2020届全国大联考高三4月联考数学（理）试题一、单选题 1．不等式110x->成立的充分不必要条件是（ ） A ．1x > B ．1x >-C ．1x <-或01x <<D ．10x -≤≤或1x > 【答案】A【解析】求解不等式110x->的解集，其充分不必要条件即该解集的真子集即可. 【详解】 解110x->，()10,10x x x x ->->， 得()(),01,x ∈-∞+∞U ，其充分不必要条件即该解集的真子集， 结合四个选项A 符合题意. 故选：A 【点睛】此题考查充分不必要条件的辨析，关键在于准确求解分式不等式，根据充分条件和必要条件的集合关系判定.2．复数 12z i =+的共轭复数是z ，则z z ⋅=（ ）A B ．3C ．5D 【答案】C【解析】根据 12z i =+，写出其共轭复数 12z i =-，即可求解. 【详解】由题 12z i =+，其共轭复数 12z i =-，()()21212145z z i i i ⋅=+-=-=.故选：C 【点睛】此题考查共轭复数的概念和复数的基本运算，关键在于熟练掌握复数的乘法运算. 3．已知随机变量()22,X N σ:，若()130.36P X <<=，则()3P X ≥=（ ）A ．0.64B ．0.32C ．0.36D ．0.72【答案】B【解析】根据正态分布密度曲线性质()3P X ≥=()()11130.322P X -<<=. 【详解】由题：随机变量()22,X N σ:，若()130.36P X <<=，则()3P X ≥=()()11130.322P X -<<=. 故选：B 【点睛】此题考查根据正态分布密度曲线性质求解概率，关键在于熟练掌握正态分布密度曲线的相关性质，结合对称性求解.4．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，由下列四个命题，其中正确的是（ ）A ．若,m m n α⊥⊥，则//n αB ．若//,//m n αα，则//m nC ．若//,m αβα⊂，则//m β.D ．若//m β，m α⊂，则//αβ.【答案】C【解析】A 选项可能n ⊂α，B 选项两条直线位置关系不能确定，C 选项正确，D 选项两个平面相交也能满足//m β，m α⊂. 【详解】A 选项，当,m m n α⊥⊥可能n ⊂α，所以该选项不正确；B 选项，平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，可能异面，所以该选项不正确；C 选项，根据面面平行的性质，说法正确；D 选项，当两个平面相交，m α⊂且平行于交线，也满足//m β，m α⊂，所以不能推出面面平行. 故选：C 【点睛】此题考查空间点线面位置关系的辨析，根据已知条件判断线面平行，线线平行和面面平行，关键在于熟练掌握相关定理公理.5．已知sin 322πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．3 B ．3-C ．12D ．-12【答案】C 【解析】因为=2[]3232πππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭， 所以221cos 2cos []12sin 13232322πππαπαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---=--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C.6．右图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率的程序框图，则图中空白框内应填入（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：程序执行的过程是如果 输入的成绩不小于60分即及格，就把变量的值增加1，即变量为成绩及格的人数，否则，由变量统计不及格的人数，但总人数由变量进行统计，不超过500就继续输入成绩，直到输入完500个成绩停止循环，输出变量，变量代表的含义为及格详细地址，也就是【考点】程序框图.7．下图是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）A．1 12B．16C．13D．12【答案】B【解析】借助正方体，根据三视图还原几何体，根据体积公式求解体积.【详解】根据三视图，借助棱长为1的正方体，还原其几何体为图中11D A BB-，其中平面11A BB即为观察正面：所以该几何体的体积11111111326D A BBV-=⨯⨯⨯⨯=故选：B【点睛】此题考查三视图，根据三视图求几何体的体积，关键在于准确还原几何体，常借助正方体还原几何体.8．设不等式组2201x yx yx-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域为w，则（）A ．w 的面积是92B ．w 内的点到x 轴的距离有最大值C ．点(,)A x y 在w 内时，22yx <+ D ．若点00(,)p x y w ∈，则002x y +≠【答案】C【解析】画出可行域，通过求出可行域的面积、可行域内点到x 轴的距离、可行域内点和()2,0-连线的斜率的范围、通过特殊点判断00x y +的值是否为2，根据四个结果判断四个选项的正误. 【详解】画出可行域如下图所示：有图可知，可行域面积是无限大的，可行域内的点到x 轴的距离也是没有最大值的，故,A B 两个选项错误.注意到()1,1在可行域内，而112+=，故D 选项错误.有图可知，可行域内的点和()2,0-连线的斜率比22y x =+的斜率要小，故C 选项正确.所以选C.【点睛】本小题主要考查线性规划的问题，考查方向有可行域的面积，点到直线的距离，两点连线的斜率还有特殊点等几个方向.属于基础题.9．已知2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】D【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解. 【详解】解：因为22103331111013244a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<==<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，33log log 31c π=>=，所以a ，b ，c 的大小关系为c b a >>. 故选：D. 【点睛】本题考查三个数的大小比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，属于基础题.10．函数()y f x =的定义域为R ，且()()()x f x f x a ϕ=-+，对任意0a <，()x ϕ在R 上是增函数，则函数()y f x =的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】对于四个选项，举出对应的具体函数()f x ，然后利用函数的单调性验证()x ϕ是否在R 上递增，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，取()2xf x =，则()()22222122xx ax a x a x x ϕ+=-=-⋅=-⋅，由于0a <，故120a ->，故()()122axx ϕ=-⋅为增函数，符合题意.对于B 选项，取()122xf x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()11111122222x a x a x x ϕ⎛⎫=-+⋅=-⋅ ⎪⎝⎭，由于10,102a a -，故()11122a xx ϕ⎛⎫=-⋅⎪⎝⎭为减函数，不符合题意.对于C 选项，取()3f x x =，则()()332233x x x a ax a x a ϕ=-+=---，这是一个开口向上的二次函数，在对称轴两侧单调性相反，不符合题意.对于D 选项，取()f x x =，则()x a ϕ=-，是常数函数，不符合题意.综上所述，选A.【点睛】本小题考查函数的图像与性质，考查利用特殊值法解选择题，考查了函数单调性.属于中档题.11．双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作一条直线与两条渐近线分别相交于,A B 两点，若112F B F A =u u u v u u u v，122F F OB =，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】C 【解析】【详解】如图所示，连接2F B ，又由122F F OB =，且O 为12F F 的中点，所以01290F BF ∆=，因为112F B F A=u u u v u u u v，即112F B F A =u u u v u u u v ，所以A 为线段1F B 的中点， 又由于O 为12F F 的中点，所以2//OA F B ，所以1OA F B ⊥，所以1AOF AOB ∠=∠， 又由直线OA 与OB 是双曲线的两条渐近线，则12AOF BOF ∠=∠，所以0260BOF ∠=，则2tan 3bBOF a=∠=， 所以双曲线的离心率为21()2c be a a==+=，故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答本题的关键在于将问题的几何要素进行合理转化，得到,a b 的关系式，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.12．已知函数()()()2ln 110f x a x a x a =+-+<，在函数()f x 图象上任取两点,A B ，若直线AB 的斜率的绝对值都不小于5，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),0-?B ．2,4⎛--∞ ⎝⎦C ．,⎛-∞ ⎝⎦D ．2,04⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】求出导函数得该函数在定义域内单调递减，将问题转化为()()5g x f x x =+在()0,∞+上单调递减求参数的取值范围.【详解】()()221'0a x af x x-+=<，在()0,∞+单调递减()()()()12112212,,,,5f x f x A x y B x y x x -≥-设120x x >>，则()()112255f x x f x x +≤+ 设()()5g x f x x =+，则()g x 在()0,∞+上单调递减则()()2215'0a x x ag x x-++=≤对()0,x ∈+∞恒成立则()22150a x x a -++≤对()0,x ∈+∞恒成立，因为0a <，()5041a ->-则0∆≤，即288250a a --≥解得a ≤或a ≥，又0a <，所以a ≤. 故选：B 【点睛】此题考查根据不等式恒成立求参数的取值范围，关键在于熟练掌握利用导函数讨论函数单调性解决恒成立问题，涉及转化与化归思想.二、填空题13．已知()525012531x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则135a a a ++=__________【答案】528【解析】设()()525012531f x x a a x a x a x =-=+++⋅⋅⋅+，()()()135112a a f a f -+=+-，即可得解.【详解】由题：设()()525012531f x x a a x a x a x =-=+++⋅⋅⋅+()()5012513132f a a a a =-=+++⋅⋅⋅+=， ()()550123451314f a a a a a a -=--=-+-+-=-()()()15351123241056a a a f f ++--==+=所以135a a a ++=528 故答案为：528 【点睛】此题考查求二项式展开式的系数关系，关键在于整体考虑，利用特殊值处理求解系数之和.14．已知P 是抛物线24y x =上的动点，(A ，若点P 到y 轴的距离为1d ，点P 到点A 的距离为2d ，则12d d +的最小值是__________. 【答案】3【解析】根据抛物线的几何性质P 到1x =-的距离为11d d PF =+=，121d d PA PF +=+-，即可求得最小值的情况.【详解】抛物线24y x =的准线方程为1x =-，焦点坐标()1,0FP 到1x =-的距离为11d d PF =+=，所以121d d PA PF +=+-，其最小值为113AF -==， 当P 为AF 与抛物线交点时取得最小值. 故答案为：3 【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质关系求解抛物线相关的距离之和的最值问题，关键在于熟练掌握抛物线的几何性质，等价转化求解.15．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)0f =，且()f x 的导函数()f x '满足()10f x '+<，则不等式(ln )ln 1f x x +>的解集为____________．（结果用区间．．表示） 【答案】()0,e【解析】构造函数()()h x f x x =+，求导后利用已知条件得到函数()h x 的单调性，由此求得不等式()ln ln 1f x x +>的解集. 【详解】构造函数()()h x f x x =+，依题意可知()()10h x f x '+'=<，故函数()h x 在R 上单调递减，且()()1111h f =+=，故不等式()ln ln 1f x x +>可变为()()ln 1h x h >，即ln 1x <，解得()0,x e ∈.【点睛】本小题主要考查利用函数导数求解不等式，考查构造函数法，属于中档题.在阅读题目过程中，()1f 提供一个函数值，()10f x '+<给的是函数导数小于零，这个可以说明一个函数是递减函数，由此可以考虑构造函数()()h x f x x =+，因为()()10h x f x '+'=<，就可以把已知和求串联起来了.16．如图点P 是正方体1111ABCD A B C D -外的一点，过点P 作直线l ，记直线l 与直线1,AC BC 的夹角分别为12,θθ，若()()121sin 50cos 1402θθ︒︒-=-=，则满足条件的直线l 有________条.【答案】4【解析】求出1280θθ==︒，将问题转化为求过某点作直线与已知两直线夹角相等的直线条数. 【详解】由题直线l 与直线1,AC BC 的夹角分别为12,0,2πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()()121sin 50cos 1402θθ︒︒-=-=，所以1280θθ==︒ 直线1,AC BC 的夹角等于11AC B ∠记为θ，11tan tan 2,4560AC B θθ=∠=︒<<︒， 将直线1,AC BC 平移至过P ，如图所示，4560,22.530,609067.522θθθ︒<<︒︒<<︒︒<︒-<︒则过点P 作两条角平分线与两条直线的夹角均小于80°，所以满足题意的直线共四条，在经过角平分线且垂直于该平面内的两个平面内各两条. 故答案为：4 【点睛】此题考查异面直线夹角问题，关键在于根据题意求出1280θθ==︒，通过平移直线求满足夹角关系的直线数.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C ，的对边分别为,,a b c ，且sin 3cos c A a C =（1）求角C 的值（2）若23,6ABC S a b ∆=+=，求c 的值 【答案】（1）3C π=（2）23c =【解析】（1）利用正弦定理原式化为sin sin 3cos C A A C =，即可得解；（2）根据面积公式得8ab =，结合余弦定理变形()2222cos c a b ab ab C =+--即可求解. 【详解】（1）在ABC ∆中，sin cos c A C =∴结合正弦定理得sin sin cos C A A C =0A π<<Q sin 0A ∴>又cos 0C ≠Q ，tan 3C C π∴=∴=()23ABC S C π∆==Q1sin 2ab C ∴=8ab ∴=又6a b +=2222cos c a b ab C ∴=+-()222cos a b ab ab C =+--3616812.=--=c ∴=【点睛】此题考查利用正余弦定理解三角形，涉及三角形面积公式的应用，关键在于熟练掌握定理公式及其变形的应用.18．现有甲、乙两种不同规格的产品，其质量按测试指标分数进行划分，其中分数不小于82分的为合格品，否则为次品.现随机抽取两种产品各100件进行检测，其结果如下：（1）根据以上数据，完成下边的22⨯列联表，并判断是否有95%的有把握认为两种产品的质量有明显差异？（2）已知生产1件甲产品，若为合格品，则可盈利40元，若为次品，则亏损5元；生产1件乙产品，若为合格品，则可盈利50元，若为次品，则亏损10元.记X为生产1件甲产品和1件乙产品所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望（将产品的合格率作为抽检一件这种产品为合格品的概率）参考公式：()()()()()()22n ad bcK n a b c da b c d a c b d-===+++ ++++【答案】（1）填表见解析；没有95%的有把握认为两种产品的质量有明显差异（2）详见解析【解析】（1）根据已知数据得出加甲乙产品数和合格品与次品数，根据公式计算2K并下结论；（2）随机变量X可能取值90,45,30,15-，分别计算概率并写出分布列，计算相关期望.【详解】（1）列联表如下：()22200802575200.717 3.84110010015545K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯∴没有95%的有把握认为两种产品的质量有明显差异()2依题意，生产一件甲，乙产品为合格品的概率分别为43,54随机变量X 可能取值90,45,30,15-()43390545P X ==⨯=()133455420P X ==⨯=()41130545P X ==⨯=()111155420P X =-=⨯=X 的分布列为：()33119045301566520520E X ∴=⨯+⨯+⨯-⨯=【点睛】此题考查独立性检验和随机变量及其分布，根据已知数据完善列联表，计算2K ，离散型随机变量及其分布列的问题关键在于准确找出随机变量可能的取值，并准确求出其概率，根据公式计算期望.19．如图所示的多面体中，底面ABCD 为正方形，GAD ∆为等边三角形，BF ⊥平面ABCD ，90GDC ︒∠＝，点E 是线段GC 上除两端点外的一点.（1）若点P 为线段GD 的中点，证明：AP ⊥平面GCD ； （2）若二面角B DE C －－的余弦值为77，试通过计算说明点E 的位置. 【答案】（1）证明见解析（2）E 为线段GC 的中点，详见解析 【解析】（1）通过证明AP GD ⊥，,CD AP ⊥即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决二面角相关探索问题. 【详解】（1）因为GAD ∆是等边三角形，点P 为线段CD 的中点， 故,AP GD ⊥因为,AD CD GD CD ⊥⊥，且AD GD D ⋂=，故CD ⊥平面GAD 又AP ⊂平面GAD ， 故,CD AP ⊥ 又CD GD D ⋂=， 故AP ⊥平面GCD .()2取AD 的中点O ，以OA 所在直线为x 轴，过O 点作平行于AB 的直线为y 轴，OG 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2AD =，则(()3,1,2,0G C -故(1,2,GC =-u u u r设()(),2,01GE GC λλλλ==-<<u u u r u u u r故(),2E λλ=-又()()()1,2,0,1,0,0,1,2,0B D C --故()1,2DE λλ=-u u u r，()2,2,0BD =--u u u r设(,,)m x y z =u r为平面BDE 的法向量，则·0·0m DE m BD ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v 故())120x y z x y λλ⎧-++=⎪⎨+=⎪⎩令1x =，故1,y z =-=故1,m ⎛=- ⎝u r 为平面BDE 的一个法向量.由()1可知，32AP ⎛=- ⎝⎭u u u r 为平面DEC 的一个法向量，故cos ,m AP =u r u u u r，=，令311t λλ-=-=214130,113t t t -+==或，解得1728λ=或，经检验知12λ=，此时点E 为线段GC 的中点 【点睛】此题考查证明线面垂直，根据二面角的大小求点的位置，关键在于熟练掌握判定定理，合理使用向量法求解二面角相关问题.20．设1F 、2F 分别是椭圆222:14x y E b +=的左、右焦点.若P 是该椭圆上的一个动点，12PF PF u u u v u u u u vg 的最大值为1.（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线:1l x ky =-与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=;（2）11(,)22-.【解析】（1）由标准方程可得()1F，)2F ，设(),P x y ，则可得222121244b PF PF x b ⎛⎫⋅=-+- ⎪⎝⎭u u u v u u u u v ，结合12PF PF ⋅u u u v u u u u v有最大值1，得22114244b b ⎛⎫=-⨯+- ⎪⎝⎭，解得21b =，从而可得结果；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由22114x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224230k y ky +--=，根据平面向量数量积公式结合AOB ∠为锐角，利用韦达定理可得221404k OA OB k-⋅=>+u u u v u u u v ，从而可得结果. 【详解】（1）易知2a =，c ，24b <所以()1F，)2F ，设(),P x y ，则()12,PF PF x y ⋅=-u u u v u u u u v，)22222222222,4412444b x b x y x y b x b b x b ⎛⎫--=+-+=+--+=-+- ⎪⎝⎭因为[]2,2x ∈-，故当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅u u u v u u u u v有最大值1，即22114244b b ⎛⎫=-⨯+- ⎪⎝⎭，解得21b =故所求的椭圆方程为2214x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由22114x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得 ()224230ky ky +--=，故12224k y y k +=+，12234y y k -⋅=+. ()()222212416480k k k ∆=++=+>又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>u u u v u u u v，∴12120OA OB x x y y ⋅=+>u u u v u u u v又()()()212121212111x x ky ky k y y k y y =--=-++∴()()()222121212122232111144k x x y y ky yk y y kk k-+=+-++=+⋅-+++ 222222332414044k k k k k k---++-==>++， ∴214k <，解得1122k -<<∴k 的取值范围是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】点睛：求参数取值范围常用的方法和思路：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，可列出相应的不等式组，再通过解不等式确定参数范围;②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决. 21．已知函数2()8ln ().f x x x a x a R =-+∈（1）当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点； （2）当函数()f x 有两个极值点1212,(),x x x x <且11x ≠时，总有21111ln (43)1a x t x x x >+--成立，求t 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）6a =，1x =为极大值点（Ⅱ）1t ≤-.【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出a 的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（Ⅱ）求出函数极值点，问题转化为111x x -[2lnx 1211(1)t x x -+]＞0，根据0＜x 1＜1时，111x x -＞0.1＜x 1＜2时，111x x -＜0．即h （x ）＝2lnx 2(1)t x x-+（0＜x ＜2），通过讨论t 的范围求出函数的单调性，从而确定t 的范围即可． 【详解】（Ⅰ）()228(0)x x a f x x x-+=>'，()10f '=，则6a =从而()()()213(0)x x f x x x--=>'，所以()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数； ()1,3x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，所以1x =为极大值点.（Ⅱ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，有两个极值点1x ，212()x x x <，则()2280t x x x a =-+=在()0,+∞上有两个不等的正实根，所以08a <<，由12121242x x a x x x x +=⎧⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩可得()1110224x a x x <<⎧⎨=-⎩ 从而问题转化为在102x <<，且11x ≠时()21111ln 431a x t x x x >+--成立. 即证()()111211124ln 431x x x t x x x ->+--成立.即证()11112ln 11x x t x x >+- 即证()11112ln 101x xt x x -+>-亦即证()21111112ln 01t x x x x x ⎡⎤-⎢⎥+>-⎢⎥⎣⎦. ①令()()212ln (02)t x h x x x x-=+<<则()222(02)txx th x x x++<<'= 1)当0t ≥时，()0h x '>，则()h x 在()0,2上为增函数且()10h =，①式在()1,2上不成立.2)当0t <时，244t ∆=-若0∆≤，即1t ≤-时，()0h x '≤，所以()h x 在()0,2上为减函数且()10h =，111x x -、()211112ln t x x x -+在区间()0,1及()1,2上同号，故①式成立. 若0∆>，即10t -<<时，22y tx x t =++的对称轴11x t=->，令1min ,2a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则1x a <<时，()0h x >，不合题意. 综上可知：1t ≤-满足题意. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=．()1判断直线l 与圆C 的交点个数；()2若圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度．【答案】()()1?22?2 【解析】（1）先求出直线的普通方程，再求出圆的直角坐标方程，由于圆心()0,1在直线l 上，所以直线l 与圆C 的交点个数为2．（2）直接求圆的半径和直径得解. 【详解】()1∵直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． ∴消去参数t 得直线l10y +-=， ∵圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，∴由222x y ρ=+，sin y ρθ=，得圆C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．∵圆心()0,1在直线l 上，∴直线l 与圆C 的交点个数为2．()2由()1知圆心()0,1在直线l 上，∴AB 为圆C 的直径，∵圆C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．∴圆C 的半径1r ==，∴圆C 的直径为2，∴2AB =． 【点睛】(1)本题主要考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式||AB =求解.但是本题由于圆心在直线上，所以弦长就是直径.23．已知函数()53f x x x =--+.（1）解关于x 的不等式()1f x x +≥；（2）记函数()f x 的最大值为m ，若440,0,a b ab m a b e e e ->>⋅=，求ab 的最小值.【答案】（1）1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）4 【解析】分析：（1）通过讨论x 的范围，解不等式，求出不等式的解集即可；（2）根据a ＞0，b ＞0，得到）2）≥0．解出即可．详解：解：(1)当3x ≤-时，由531x x x -++≥+，得7x ≤，所以3x ≤-；当35x -<<时，由531x x x ---≥+ ，得13x ≤， 所以133x -<≤； 当5x ≥时，由531x x x ---≥+ ，得9x ≤-，无解. 综上可知，13x ≤，即不等式()1f x x ≥+的解集为1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. (2)因为53538x x x x --+≤---=，所以函数()f x 的最大值8m =.因为448·a b ab e e e -=，所以448a b ab +=-.又0,0a b >>，所以4a b +≥=所以480ab --，即20ab -≥.所以有)120≥.0>2,4ab ≥≥，即ab 的最小值为4.点睛：|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )(c ＞0)，|x －a |－|x －b |≤c (或≤c )(c ＞0)型不等式的解法， 零点分区间法的一般步骤①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集； ④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．。