2020届高三5月学情调查数学Ⅰ试题一、填空题：本题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知集合{}0,1,2M =，集合N =0,2,4{}，则M N ⋃= ▲ ．{0,1,2,4}2.已知复数 z =1+2i （ i 为虚数单位），则 z 2的值为 ▲ ． -3+4i3.袋中装有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2 只黄球从中一次随机摸出 2只球，则这 2只球颜色不同的概率为 ▲ ．56 4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600．现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则=n ▲ ．63 5.执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ ．8 6.若曲线f (x )=mxe x+n 在 (1,f (1))处的切线方程为 y =ex ，则m +n = ▲ . e +127.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是抛物线24y x =与双曲线2221(0)4x y b b -=>的一个交点.若抛物线的焦点为F ，且5FA =，则双曲线的渐近线方程为 ▲ .y =±3x 8.已知{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．若32a =，1264S S =，则9a 的值为 ▲ ．6 9.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都是 a ，点 P ,Q 分别为棱CC 1,BC 的中点，四面体A 1B 1PQ 的体积为2，则 a 的值为 ▲ .2 S ←1 I ←2While S ≤100 I ←I ＋2 S ←S ×I注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分.本试卷满分为160分，考试试卷为120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级写在答题卡上.试题的答案写在答题卡上对应题目10. 已知 a Î(0,p 2)且 cos2a =35，则tan(p4-a )tan(p 4+a )= ▲ . 1911.若关于,x y 的方程组：1mx y x y n+=⎧⎨+=⎩在[1,2]x ∈上有解，则22m n +的最小值为 ▲ .9512.已知正实数 a ,b 满足 a +2b =2，则(a +4a )(b +1b )的最小值为 ▲ . 25213.在平面直角坐标系xOy 中， A ,B 是圆C :x 2-4x +y 2=0上两动点，且AB =2，点 P 坐标为，则的取值范围为 ▲ .14. 已知函数f (x )=-x 3+4x 2+b ,x <02x ,x ³0ìíîï, 若函数 g (x )=f [f (x -1)]恰有三个不同的零点，则实数 b 的取值范围是 ▲ . b <2-二、解答题：本答题共6分，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内.15.（本小题满分14分）在 D ABC 中，角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ，已知cos A=-10b =c =（1）求边a 的值；（2）求cos(B -A)的值.解：（1）在ABC ∆中，cos 10A =-，b =c = 2222cos 252(9a b c bc A ∴=+-=+-=，，3a ∴=.…………………………………………………………………6分（2）在ABC ∆中，cos 10A =-，(,)2A ππ∴∈， sin 10A ∴===，……………………………………………8分在ABC ∆中，sin sin a b A B =，即32sin 31010B=，5sin 5B ∴=，………………………10分 又(,)2A ππ∈，(0,)2B π∴∈，22525cos 1sin 1()55B B ∴=-=-=. 251053102cos()cos cos sin sin ()51051010B A B A B A ∴-=+=⨯-+⨯=.……………14分 16. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中． （1）若AD ⊥平面PAB ，PB PD ⊥，求证：平面PBD ⊥平面PAD ； （2）若AD ∥BC ，2AD BC =，E 为PA 的中点，求证：BE ∥平面PCD ．16．（1）因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥， 又因为PB PD ⊥， 且ADPD D =，AD PD ⊂，平面PAD ，所以PB ⊥平面PAD ， 又因为PB ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAD .…………………6分 （2）取PD 的中点F ，连结EF ，因为E F ，分别是PA ，PD 的中点，所以//EF AD ，且=2AD EF ，又因为四边形ABCD 为直角梯形且//AD BC ，2AD BC =，所以//EF BC 且EF BC =，所以四边形EFCB 是平行四边形， 所以//BE CF ， 又CF ⊂平面PCD ，BE ⊄平面PCD ， 所以//BE 平面PCD ． ……………………………………14分17. （本小题满分14分）已知椭圆 C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右顶点为 A ，左、右焦点分别为 F 1,F 2，离心率为 12， P 是椭圆上的一个动PAB CD（第16题图）点（不与左右顶点重合），且D PF1F2的周长为6，点P关于原点的对称点为Q，直线AP,QF2交于点M.（1）求椭圆的方程；（2）若直线PF2与椭圆交于另一点N，且S D AF2M=4SD AF2N，求点P的坐标.解（1）因为椭圆的离心率为12，D PF1F2的周长为6，设椭圆的焦距为2c，则2a+2c=6ca=12b2+c2=a2ìíïïîïï解得：a=2,c=1,b=x24+y23=1………………………………4分（2）设P(m,n)，则m24+n23=1,Q(-m,-n)，所以AP的方程为y=nm+2(x+2)①若m=-1，则QF2方程为x=1②，由对称性不妨令P在x轴上方，则P(-1,32),Q(1,-32)，联立①②解得M(1,92),PF2方程为y=-34(x-1)，代入椭圆方程得N(137,-914).故SD AF2MSD AF2N=|yM||yN|=7¹4，不合题.…………………………6分若m¹-1，则QF2方程为y=nm+1(x-1)③.联立①③可得x=3m+4y=3nìíî，M(3m+4,3n).………8分因为SD AF2M=4SD AF2N，所以|yM|=4|yN|.又因为M,N位于x轴异侧，所以yN=-3n4.由直线PF2方程y=nm-1(x-1)得：xN=7-3m4，………………………………………10分将点N(7-3m4,-3n4)代入椭圆方程得(7-3m4)24+(-34n)23=1，又m24+n23=1，……12分故(73-m)24+n23=169即(73-m)24-m24=79所以m =12， n =±4 P 坐标为 (12,4或 (12,-4.…………………14分 解法二：设 P (m ,n )，则 m 24+n 23=1,Q (-m ,-n )，所以 AP 的方程为 y =n m +2(x +2)① QF 2方程为x =m +1ny +1②，联立①②解得 M (3m +4,3n )，…………………8分 因为S D AF 2M=4S D AF 2N ，所以|y M|=4|y N|.又因为 M ,N 位于 x 轴异侧，所以y N =-3n 4. 由直线PF 2方程x =m -1n y +1得：x N =7-3m4（下同法一）. …………………10分 18. （本小题满分16分）如图，建筑公司受某单位委托，拟新建两栋办公楼AB ，CD （AC 为楼间距），两楼的楼高分别为 m a ， m b ，其中b a >．由于委托单位的特殊工作性质，要求配电房设在AC 的中点M 处，且满足两个设计要求：① 90BMD ∠=︒，②楼间距与两楼的楼高之和的比(0.8,1)λ∈． （1）求楼间距AC （结果用a ，b 表示）； （2）若45CBD ∠=︒，设k =k 表示l ，并判断是否能满足委托单位的设计要求？ 18.解：（1）∵在ABM ∆中，2tan 2a aBMA c c ∠==，在CDM ∆中，2tan 2b bDMC c c ∠==，∵90BMD ∠=︒，∴90BMA DMC ∠+∠=︒，∴tan tan 1BMA DMC ∠⋅∠=，即24cab =，∴c = ----6分（2）l =a +b =2k 1+k 2=2k +1k ---------------------8分 在CBD ∆中，过点B 作CD 的垂线，垂足为E ，∴tan a CBE c ∠=，tan b aDBE c-∠=， ∴tan ÐCBD =tan(ÐCBE +ÐDBE )=tan ÐCBE +tan ÐDBE1-tan ÐCBE ×tan ÐDBE=1-=1-4b =1，=32+a2b ，因为 k =k =32+12k 2即322310k k --=， ………10分 设f (x )=2x 3-3x 2-1， x >1，∴¢f (x )=6x 2-6x =6x (x -1)>0，∴函数 f (x )单调递增，若(0.8,1)λ∈，则2<k +1k <52，即 1<k <2 ------12分 ∵ f (1)=-2<0，f (2)=3>0，∴ 1<k <2成立 ∴(0.8,1)λ∈， ∴能满足委托单位的设计要求．………15分答：（1）楼间距AC 为;(2)能满足委托单位的设计要求． ………………16分19. （本题满分16分）已知函数f (x )=e x ax 2+bx +1，其中 a >0,b ÎR ,e 为自然对数的底数. （1）若 b =1,x Î[0,+¥)，①若函数f (x )单调递增，求实数 a 的取值范围；②若对任意 x ³0，f (x )³1恒成立，求实数 a 的取值范围.（2）若 b =0，且f (x )存在两个极值点 x 1,x 2，求证：1+32a <f (x 1)+f (x 2)<e . 解：（1）①因为 f (x )=e xax 2+x +1单调递增，所以¢f (x )=e x [ax 2+(1-2a )x ](ax 2+x +1)2³0对任意 x Î[0,+¥)恒成立，即 ax ³2a -1对任意 x Î[0,+¥)恒成立， \2a -1£0，即 0<a £12； ②由①当 0<a £12时，f (x )=e xax 2+x +1单调递增，故 f (x )³1成立， 当a >12时，令 ¢f (x )=0得 x =2a -1a ，\ f (x )在 (0,2a -1a )上递减，\f (2a -1a )<f (0)=1不合题；（2）因为f(x)=e xax2+1,xÎR存在两个极值点x1,x2所以¢f(x)=e x(ax2-2ax+1)(ax2+1)2=0有两个不同的解，故D=4a2-4a>0，又a>0，所以a>1，设两根为x1,x2(x1<x2)，则x1+x2=2,x1x2=1a，故0<x1<1，f(x1)+f(x2)=e x1ax12+1+e x2ax22+1=e x1x1x2+1+e x2x2x1+1=e x1x2+e x2x1x1+x2=e x1(2-x1)+e2-x1x12令F(x)=e x(2-x)+e2-x x2，因为¢F(x)=e x(1-x)+e2(1-x)e x2>0，所以F(x)在(0,1)上递增，所以F(x)<F(1)=e；又2[f(x1)+f(x2)]-3a=e x1(2-x1)+e2x1e x1-3x1(2-x1)令G(x)=e x(2-x)+e2xe x-3x(2-x),xÎ(0,1)，则¢G(x)=(1-x)(e x+e2x-6)，令¢G(x)=0得e x=3±xÎ(0,1)，则e x=3-x=ln(3-，记为x，则G(x)在(0,x)上递增，在(x,1)上递减，又G(0)=2,G(1)=2e-3>2，所以G(x)>G(0)=2，即f(x1)+f(x2)>1+32a，综上：1+32a<f(x1)+f(x2)<e.---------------16分解法二：由（1）当x³0时，e x12x2+x+1³1恒成立，所以有当x>0时，e x>12x2+x+1所以f(x1)+f(x2)=e x1ax12+1+e x2ax22+1=e x1x1x2+1+e x2x2x1+1=e x1x2+e x2x1x1+x2>x2(12x12+x1+1)+x1(12x22+x2+1)2=12x 1x 2(x 1+x 2)+2x 1x 2+x 1+x 22=1+32x 1x 2=1+32a----------------16分20. （本题满分16分）已知数列 {a n }满足奇数项{a 2n -1}成等差，公差为 d ，偶数项{a 2n }成等比，公比为q ，且数列{a n }的前n 项和为n S ，a 1=1,a 2=2.（1）若 S 5=2a 4+a 5,a 9=a 3+a 4.①求数列 {a n }的通项公式；②若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值；（2）若 d=1， q >1，对任意给定的 q ，是否存在实数l ，使得|l |<a 2n -1a 2n 对任意 n ÎN *恒成立？若存在，求出l 的取值范围；若不存在，请说明理由.（1）①因为 S 5=2a 4+a 5,a 9=a 3+a 4，所以 a 1+a 2+a 3=a 4,a 9=a 3+a 4，即 4+d =2q3d =2qìíî解得d =2,q =3.当 n 为奇数时，设 n =2k -1，则 a n=a 2k -1=a 1+(k -1)d =2k -1=n当 n 为偶数时，设 n =2k ，则a n =a 2k =a 2qk -1=2×3n 2-1综上a n =n ,n =2k -12×3n2-1,n =2k ìíïîï,k ÎN *. ②当 m 为奇数时， m ×2×3m -12=m +2，即2×3m -12=1+2m，当 m =1时，不合题；当 m ³3时，右边小于2，左边大于2，等式不成立；当 m 为偶数时， m +1=3,所以 m =2.综上， m =2. （2）当 l=0时，由于a 2n -1=n ,a 2n=2qn -1各项，所以a 2n -1a 2n>0，所以 l =0合题； 当 l¹0时，假设|l |<a 2n -1a 2n对任意 n ÎN *恒成立，即 n2qn -1>|l |对任意 n ÎN *恒成立，所以nq n>2|l|q，令l=2|l|q，即nq n>l对任意nÎN*恒成立先证：ln x<x>0恒成立令f(x)=-ln x，则¢f(x)=1x=-22x，所以f(x)在(0,4)上递减，在(4,+¥)上递增，所以f(x)min =f(4)=2-ln4>0，即ln x<x>0恒成立，所以ln n<所以ln q n-ln n2=n ln q-2ln n>nln q-=q-2)，所以当n>4ln2q时，q n>n2,即nn2>nq n>l，解得n<1l，所以当n>1l且n>4ln2q时，nq n<nn2=1n<l这与nq n>l对任意nÎN*恒成立矛盾，所以当l¹0时不合题；综上l的取值范围为{0}.。