一、理论知识
1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2．勾股定理逆定理：如果三角形的三条边a,b,c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。
3．勾股数：满足222a b c += 的三个正整数，称为勾股数。
勾股定理的证明：拼图法
证明1：我国数学家赵爽的证法：将四个直角三角形按图2那样
摆放，构成了一个以直角三角形的斜边c （弦）为边长的正方形（弦图），
其面积为2c 。
四个直角三角形的面积和为2ab ，弦图中间是以勾、股之差
为边的正方形，面积为2()b a - 。
于是，有222()ab b a c +-=。
整理得
222a b c +=。
证明2：如图△ABC 和△CDE 是两个全等的直角三角形，这两个
直角三角形拼成了一个梯形。
则ABC CDE ACE ABDE S S S S ++△△△梯形＝ 即21111()()2222a b a b ab ab c ++=++ 化简得222a b c +=
二、典型题型
1．求线段长度
方程思想的运用，利用面积计算
例题1-1：如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，
且AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长。
思路：①折叠全等 ②方程思想－归入到一个三角形，利用勾股定理，待求
所在的三角形。
解：由折叠全等知道AF=AD=BC=10cm ，在Rt △ABF 中，
226BF AF AB =-=,FC=4cm ，设EC=x ，EF=8-x ，则利用勾股定理可求出EC
例题1-2：如图，直角三角形ABC 中，AD ，CE 是三角形的两条中线，其
长分别为5和210，那么这个直角三角形的斜边长为（ ）
A.10
B. 410
C. 13
D. 213
解：设AB=x ，BC ＝y ，则在两个Rt △ABD ，Rt △CBE 中，
利用中线长度已知和勾股定理，可求出x 和y ，则可求出AC
例题1-3：如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m ．按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是（ ）
A.2m
B. 3m
C. 6m
D.9m
解：△ABC 的面积=△AOB 的面积+△BOC 的面积+△AOC 的面积即可求解
点O 到三条边的距离相等，所以可设为h 。
例题1-4：如图，将一根长为24cm 的筷子置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子 露在杯子外面的长为h cm ，则h 的取值范围是（B ）
A. 1≤h ≤11
B. 11≤h ≤12
C. h ≥12
D. 0≤h ≤12
例题1-5：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C 到AB 的距离是
（A ）
A. 365
B. 1225
C. 94
D. 334
例题1-6：如图，直角三角形ABC 中，∠C=90º，AC=6cm ，BC=8cm
现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合
试求CD 的长。
解：首先由勾股定理求出AB=10cm ，设CD=x 。
另外，由折叠可知△ACD ≌△AED 则DE=x ，AE=AC=6cm 。
①归入到Rt △BED 中，利用勾股定理求x
②利用面积相等求解：ABC S S S =+△△ABD △ACD 求出x
2．求面积
例题2-1：如图，在△ABC 中，∠C=90º，AB=15，则这两个正方形面积的和为（C ）
A. 150
B. 200
C. 225
D.350
解：待求正方形的边是直角三角形的两个直角边，所以面积和为斜边的平方
例题2-2：如图，直线上有三个正方形a,b,c ，若a,c 的面积分别为5和11，
则b 的面积为（ C ）
A. 4
B. 6
C.16
D.55
解：设a,b,c 的边长分别为x,y,z ，由三角形全等可知x,y,z 为直角三角形
的三个边，且22251116z x y =+=+=
例题2-3:勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ的面积为（）
A.90
B.100
C.110
D.121
解：延长AB，AC交KL和ML于点
O ，P。
关键在于知道①将图1放入
图2中后，四边形ABDE、BCGF、ACHI
仍是正方形
②△ABC≌△OFB≌△FLG≌△GPC（ASA）
这样可求出矩形两边长，则矩形面积可求出
3．立体图形中求最短
关键是展开图，展开后利用勾股定理
例题3-1：如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离
杯底3cm的点C
4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15 cm．
解：所有此类型的题关键在于得到展开图
圆柱形展开为矩形，本题特殊在于，蜂蜜
在杯内，蚂蚁在杯外。
其实质是在上线上求一
点，使A，C两点到该点距离最短。
例题3-2：如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B距点C的距离为
5，一只蚂蚁如果要沿长方体的表面从点A爬到点B，则需要爬行的最短
距离是（）
D.35
A. 521
B. 25
C. 1055
解：分别以3，2为旋转轴将图形展开得到
下图所示。
BC=5,CM=10,MA=20,AC=30
利用勾股定理可求出距离，比较这些距离的大小，选出
最短的即为所求。
例题3-3：如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为55cm
,10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只
蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你想一想，蚂蚁从A点出发，沿着
台阶面爬到B点，最短路程是多少?
解：展开图如图所示。
把上表面和前侧面顺次连接展开，然后利用
勾股定理求长度即可。
4．证明直角三角形
例题4-1：如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，
则∠ABC的度数为（C）
A. 90°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
解：要求∠ABC的度数，应将该角归入三角形中，连接AC
由勾股定理可求出AB,BC,AC的长度，由逆定理可知三角形为等腰直角三角形。
例题4-2：小红向东走20m后，沿另一方向又走15m，再向第三个方向走25m回到原地。
问小红向东走20m后又向哪个方向走的？
解：①画出示意图②勾股定理逆定理，先看这三个数是否满足勾股数
若满足则说明可构成直角，再结合示意图，可知道又向正北或正南方向走的。
例题4-3：如图所示，在等腰直角三角形ABC的斜边上取两点M,N，使
∠MCN=45º，设AM=a，MN=x,BN=b,试判定以x,a,b为边长的三角形
的形状。
解：应使三条线段在同一个三角形中。
作辅助线。
过C点作CD⊥CM，且CD=CM。
连接DB,DN。
∵AC⊥BC, CD⊥CM ∴∠ACM=∠BCD
又∵AC=BC,CM=CD ∴△ACM≌△BCD
∴BD=AM=a, ∠CBD=∠A=45º∴∠NBD=∠CBD+∠ABC=90º
∵CM=CD,∠MCN=∠NCD=45º,CN=CN ∴△MCN≌△DCN
∴ND=MN=x
∴以x,a,b为边长的三角形为直角三角形。