精心整理精心整理三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

【常见辅助线的作法有以下几种】123456、71解:∴∆∵即2∴41 AD2、如图，ABC ∆中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DF DE ⊥，D 是中点，试比较CF BE +与EF 的大小。

证明：延长FD 到点G ，使DF DG =，连接BG 、EG ∵CD BD =，DG FD =，CDF BDG ∠=∠ ∴CDF BDG ∆≅∆∴CF BG =EFECABD图1C图2∵DF DE ⊥∴EG EF =在BEG ∆中，EG BG BE + ∵CF BG =，EG EF = ∴EF CF BE +3、如图，ABC ∆中，AC DC BD ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠. 证明方法一：利用相似论证。

证明：∵AC DC BD == ∴∵E ∴∴∴∵∴∴∴即∴∴∴∴∴即AD 平分BAE ∠4、以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，︒=∠=∠90CAE BAD ，连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点。

探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系。

（1）如图1当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是，线段AM 与DE 的数量关系是； （2）将图1中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ（︒︒︒900 θ）后，如图2所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由。

精心整理∵AD 平分BAC ∠ ∴CAD BAD ∠=∠ 在ADC ∆和ADM ∆中AM AC =，CAD BAD ∠=∠，AD AD = ∴ADC ADM ∆≅∆∴︒=∠=∠90ADM ACD 即:AC CD ⊥6、如图，BD AC //，EA ，EB 分别平分CAB ∠，DBA ∠，CD 过点E ，求证：BD AC AB +=精心整理证明：在AB 上截取AC AF =，连接EF在CAE ∆和FAE ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE CAE AF AC ∴∴∴即在∴∴∴7，BQ 分别是∠∵∴∴又∴在AP ∴∴即∴8、如图，在四边形ABCD 中，BA BC ，CD AD =，BD 平分ABC ∠. 求证：︒=∠+∠180C A解：过点D 作BC DE ⊥于E ，过点D 作AB DF ⊥交BA 的延长线于F ∵BD 平分ABC ∠∴DF DE =，︒=∠=∠90DEB F在CDE Rt ∆和ADF Rt ∆中 ∴≅∆CDE Rt ADF Rt ∆（HL ） ∴C FAD ∠=∠∴︒=∠+∠=∠+∠180FAD BAD C BAD EFDC A B精心整理9、如图，在ABC ∆中，AC AB ，CAD BAD ∠=∠，P 为AD 上任意一点。

求证：PC PB AC AB --判断AE AD +与BC 的关系并证明你的结论。

周长记为B P .求证：A B P P .证明：延长BA 到F ，使AC AF =,连接EF ∵AD 为ABC ∆的角平分线 ∴CAD BAD ∠=∠ ∵AD MN ⊥∴CAE CAD BAD FAE ∠=∠-︒=∠-︒=∠9090 ∵AC AF =，AE AE = ∴ACE AFE ∆≅∆ ∴EC EF = FNMD EACB精心整理∵BF EF BE +∴AC AB AF AB EC BE +=++∴BC+BE+CE>AB+AC+BC BC AC AB BC EC BE ++++ ∴ABC ∆的周长小于EBC ∆的周长，即A B P P12、已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是； （2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明解：（1（2易证△∴ED =∵AB =∴∠2=∴∠∵∠∴∠=360°∴∠8=又AD =∴∠∵MF =13、如图，已知在ABC ∆中，︒=∠60B ，ABC ∆的角平分线AD ，CE 相交于点O . 求证：OD OE =证明：在AC 上取点F ，使AE AF =，连接OF ∵AD 是A ∠的平分线 ∴FAO EAO ∠=∠ ∵AO AO = ∴AFO AEO ∆≅∆∴FO EO =，AOF AOE ∠=∠ ∵CE 是C ∠的平分线 FODEAB E9精心整理O P AMNEBCD FACEFB D图①图②图③ ∴FCO DCO ∠=∠∵︒=∠60B∴︒=∠+∠120ACB BAC∴=∠+∠=∠OCA CAO COD ()︒=∠+∠6021ACB BAC ∴︒=︒-︒-︒=∠-∠-︒=∠606060180180AOF COD COF ∴COD COF ∠=∠ ∵OC OC =∴OCF OCD ∆≅∆ ∴OF OD =∴14F .（1）说明BE （1∵∴∵∴∴∴（2∴∴∴∴∴a 15（1）如图②，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，︒=∠60B ，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F 。

请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图③，在ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

解：（1）FE 与FD 之间的数量关系为FD FE =（2）答：（1）中的结论FD FE =仍然成立。

精心整理证法一：如图1，在AC 上截取AE AG =，连结FG ∵21∠=∠，AF 为公共边， ∴AGF AEF ∆≅∆∴AFG AFE ∠=∠，FG FE =∵∴∴∴∵∴∴∴∵∴∴∴16的度数。

∴∴∴∴17、。

（1）当MDN ∠绕点D 转动时，求证：DF DE =； （2）若2=AB ，求四边形DECF 的面积。

分析：（1）连CD ，根据等腰直角三角形的性质得到CD 平分ACB ∠，AB CD ⊥，︒=∠45A ，DA CD =，则︒=∠45BCD ，︒=∠90CDA ，由DN DM ⊥得︒=∠90EDF ，根据等角的余角相等得到ADF CDE ∠=∠，根据全等三角形的判定易得ADF DCE ∆≅∆，即可得到结论；（2）由ADF DCE ∆≅∆，则ADF DCE S S ∆∆=，于是四边形DECF 的面积ACD S ∆=，由而2=AB 可得1==DA CD ，根据三角形的面积公式易求得ACD S ∆，从而得到四边形DECF 的面积。

解：（1）连CD ，如图，∵D 为等腰ABC Rt ∆斜边AB 的中点精心整理图1A B CDE FM N AB CDE FM N图2FE ANDCB 图3∴CD 平分ACB ∠，AB CD ⊥，︒=∠45A ，DA CD =∴︒=∠45BCD ，︒=∠90CDA ∵DN DM ⊥ ∴︒=∠90EDF ∴ADF CDE ∠=∠ 在∴∴（2∴S 而∴性质。

18D 为顶∴∵∴∴在∴∴∴6=+=++=++AC AB AN BM NC MN AN AM ∴AMN ∆的周长为619、已知四边形ABCD 中，AD AB ⊥，CD BC ⊥，BC AB =，︒=∠120ABC ，︒=∠60MBN ，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当MBN ∠绕B 点旋转到CF AE =时（如图1），易证EF CF AE =+．（2）当MBN ∠绕B 点旋转到CF AE ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE 、CF 、EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。

解：（1）∵AD AB ⊥，精心整理CD BC ⊥，BC AB =，CF AE =∴CBF ABE ∆≅∆（SAS ）； ∴CBF ABE ∠=∠，BF BE = ∵︒=∠120ABC ，︒=∠60MBN∴︒=∠=∠30CBF ABE ，BEF ∆为等边三角形 ∴BF EF BE ==，BE AE CF 21==∴EF BE CF AE ==+（2）图2成立，图3不成立。

证明图2，延长DC 至点K ，使AE CK =，连接BK 则∴∵∴∴∴∴∴∴图20的两侧。

（1（2AB ，可得PAD ≅∆于G ，在Rt ∆P D F 中，（2）将P A D ∆绕点A 顺时针旋转︒90，得到AB P '∆，PD 的最大值即为B P '的最大值，故当P '、P 、B 三点共线时，B P '取得最大值，根据PB P P B P +'='可求B P '的最大值，此时︒='∠-︒=∠135180P AP APB ．解：（1）①如图，作PB AE ⊥于点E∵PAE Rt ∆中，︒=∠45APB ，2=PA ∴()1222===PE AE∵4=PB ∴3=-=PE PB BE EPADCB图1N M AD CB 图2N M AD CB图3NMA CB在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB∴1022=+=BE AE AB②解法一：如图，因为四边形ABCD 为正方形，可将将PAD ∆绕点A 顺时针旋转︒90得到AB P '∆，，可得AB P PAD '∆≅∆，B P PD '=，A P PA '=∴︒='∠90P PA ，︒='∠45P AP ，︒='∠90PB P ∴2='P P ，2=PA∴52422222=+=+'='=PB P P B P PD ；于G ． 在在在（2 ∵此='P P B P 6此时=∠APB 21、︒=60，=∠BDC 关系及（1）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DN DM =时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是；__________=LQ； 此时（2）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DN DM ≠时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；P ′PA CBDEC（3）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若x AN =，则_____=Q （用x 、L 表示）．分析：（1）如果DN DM =，DNM DMN ∠=∠，因为DC BD =，那么︒=∠=∠30DCB DBC ，也就有︒=︒+︒=∠=∠903060NCD MBD ，直角三角形MBD 、NCD 中，因为DC BD =，DN DM =，根据HL 定理，两三角形全等。