上,逐渐凸现出路径依赖型期权的定价原理.Black 2Scholes 定价模型(以下简称B 2S 模型)正是解决欧式期权定价最有效的手段之一.该模型由美国金融学家Black 与Scholes 于1973年首次提出〔2〕,其后,Merton 、C ox 、R oss 与Ingers oll 又对其进行了深入研究与改进,并将其推广到股票期权、股指期权、汇率期权等众多衍生品的定价之中〔3〕.它首先假定股票价格服从对数正态分布,然后综合运用有效市场理论、无套利原理、IT O 定理,最终得到了基于股价的任意一种衍生品价格的偏微分方程.其推导过程如下:首先假设:①证券市场是一个弱性的有效市场;②所有投资者都处于一个风险中性的环境中,所有的证券收益率均为无风险利率;③无交易费用或税收;④随时可以按无风险利率贷入或贷出资金;⑤在衍生品有效期内不支付股利.交易时间内的股价s 被看作是随时间t 变化的连续时间变量,并且服从对数正态分布(也称几何布朗运动):d s =μs d t +σs d z ,(1)其中,μ为预期收益率;σ为标准正态分布的标准差;d z 是一个Wiener 过程.则任意一种基于股价s 的衍生品价格f (s ,t )必须满足方程:9f 9t +rs 9f 9s +12σ2s 292f 9s 2=r f ,(2)r 为无风险利率.方程(2)被称为B 2S 模型,属倒向二阶线性抛物型偏微分方程〔4,5〕.对应于不同种类的衍生品,该方程有不同的解.以欧式看涨期权C (s ,t )为例,设其到期日为T ,执行价格为E ,边界条件为:C (0,t )=0;　C (s ,t )～s ,s →∞;　C (s ,T )=max (s -E ,0).(3)通过适当的变量代换可将方程(2)化简为标准形式.令:s =E e x ,t =T -2τ/σ2,C =Ev (x ,τ),(4)将(4)式代入方程(2),以C (s ,t )替换f (s ,t ),并令k =2r /σ2,则9v 9τ=92v 9x 2+(k -1)9v 9x -kv .(5)利用分离变量法,设v (x ,τ)具有如下形式:61西北师范大学学报(自然科学版) 第36卷　Journal of N orthwest N ormal University (Natural Science ) V ol 136　v =e αx +βτu (x ,τ),(6)其中,α=-12(k -1),β=-14(k +1)2.将(6)式代入方程(5),最终得到9u 9τ=92u 9x 2,　-∞<x <+∞,　τ>0.(7)方程(7)是标准的热传导方程〔5〕,有着严格的解析解u (x ,τ)=∫∞-∞u (x ,0)e -(x -s )2/4τd s ,(8)其中,u (x ,0)=max e 12(k +1)x -e 12(k -1)x ,0.利用(8)式可求出u (x ,τ)的表达式,将变量还原,可得到C (s ,t )的解C (s ,t )=sN (d 1)-E e-r (T -t )N (d 2).(9)其中,d 1=In (s /E )+(r +σ2/2)(T -t )σT -t ,d 2=d 1-σT -t ,N (・)是累计标准正态分布函数.相同条件下欧式看跌期权的价格P (s ,t )可由它与看涨期权的平价关系得到:P (s ,t )=C -s +E e -r (T -t )=E e -r (T -t )N (-d 2)-sN (-d 1).(10) 在上述求解过程中需要把握以下两点:①B 2S 模型以无套利理论作为基础,求解过程中使用了大量的偏微分方程理论,这些方法对研究金融衍生品定价具有很强的指导意义;②该模型仅涉及股价s 与时间t 两个独立变量,但是当构架路径依赖型期权定价模型时,还必须考虑股价移动路径对其价格的影响.3　合同条款变化型期权的定价方法由于该类型期权基本上是欧式期权的某种变形和组合,因此,它们的定价模型大都属于B 2S 模型的变形和延伸.下面以任选期权、障碍期权、美式期权为例进行说明.表1　障碍期权的分类名称对应的期权性质(看涨/看跌)下降敲出型看涨下降敲入型看跌上升敲出型看跌上升敲入型看涨311　任选期权的定价方法任选期权是指在未来某一时刻,即选择时间t 1(t 1<T ),期权持有者具有一种选择权,能够选择期权性质———看涨期权或看跌期权.设t 1时刻股价为s 1,则该时刻期权值为max (C ,P ).利用看涨期权与看跌期权的平价关系,上式可演变为:max (C ,P )=max (C ,C +E e -r (T -t 1)-s 1)=C +max (0,E e -r (T -t 1)-s 1).这说明任选期权由到期时间为T 、执行价格为E 的欧式看涨期权与到期时间为t 1、执行价格为E e-r (T -t 1)的欧式看跌期权两部分组成.由于它给予期权买方极大的灵活性,故其价格也较高.312　障碍期权的定价方法障碍期权是在欧式期权的基础上约定了一个障碍价格.在期权有效期的任何时间,一旦标的变量达到障碍水平,原有期权即告失效(敲出)或生效(敲入),具体划分见表1.71　2000年第2期 郑小迎等:关于路径依赖型期权定价模型的研究　2000　N o 12 S tudy on the pricing m odel of path 2dependent options 由于上述4种期权大体类似,故仅以下降敲出型障碍期权C b (s ,t )为例来推导该类期权的定价模型,显然其定价模型仍满足B 2S 模型.但根据自身特点,其边界条件需修改为C b (X ,t )=0;　C b (s ,t )～s ,s →∞;　C b (s ,T )=max (s -E ,0),s >X .其中,X 为障碍水平,通常有X <E .以下的求解过程与欧式期权类似,但是方程(7)的边界条件需调整为:u (x ,0)=max e12(k +1)x -e 12(k -1)x ,0,x ≥x 0;u (x ,t )～e (1-α)x -βτ,x →∞;　u (x 0,t )=0,x 0=In (X /E ).最终得到C b (s ,t )=C (s ,t )-(s /X )-(k -1)C (X 2/s ,t ).上式说明,障碍期权价格较欧式期权便宜.但是,由于障碍水平的设立,也增加了期权作废的可能性.313　美式期权的定价方法由于美式期权可在其有效期内任何营业日进行交易,因此,它比欧式期权应用得更为普遍〔3〕.但其提前执行的可能性使得在有效期内的任一时刻,不仅要度量期权的价值,还要判断它是应执行或应继续持有,从而导致美式看涨、看跌期权的定价方法有所不同.31311　美式看涨期权的定价方法　首先应判断美式看涨期权是否具备提前执行的条件.若期权在有效期内处于实值状态,期权买方立即执行该期权,可得到内涵价值s -E .但是,这并不能说明该期权就具备了提前执行的条件.恰恰相反,这种做法极不明智,因为它使买方失去期权的时间价值,即丧失了因股价可能上升而使期权增值的机会,故买方应继续维持多头头寸,以期望获取更高的收益.若买方预期股价被高估,也不应执行期权,而应出售期权,以便同时获得内涵价值和时间价值.因此,美式看涨期权在任何情况下都不具备提前执行的条件,其价值C A (s ,t )与欧式看涨期权相同,即C A (s ,t )=C (s ,t ).31312　美式看跌期权的定价方法　由于股价s 不可能无限制地下降,即s >0,所以当看跌期权处于深度值(s →0)时,其时间价值有可能出现负增长(图1).为避免时间价值的损失,在s 下降到一定程度(记为s f (t ),即时间价值为零时)时,就应当执行该期权,从而获取内涵价值E -s ,否则就继续维持该头寸,其价格与欧式看跌期权相同(图2).因此,美式看跌期权P A (s ,t )的定价按照s 的大小被分解为两部分(表2).利用(10)式,s f (t )的大小可由下式确定:s f +e -r (T -t )N (-d 2(s f ))-s f N (-d 1(s f ))=E.81西北师范大学学报(自然科学版) 第36卷　Journal of N orthwest N ormal University (Natural Science ) V ol 136　图1　美式看跌期权价值规律(未执行) 图2　美式看跌期权价值规律表2　美式看跌期权定价股价范围处理方法约束方程P A (s ,t )表达式0<s <s f (t )执行9P A 9t +r s 9P A 9s +12σ2s 292P A 9s 2<rP A E -s s >s f (t )继续持有9P A 9t +r s 9P A 9s +12σ2s 292P A 9s 2=rP A P (s ,t )4　多因素型期权的定价模型包括B 2S 模型在内,上述期权的定价均有一个共同点,即各模型中仅含标的变量s 和时间t 两个独立变量,期权价值也仅与这两个变量有关.但是,多因素型期权定价还需考虑路径因子的影响,故其定价模型将涉及到多个变量.根据定义,路径因子I 与标的资产价格s 和时间t 有关,故描述为I =∫t0f (s (τ),τ)d τ,其中,f (s (t ),t )是任意路径函数,期权表达式也重写为V (s ,I ,t ).根据IT O 定理,V (s ,I ,t )将遵循如下的随机过程:d V =12σ2s 292V 9s2+μs 9V 9s +9V 9t +f (s ,t )9V 9I d t +σs 9V 9s d z .构造资产组合Π=V -Δs ,则经历微小时间段d t 后,Π的变化量为d Π=σs 9V 9sd z +12σ2s 292V 9s 2+μs 9V 9s +9V 9t +f (s ,t )9V 9I d t -Δ(μs d t +σs d z ).令Δ=9V 9s,利用无套利原理,最终有9V 9t +f (s ,t )9V 9I +rs 9V 9s +12σ2s 292V 9s2=r V .(11)这是一个包含路径因子的定价模型.对应不同的路径因子,定价模型(11)具有不同的形式.411　回望期权的定价模型回望期权使期权买方可回顾标的资产的价格变动路径,并有权选择最佳资产价格.具体而言,回望看涨期权使期权买方能在期权有效期内以最低价格购买标的资产;同理,回望看跌期权使期权买方能在期权有效期内以最高价格出售标的资产.以回望看跌期权P l (s ,J ,t )为例,其收益情况可描述为P l (s ,J ,T )=max (J -s ,0).(12)其中,J =max 0≤τ≤Ts (τ),引进路径因子I n :I n =∫t 0(s (τ))n d τ.(13)设J n =(I n )1/n ,则J =lim n →∞J n .将(13)式代入方程(11),可得到定价公式9P l 9t +1n s n J n-1n 9P l 9J n +rs 9P l 9s +12σ2s 292P l 9s 2=rP l .(14)91　2000年第2期 郑小迎等:关于路径依赖型期权定价模型的研究　2000　N o 12 S tudy on the pricing m odel of path 2dependent options 当n →∞时,上式可还原为B 2S 定价模型,但其边界条件将发生变化:P l (s ,J ,T )=max (J -s ,0);　P l (0,J ,t )=J e -r (T -t );　9P l 9J=0,s =J .最终的求解结果是P l (s ,J ,t )=s (-1+N (d 3)(1+k -1))+J e -r (T -t )N (d 4)-k -1sJ 1-k N (d 5).(15)其中,d 3=In (J /s )+(r +σ2/2)t σT -t ,d 4=In (J /s )-(r -σ2/2)t σT -t ,d 5=In (s /J )-(r -σ2/2)t σT -t.回望期权在到期日基本上处于实值、两平状态,因此其价格极为昂贵,现实中很少能发生与之相匹配的风险.412　亚式期权的定价模型亚式期权的收益取决于有效期〔0,T 〕内的平均价格A (T )和执行价格E 的关系.它能够帮助期权持有者防范一段时间内因频繁交易资产而发生的价格波动风险,而欧式期权只能避免间断性交易所发生的风险.A (t )的表达式为A (t )=1t ∫ts (τ)d τ,其路径因子I a 可描述为I a =∫t 0s (τ)d τ.根据方程(11),可得到亚式期权V a (s ,I a ,t )的定价模型:9V a 9t +s 9V a 9I a +rs 9V a 9s +12σ2s 292V a 9s2=r V a .(16)以亚式看涨期权C a (s ,I a ,t )为例,其边界条件可描述为C a (s ,I a ,T )=max 1T I a (T )-E ,0.由于股价s 的算求平均值A (T )不再满足对数正态分布,仅利用方程(16)还无法得到解析解.但可利用一对数正态变量(记为I ′(t ))作为路径因子I a 的近似值(两者的一阶矩和二阶矩相等),从而得到其近似的解析解.这里取I ′(t )=s (0)e Y (t ),其中,Y (t )～N (( μ- σ2/2)t , σ2t ).下面是两者一阶矩和二阶矩的计算结果:E1T I a =E 1T ∫T 0s (τ)d τ=s (0)rT (e rT -1),E (I ′)=s (0)e μT ;E 1T I a 2=2s 2(0)T 2(r +σ2)e (2r +σ2)T -12r +σ2-e rT -1r ,E (I ′2)=s 2(0)e (2 μ+ σ2)T .由于I ′(t )和I a 的一阶矩和二阶矩相等,故可列出方程组:s (0)rT(e rT -1)=s (0)e μT ,2s 2(0)T 2(r +σ2)e (2r +σ2)T -12r +σ2-e rT -1r =s 2(0)e (2 μ+ σ2)T .02西北师范大学学报(自然科学版) 第36卷　Journal of N orthwest N ormal University (Natural Science ) V ol 136　求解得μ=1T In e rT -1rT , σ2=1T In 2r 2(r +σ2)(e rT -1)2e (2r +σ2)T -12r +σ2-e rT -1r .(17)模仿欧式期权的求解步骤,可得到C a (s ,t )的近似解为C a (s ,t )≈1-e r (T -t )r (T -t )(sN ( d 1)-E e - μ(T -t )N ( d 2).其中, d 1=In (s /E )+( μ+σ2/2)(T -t ) σT -t, d 2= d 1- σT -t .实例:假定某种股票的亚式期权3个月后到期(T =3/12=0125),期权的执行价格E 每股40美元,股票的当前价格s 为每股36美元,股价的波动性σ为25%,无风险利率r 为5%.代入(17)式得: μ=01025, σ2=0102, d 1=-1137, d 2=-1144.进而得到亚式期权的近似值C a =01093美元/股,相同条件下欧式看涨期权的价格C =017美元/股,C a <C .由于标的资产价格在一段时间内的平均值变化比某个特定日的变化程度小,故减少了期权风险并降低了其时间价值,导致亚式期权的价格低于欧式期权,从而说明上面的计算结果是合理的. 参考文献〔1〕　〔美〕洛伦兹・格利茨.金融工程学〔M 〕.唐　旭译.北京:经济科学出版社,1998〔2〕　Black F 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differential equation(责任编辑　马宇鸿)　12　2000年第2期 郑小迎等:关于路径依赖型期权定价模型的研究　2000　N o 12 S tudy on the pricing m odel of path 2dependent options 。