密云区2021-2022度第一学期期末高一数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}1013M =-，，，，{}13N =-，，则集合M N ⋂中元素的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】直接根据交集的定义计算即可； 【详解】解：{}1013M =-，，，，{}13N =-，{}1M N ∴⋂=故选：B【点睛】本题考查集合的运算，集合中元素个数的求法，属于基础题. 2.函数cos 2y x =的最小正周期为（ ） A.2πB. πC. 2πD. 4π【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦型函数最小正周期的求法即可求得结果. 【详解】cos 2y x =最小正周期22T ππ== 故选：B【点睛】本题考查余弦型函数最小正周期的求解，属于基础题. 3.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的是（ ） A. 2xy = B. 3y x =C. cos y x =D. ||y ln x =【答案】D【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，2xy =，为指数函数，其定义域为R ，不是偶函数，不符合题意； 对于B ，3y x =，为幂函数，是奇函数，不符合题意；对于C ，cos y x =，为偶函数，在(0,)+∞不是增函数，不符合题意；对于D ，,0(),0lnx x y ln x ln x x ⎧==⎨-<⎩，为偶函数，且当0x >时，y lnx =，为增函数，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4.命题“20,560x x x ∀<-+->”的否定为（ ） A. 20,560x x x ∀<-+-< B. 20,560x x x ∀<-+-≤ C. 20000,560x x x ∃<-+-≤ D. 20000,560x x x ∃<-+-<【答案】C 【解析】 分析】根据全称命题的否定为特称命题解答即可；【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，则命题20:0,56x x p x ∀<-+->的否定为20000,560x x x ∃<-+-≤，故选：C ．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．5.已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x1 2 3 4()f x6.1-2.9 -3.5 -1那么函数()f x 一定存在零点的区间是（ ） A. (1,2) B. (2,3)C. (3,4)D. (4,+)∞【答案】A 【解析】 【分析】利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．【详解】解：因为函数()f x 是定义在R 上的连续函数，且()10f >，()20f <， 根据函数零点的存在定理可知故函数()f x 在区间()1,2内存在零点． 故选：A ．【点睛】本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区间的端点函数值异号，属于基础题．6.函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象（ ）A. 先向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B. 先向左平移π3个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）C. 每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移π3个单位 D. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位【答案】A 【解析】 【分析】由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】解：根据函数()f x 的图象，设()sin()f x A x ωϕ=+， 可得2A =，122236πππω=-，2ω∴=． 再根据五点法作图可得206πϕ⨯+=，3ϕπ∴=-，()sin()f x x π=-223，故可以把函数()f x 的图象先向左平移6π个单位，得到2sin(2)2sin 233y x x ππ=+-=的图象， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到2sin y x =函数的图象， 故选：A ．【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值．sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题． 7.定义域均为R 的两个函数()f x ，()g x ，“()()f x g x +为偶函数”是“()f x ，()g x 均为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由函数()f x ，()g x 定义在R 上，令()()()h x f x g x =+，则()()()h x f x g x =+的定义域也为R ，关于原点对称，只要看()h x -与()h x 的关系即可得出()h x 为偶函数，反之，通过举反例可得出非充分条件．【详解】解：令()()()h x f x g x =+，由()f x ，()g x 均为偶函数，则x ∈R ，()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-+-=+=，故()h x 是偶函数，即必要性成立；反之，设2()f x x x =+，()2g x x =-，()2()()2h x f x g x x =+=+是偶函数，而()f x ，()g x 均不是偶函数，故充分性不成立；则“()()f x g x +为偶函数”是“()f x ，()g x 均为偶函数”的必要不充分条件． 故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，充要条件的判定，其中根据“谁推出谁”的原则，求解充要条件，是解答本题的关键，属于基础题． 8.已知函数22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++的取值范围为（ ）A. (0,+)∞B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. (1,+)∞【答案】B 【解析】 【分析】由题意作函数()y f x =与y m =的图象，从而可得122x x +=-，240log 2x <，341x x =，从而得解【详解】解：因为22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，，可作函数图象如下所示： 依题意关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,即函数()y f x =与y m =的图象有四个不同的交点，由图可知令1234110122x x x x <-<<<<<<<，则122x x +=-，2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，所以341x x =，则341x x =，()41,2x ∈所以12344412x x x x x x +++=-++，()41,2x ∈ 因1y x x =+，在()1,2x ∈上单调递增，所以52,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即44152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭1234441120,2x x x x x x ⎛⎫∴+++=-++∈ ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.0132127log 45⎛⎫++ ⎪⎝⎭=________________．【答案】6 【解析】 分析】根据对数的运算及分数指数幂的运算法则计算可得；【详解】解：()0111332333222127log 431log 2312log 231265⨯⎛⎫++++++=++= ⎪⎝⎭==故答案为：6【点睛】本题考查对数及分数指数幂的运算，属于基础题. 10.函数()420y x x x=++>的最小值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用基本不等式0,0)2a ba b +≥>>即可求解. 【详解】解:0x ，∴函数4222226y x x =++≥=⨯+= 当且仅当40x x x=>，，即2x =时，上式取等号. 故答案为: 6.【点睛】本题主要考查基本不等式，利用基本不等式的条件是“一正、二定、三相等”，属于基础题. 11.函数1tan()34y x π=-的定义域是_______________． 【答案】3{|,}4x x k k Z ππ≠+∈ 【解析】 【分析】 由42x k πππ-≠+()k Z ∈解不等式可得函数的定义域．【详解】解：由42x k πππ-≠+，()k Z ∈，可解得34x k ππ≠+，()k Z ∈， ∴函数1tan()34y x π=-的定义域为3|,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， 故答案为：3|,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查正切函数的定义域，属于基础题．12.给出下列三个论断：①a b >；②11a b<；③0a <且0b <. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题：__________． 【答案】①③推出②，②③推出① 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可得． 【详解】解：由①a b >；②11a b<；③0a <且0b <. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题：（1）若a b >，0a <且0b <，则11a b <；或（2）若11a b<，0a <且0b <，则a b >； 对于（1）若0a <且0b <，则0ab >，由不等式的性质可得a b ab ab >即11a b <； 对于（2）若0a <且0b <，则0ab >，由不等式的性质可得11ab ab a b⨯<⨯即b a <；故答案为：①③推出②，②③推出①【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 13.若函数21()=2x x k f x k⋅-+为奇函数，则=k __________．【答案】±1 【解析】 【分析】由函数()f x 为在定义域上为奇函数，则必有()()f x f x -=-，然后利用待定系数法求解． 【详解】解：函数21()=2x x k f x k⋅-+为奇函数()()f x f x ∴-=-∴211222x x x x kk k k --⋅⋅=-+--+22(1)(2)01x k ∴+-⎤⎣⎦=⎡210k ∴-=1k ∴=±当1k =时，21()=21x x f x -+，定义域为R ，且2112()=()2121x xx x f x f x -----==-++为奇函数，满足条件；当1k=-时，21()=21x x f x ---，定义域为{}|0x x ≠，且2112()=()2121x xxx f x f x ----+-==---为奇函数，满足条件；故答案为：±1．【点睛】本题主要考查奇偶性的定义的应用，要注意判断和应用的区别，判断时一定要从两个方面，一是定义域是否关于原点对称，二是模型是否满足()()f x f x -=-．应用时，已经知道奇偶性了，则对于定义域中任一变量都满足模型，做大题时用待定系数法求参数，做客观题时可用特殊值求解，属于基础题．14.里氏震级M 的计算公式为：M=lgA ﹣lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A 0为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍． 【答案】6，10000 【解析】【详解】试题分析：根据题意中的假设，可得M=lgA ﹣lgA 0=lg1000﹣lg0.001=6；设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ，9=lgx+3，5=lgy+3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍．解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M=lgA ﹣lgA 0=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6． 设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ， 9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102，∴62101000010x y ==． 故答案耿：6，10000．点评：本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.已知集合{}|23M x x =-<≤，{}|N x x a =≤． （1）当1a =-时，求M N ⋂，M N ⋃；（2）当4a =时，求M N ⋂，M N ⋃； （3）当=MN ∅时，求a 的范围．【答案】（1）{}|21MN x x =-<≤-，{}|3M N x x =≤； （2）{}|23MN x x =-<≤，{}|4M N x x =≤； （3）{|2}a a ≤-【解析】 【分析】（1）首先求出集合N ，再根据交集、并集的定义计算即可； （2）首先求出集合N ，再根据交集、并集的定义计算即可；（3）由M N ⋂=∅，即M 与N 无公共部分，从而求出参数的取值范围； 【详解】解：（1）当1a =-时，{|1}N x x =≤-， 所以{}|21MN x x =-<≤-，{}|3M N x x =≤ .（2）当4a =时，{|4}N x x =≤， 所以{}|23MN x x =-<≤，{}|4M N x x =≤ .（3）因为M N ⋂=∅， 所以a 的范围是{|2}a a ≤-.【点睛】本题考查集合的运算及集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题. 16.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为43(,)55P -．（1）求cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭和sin 2α的值； （2）求3sin 2cos 5cos 3sin αααα-+的值．【答案】（1）2425- （2）1711- 【解析】 【分析】（1）由任意角的三角函数的定义，可得3sin 5α=，4cos 5α=-，3tan 4α=-，再根据两角和的余弦公式及二倍角正弦公式计算可得；（2）利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算即可； 【详解】解：（1）根据题意3sin 5α=，4cos 5α=-，3tan 4α=-， 所以72cos()cos cossin cos44410πππααα+=-=-， 24sin 22sin cos 25ααα==-． （2） 因为3tan 4α=-， 3sin 2cos 3tan 25cos 3sin 53tan αααααα--=++332174311534⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-⎛⎫+- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式，属于基础题.17.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()4f x x x -=．现已画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，如图所示．（1）画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，根据图象写出函数()f x 在R 上的单调区间； （2）求函数()f x 在R 上的解析式； （3）解不等式()0xf x <.【答案】（1）图见解析；函数的单调增区间是()()202-+∞，，，，单调减区间是()()202-∞-，，，（2）224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩（3）()()404-∞-，，【解析】 【分析】（1）根据偶函数的对称性作出函数图象，由函数图象读出函数的单调区间； （2）当0x <时，0x ->，再根据当0x ≥时，2()4f x x x -=，可得22()(4)4()f x x x x x ---=+-=．再根据函数()f x 为偶函数，可得2()4f x x x =+，由此能求出函数()()f x x R ∈的解析式．（3）因为()0xf x <，当0x <时，()0f x >，当0x >时，()0f x <；由函数图象读出解集即可；【详解】解：（1）如图作函数图象.函数的单调增区间是：()()202-+∞，，，，单调减区间是：()()202-∞-，，，． （2）因为0x ≥时，2()4f x x x -=，若0x <，则0x ->，22()(4)4()f x x x x x ---=+-=， 又因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以，当0x <时，2()()4f x f x x x =-=+.综上：224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩．（3）因()0xf x <当0x <时，()0f x >，即4x <-；当0x >时，()0f x <，即04x <<；所以解集为：()()404-∞-，，． 【点睛】本题考查函数的图象的作法，函数的奇偶性的性质的应用，函数解析式的求法，考查运算求解能力，数形结合思想，属于基础题．18.已知函数2()cos cos f x x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调区间； （2）求函数()f x 的零点．【答案】（1）T π=；单调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈；单调递减区间为5[,]36k k ππππ++，k Z ∈； （2）6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈.【解析】 【分析】（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简为()1sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 再根据正弦函数的周期公式求出最小正周期，最后根据正弦函数的单调性求出()f x 的单调区间；（2）令1sin(2)062x π--=，即1sin(2)62x π-=，即2266x k πππ-=+或52266x k πππ-=+，k Z ∈ ，解得即可；【详解】（1）2()cos cos f x x x x =-cos 21222x x +=-1sin 262x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即()1sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. 因为sin y x =的单调增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，令222262k x k πππππ-≤-≤+，解得63k xk ππππ，k Z ∈.因为sin y x =的单调减区间为32,222k k ππππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦+，k Z ∈， 令3222262k x k πππππ-++≤≤， 解得536k x k ππππ++≤≤，k Z ∈. 所以()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.单调递减区间为5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）函数1()sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点，令1sin(2)062x π--=，即1sin(2)62x π-=.2266x k πππ-=+或52266x k πππ-=+，k Z ∈ 解得6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈所以()f x 的零点为6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 19.已知函数2()1,f x x mx m R =-++∈．（1）当0m =时，求()f x 的最大值；（2）若函数()()2h x f x x =+为偶函数，求m 的值；（3）设函数()2sin()6g x x π=+，若对任意1[1,2]x ∈，存在2[0,]x π∈，使得21()()g x f x =，求m 的取值范围．【答案】（1）1 （2）2m =- （3）[1,2] 【解析】 【分析】（1）代入m 的值，求出函数的最大值即可；（2）根据偶函数图象关于y 轴对称，二次函数的一次项系数为0，可得m 的值；（3）求解()f x 的值域M 和()g x 的值域N ，可得M N ⊆，即可求解实数m 的取值范围． 【详解】（1）当0m =时，()21f x x =-+故当0x =时，()f x 的最大值是1（2）因为函数()()()2221h x f x x x m x =+=-+++为偶函数，()()h x h x -=，所以20m +=，可得2m =-， 即实数m 的值为2-. （3）()2sin()6g x x π=+[0,]x π∈， 7,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦， 所以()g x 的值域为[1,2]-．当[]1,2x ∈时，存在2[0,]x π∈，使得21()()g x f x =，设()f x 的值域M ， 转化为：函数()f x 的值域是()g x 的值域的子集； 即：当[]1,2x ∈时，[1,2]M ⊆-函数()21f x x mx =-++，对称轴2m x =， 当12m≤时，即2m ≤，可得min ()(2)23f x f m ==-；max ()(1)f x f m ==； 2123m m --<≤≤可得：12m ≤≤；当122m <<时，即24m <<，可得2max ()()124m m f x f ==+，min ()23f x m =-或m ，显然2124m +>，不满足2124m +≤，此时无解；当22m≥时，即4m ≥，可得min ()(1)f x f m ==，max ()(2)23f x f m ==-；不满足232m -≤，此时无解；综上可得实数m 的取值范围为[]1,2【点睛】本题主要考查偶函数的性质的应用，二次函数的最值问题，存在性问题，属于中档题.．20.对于正整数集合{}()*12,,,,3n A a a a n N n =⋅⋅⋅∈≥，如果任意去掉其中一个元素()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4,5和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”（不必写过程）； （2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”； （3）若集合{}()*12,,,,3n A a a a n N n =⋅⋅⋅∈≥是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.【答案】（1）集合{}1,2,3,4,5不是“可分集合”，集合{}1,3,5,7,9,11,13是“可分集合”；（2）见解析；（3）①见解析；②最小值是7 【解析】 【分析】（1）根据定义直接判断即可得到结论；（2）不妨设12345a a a a a <<<<，若去掉的元素为2a ，则有1534a a a a +=+①，或者5134a a a a =++②；若去掉的元素为1a ，则有2534a a a a +=+③，或者5234a a a a =++④，求解四个式子可得出矛盾，从而证明结论； （3）①设集合{}12,,,n A a a a =所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,,i M a i n -=均为偶数，因此()1,2,,i a i n =均为奇数或偶数.分类讨论M 为奇数和M 为偶数的情况，分析可得集合A 中元素个数n 为奇数；②结合（1）（2）问，依次验证当3n =时，当5n =时，当7n =时集合A 是否为“可分集合”，从而证明结论.【详解】（1）集合{}1,2,3,4,5不是“可分集合”，集合{}1,3,5,7,9,11,13是“可分集合”； （2）不妨设12345a a a a a <<<<，若去掉的元素为2a ，将集合{}1345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有1534a a a a +=+①，或者5134a a a a =++②；若去掉的元素为1a ，将集合{}2345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有2534a a a a +=+③，或者5234a a a a =++④. 由①、③，得12a a =，矛盾；由①、④，得12a a =-，矛盾； 由②、③，得12a a =-，矛盾；由②、④，得12a a =，矛盾. 因此当5n =时，集合A 一定不是“可分集合”； （3）①设集合{}12,,,n A a a a =所有元素之和M .由题可知，()1,2,,i M a i n -=均为偶数，因此()1,2,,i a i n =均为奇数或偶数. 如果M 为奇数，则()1,2,,i a i n =也均为奇数，由于12n M a a a =+++，所以n 为奇数.如果M 为偶数，则()1,2,,i a i n =均为偶数，此时设2i i a b =，则{}12,,,n b b b 也是“可分集合”. 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”. 此时各项之和也为奇数，则集合A 中元素个数n 为奇数. 综上所述，集合A 中元素个数为奇数.②当3n =时，显然任意集合{}123,,a a a 不是“可分集合”.当5n =时，第（2）问已经证明集合{}12345,,,,A a a a a a =不是“可分集合”. 当7n =时，集合{}1,3,5,7,9,11,13A =，因为：3+5+7+9=11+13，1+9+13=5+7+11，9+13=1+3+7+11，1+3+5+11=7+13， 1+9+11=3+5+13，3+7+9=1+5+13，1+3+5+9=7+11， 则集合A 是“可分集合”.所以集合A 中元素个数n 的最小值是7.【点睛】本题考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力、分析能力，属于难度较高的创新题.。