期权定价模型什么是期权 期权，又称为选择权，指一种能在未来某特定时间以特定价格买入或卖出一定数量的某种特定商品的权利。

它是在期货的基础上产生的一种金融工具，给予买方（或持有者）购买或出售标的资产的权利。

期权的持有者可以在该项期权规定的时间内选择买或不买、卖或不卖的权利，他可以实施该权利，也可以放弃该权利，而期权的出卖者则只负有期权合约规定的义务。

Black-Scholes 期权定价模型 股票价格的变动一般没有规律可循，但我们可以用随机过程来刻画股价的变动过程。

特别的，我们可以假设股价遵循几何维纳过程。

1973年，斯坦福大学的教授Myron Scholes 和他的同事、已故数学家Fischer Black 在美国《政治经济学》上发表了论文《期权与公司债务的定价》，给出了欧式看涨期权的定价公式，即著名的Black-Scholes 期权定价模型。

该模型被称为“不仅在金融领域，而且在整个经济学中最成功的理论”。

在模型的应用、改进和扩展方面，哈佛商学院的教授Merton 也做了大量的研究工作。

因此，Scholes 和Merton 被授予1997年的诺贝尔经济学奖，以表彰他们所做出的杰出贡献。

二叉树期权定价模型 虽然Black-Scholes 期权定价模型有许多优点，但是它复杂的数学推导和求解过程在金融界较难被广泛接受和掌握。

1979年，J.C.Cox 、S.A.Ross 和M.Rubinstein 在《金融经济学杂志》上发表论文《期权定价：一种简单的方法》，提出了一种比较浅显的期权定价方法，被称为Cox-Ross-Rubinstein 二项式期权定价模型（Binomial Model ）或二叉树期权定价模型（Binomial tree ）。

二叉树期权定价模型建立在一个基本假设基础上，即在给定的时间间隔内，证券的价格运动有两个可能的方向：上涨或者下跌。

窝轮的定价及影响因素 目前香港的窝轮发行商给窝轮定价时基本上都是采用Black-Scholes 期权定价模型。

所不同的是，各个发行商对模型中的参数如无风险利率，红利和波动率的选取都有所不同。

比如发行商会考虑自身的资产状况和借贷资金成本来界定无风险利率，对公司红利的派发预期也有所不同，另外对波动率的选取和稳定性维护更是能体现发行商的信誉和资质水平。

牛熊证的定价及影响因素 牛熊证作为一种新型结构性产品于2006年6月被引入香港市场之后，发展至今深受市场欢迎。

由于牛熊证设有收回价机制，在定价方面，牛熊证和窝轮完全不同。

用数学公式表示，即为：()E r T X X S c ⋅⋅+−=)(，()E r T S S X p ⋅⋅+−=)(其中p c 、分别为牛证和熊证的价格，E r T X S 、、、、分别为正股股价、行使价、剩余期限、年息和兑换比率。

招商证券（香港）研究部 陈文质 (86-755) 83295367 cwz@ 何 钟 (852) 31896818 hezhong@ 2009年4月2日正文目录一、什么是期权 (3)二、Black-Scholes期权定价模型 (4)（一）数学预备知识 (5)1、基本的维纳过程 (5)2、一般的维纳过程 (5)3、Ito过程 (6)4、Ito引理 (6)5、随机变量的分布函数和密度函数 (7)（二）股票价格的行为过程 (7)（三）股票价格的对数正态分布特性 (9)（四）Black-Scholes微分方程 (9)（五）风险中性定价法导出Black-Scholes定价公式 (11)（六）关于Black-Scholes定价公式的几点说明 (14)三、二叉树期权定价模型 (15)四、窝轮和牛熊证的定价及影响因素 (17)（一）窝轮的定价及影响因素 (18)1、影响窝轮价格的五大因素 (18)2、红利支付下的窝轮Black-Scholes定价公式的修正 (18)（二）牛熊证的的定价及影响因素 (19)1、什么是牛熊证 (19)2、牛熊证的定价公式 (19)3、牛熊证定价例子 (20)4、牛熊证价格的影响因素 (20)一、什么是期权期权（Option），又称为选择权，指一种能在未来某特定时间以特定价格买入或卖出一定数量的某种特定商品的权利。

它是在期货的基础上产生的一种金融工具，给予买方（或持有者）购买或出售标的资产(underlying asset)的权利。

期权的持有者可以在该项期权规定的时间内选择买或不买、卖或不卖的权利，他可以实施该权利，也可以放弃该权利，而期权的出卖者则只负有期权合约规定的义务。

由于期权交易方式、方向、标的物等方面的不同，产生了众多的期权品种。

（1）按期权的权利划分，有看涨期权和看跌期权两种类型。

看涨期权（Call Option）是指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权利金后，即拥有在期权合约的有效期内，按事先约定的价格向期权卖方买入一定数量的期权合约规定的特定商品的权利，但不负有必须买进的义务；而期权卖方有义务在期权规定的有效期内，应期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格卖出期权合约规定的特定商品。

看跌期权（Put Option）是指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权利金后，即拥有在期权合约的有效期内，按事先约定的价格向期权卖方卖出一定数量的期权合约规定的特定商品的权利，但不负有必须卖出的义务；而期权卖方有义务在期权规定的有效期内，应期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格买入期权合约规定的特定商品。

（2）按期权的交割时间划分，有美式期权、欧式期权和百慕大式期权。

美式期权是指在期权合约规定的有效期内任何时候都可以行使权利；欧式期权是指在期权合约规定的到期日方可行使权利；百慕大式期权是一种可以在到期日前所规定的一系列时间行权的期权，是美式和欧式的混合体。

（3）按期权合约上的标的划分，有股票期权、股指期权、利率期权、商品期权以及外汇期权等种类。

期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题。

期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。

早在1900年法国金融专家劳雷斯·巴舍利耶（Bachelier）就发表了第一篇关于期权定价的文章。

此后，各种经验公式或计量定价模型纷纷面世，但因种种局限难于得到普遍认同。

上世纪70年代以来，伴随着期权市场的迅速发展，期权定价理论的研究取得了突破性进展。

第一个完整的期权定价模型由Fisher Black和Myron Scholes创立并于1973年公之于世。

这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。

二、Black-Scholes期权定价模型众所周知，股票价格的变动一般没有规律可循，但我们可以用随机过程来刻画股价的变动过程。

随机过程（Stochastic process）是指：如果某变量以某种不确定的方式随时间而变化，则称该变量遵循某种随机过程。

数学上用来描述各种运动的随机过程有很多，马尔可夫过程（Markov process）是一种特殊类型的随机过程。

当一个随机过程变量的未来预测值只与该变量的当前值有关，而与该变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式不相关时，我们称该随机过程为马尔可夫过程。

人们通常假设股票价格遵循马尔科夫过程，这具有一定的合理性。

股价的马尔科夫性质与市场弱有效性相一致，也就是说，股票的现价充分反映了历史上一系列交易价格和交易量中所隐含的信息。

如果市场弱有效性不正确的话，技术分析师可以通过分析股价的历史数据图表获得高于平均收益率的收益。

事实上，几乎没什么证据表明他们能够做到这一点。

而且，股票市场的充分竞争也保证了市场弱有效性的成立。

假如已经发现历史股价中某种特殊模型总能给出未来股价超出50%的上涨机率，这种方式一旦被观察到，市场的众多投资就会购买股票，从而对股票的需求就会突然增加，其结果为股价骤然上涨，过去观察的效应便将失效。

股价的随机行为与布朗运动（Brownian motion）类似，后者在物理学中指描述液体中某个粒子受到大量小分子碰撞后的不规则运动。

布朗运动的起因是由于液体的所有分子都处在运动中，且相互碰撞，从而粒子周围有大量分子以微小但起伏不定的力共同作用于它,使它被迫作不规则运动。

1923年，美国数学家维纳（Norbert Wiener）从数学上严格地定义了一个随机过程来描述布朗运动。

因此，布朗运动也称为维纳过程（Wiener process）。

维纳过程是马尔可夫过程的一种特殊形式。

股价行为通常用维纳过程来描述。

1973年，斯坦福大学的教授Myron Scholes和他的同事、已故数学家Fischer Black在美国《政治经济学》上发表了论文《期权与公司债务的定价》，给出了欧式看涨期权的定价公式，即著名的Black-Scholes期权定价模型。

该模型被称为“不仅在金融领域，而且在整个经济学中最成功的理论”。

在Black和Scholes发表论文的同时，哈佛商学院的教授Robert Merton也发现了同样的定价公式，并在后来的应用和研究中扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。

因此，Scholes和Merton被授予1997年的诺贝尔经济学奖，以表彰他们所做出的杰出贡献。

为充分理解Black-Scholes期权定价模型，我们需要阐述以下数学预备知识。

（一）数学预备知识1、 基本的维纳过程要理解遵循维纳过程的变量z 的行为，可以考虑在短时间间隔上变量z 值的变化。

设一个小的时间间隔长度为t Δ，定义z Δ为在t Δ时间内z 的变化值。

如果满足：（1）εt z Δ=Δ其中ε是服从标准正态分布)1,0(N 的一个随机变量；（2）对于任意两个不同的时间间隔t Δ，z Δ的值相互独立。

则称变量z 遵循基本维纳过程。

由条件（1）可知，z Δ也服从正态分布，且其均值为0，方差为t Δ，标准差为t Δ；由条件（2）可知，z 遵循马尔科夫过程。

另外，条件（1）的极限形式可表现为：εdt dz = （2.1）设z 值在时间T 后的变化量为)0()(z T z −，这可以被看作在N 个长度为t Δ的小时间间隔后z 的变化的总量，其中tT N Δ=，从而 i Ni t z T z ε∑=Δ=−1)0()(其中),,2,1(N i i ⋅⋅⋅=ε是服从标准正态分布的随机变量，且相互独立。

由正态分布的特性可知，)0()(z T z −也服从正态分布，其均值为0，方差为T ，标准差为T 。

2、 一般的维纳过程变量x 遵循一般维纳过程定义如下：bdz adt dx += （2.2）其中b a ,为常数，dz 为同（2.1）式的基本维纳过程。

adt 项表示变量x 在单位时间内的漂移量，其期望值为a 。

εdt b bdz =项可被看作为增加到x 轨迹上的波动率或噪音，其值 为基本维纳过程的b 倍。