四边形经典例题 （配套习题）【例题精选】：例1：如图1，已知：□ABCD 中，AE BD CF BD ⊥⊥，，垂足为E 、F ，G 、H 分别为AD 、BC 的中点，连结GE 、EH 、HF 、FG 。

求证：EF 和GH 互相平分。

证明一：AE BD G AD ⊥，为中点∴==GE GD AD 12（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∴∠=∠GED GDE （等边对等角）同理可证：HF HB BC HFB HBF ==∠=∠12，□ABCD∴∠=∠∴=∠=∠∴AD BC GDE HBFGE HF GED HFB GE HF////，，且 ∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴EF 和GH 互相平分（平行四边形的对角线互相平分） 证明二： 连结BG 、DH ，如图2□ABCD ，G 、H 分别为AD 、BC 中点∴DG BH //∴四边形BHDG 是平行四边形 ∴BD 和GH 互相平分，设BD 、GH 交于O 即OG=OH ，OB=OD 又 AB=CD∠ABE=∠CDF∠AEB=∠CFD=90︒∴≅∴=∴-=-==∆∆ABE CDF AAS BE DFOB BE OD DFOE OF OG OH （）即，又∴EF 和GH 互相平分。

小结：平行四边形问题，并不都是以求证某一个四边形为平行四边形的形式出现的。

往往更多的是求证线段相等、角相等、直线平行、线段互相平分等等。

要灵活地根据题中已知条件，以及定义、定理等。

先判定某一四边形为平行四边形，然后再应用平行四边形的性质加以证明。

当然，特殊的平行四边形也不例外。

例2：如图3，已知：菱形ABCD ，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，∠=∠=︒∠=︒B EAF BAE 6018，求：∠CEF 的度数分析：由菱形ABCD ，∠=︒B ABC 60，可得∆是等边三角形，所以∠=∠=︒BAC ACD 60，∠=︒EAF 60，得出∠BAE=∠CAF ，从而可证∆∆ABE ACF ≅，进而推出∆AEF是等边三角形，求出∠CEF 的度数。

解：连结AC ∵菱形ABCD ∴BA=BC ，∠ACB=∠ACD ∵∠=︒B 60 ∴∆ABC 是等边三角形∴∠=∠=︒=∴∠=∠=︒∠=∠=︒∴∠=∠∴≅BAC ACB AB AC ACF B EAF BAC BAE CAFABE ACF AAS 606060，（） ∆∆∴=∴∴∠=︒AE AFAEF AEF ∆是等边三角形60 ∠+∠=∠+∠∠=︒∴∠=︒AEF CEF B BAE BAE CEF 1818例3：如图4，已知：正方形ABCD ，E 、F 为AB 、BC 上两点，且EF=AE+FC 求证：∠=︒EDF 45 证明：延长BC 至G ，使CG=AE ，连结DG正方形，（）又，公用（）ABCDAD CD A DCG DAE DCG SAS ADE CDG DE DG ADC EDG EF AE FCEF CG FC FG DF EDF GDF SSS EDF GDF ∴=∠=∠=︒∴≅∴∠=∠=∠=︒∴∠=︒=+∴=+=∴≅∴∠=∠=︒90909045∆∆∆∆,小结：本题通过作辅助线使∆∆DAE DCG ≅，实际上是作一个新图形全等于原来的图形。

辅助线的作法也可以这样叙述：“把∆DAE 绕D 点按逆时针方向旋转90︒到∆DCG 的位置”可见用旋转的几何语言来叙述两个图形全等比较简洁。

把一个图形绕某一点（或某一直线）旋转多少度，是根据解题需要而变化的。

本题的目的是使线段AE 移至CG ，使AE 、FC 在同一条直线上，并且∠=︒EDG 90，从而考虑DF 平分∠EDG ，从而使问题得到解决。

故此种方法应在理解的基础上合理运用。

例4：如图5，已知：正方形ABCD ，BE ∥AC ，且AE=AC 交BC 于F 求证CF=CE分析：CF 、CE 在同一三角形中，故考虑用“等角对等边”易知∠=AEC 1802︒-∠EAC，∠CFE=∠EAC ＋∠ACF=∠EAC +︒45，从上述两个式子无法直接判断∠AEC 是否与∠CFE 相等，若能分别求出∠AEC 和∠CFE 就可以判断了，故本题关键是如何求出∠EAC 的度数。

这就要充分运用已知条件（包括题目中的隐含条件，如正方形具有的性质，对角线？）。

因此AE=AC 这个条件很重要。

因为AC 是正方形ABCD 的对角线。

证明：如图6，作EG AC ⊥于G ，连结BD 交AC 于O 。

∴⊥=BO AC BO AC ，12（正方形对角线相等，且互相垂直平分） ∴BO ∥EG （垂直于同一直线的两直线平行） 又∵BE ∥AC∴BO=EG （夹在两条平行线间的平行线段相等）∴==∴=EG AC AC AE EG AE Rt AEG 1212又，在中∆∴∠=︒EAC 30（在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30︒） ∆ACE 是等腰三角形∴∠=︒-∠=︒AEC EAC180275∵AC 是正方形ABCD 的对角线。

∴∠=︒ACB AFC 45，在中，∆ ∠=∠+∠=︒CFE EAC ACB 75（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）即（等角对等边）∠=∠∴=AEC CFE CF CE例5：已知：如图7，∆ABC AB AC 中，=，延长AB 到D ，使BD=AB ，又CE 是AB 边上的中线。

求证：CE CD =12证明一： 如图8，过点B 作BF ∥AC 交CD 于F ∵AB=BD ，AB=AC∴CF CD =12（过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边）∴BF AC AB ==1212（三角形中位线等于第三边的一半） ∵AE=EB ∴BF=BE∵∠1=∠ACB ，∠2=∠ACB ∴∠1=∠2 又BC 公用∴∆∆BEC BFC SAS ≅() ∴CE=CF即：CE CD =12证明二：如图9过点B 作BF ∥CD 交AC 于F ∵AB=BD ∴AF=FC∴BF CD =12∵AC=AB ∴AE=AF 又∠A 公用∴∆∆ACE ABF SAS ≅() ∴CE=BF即：CE CD =12证明三：如图10延长CE 至F ，使CE=EF ，连结BF 、AF 得□AFBC （对角线互相平分的四边形是平行四边形）∴∠=∠=∴∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠==∴=∴≅∴===CAB ABF AC ABACB ABCCBD A ACB CBD CBF AC BF AB BD BF BD BC CBF CBD SAS CF CDCE CFCE CD，又公用（）又即：∆∆1212小结：此题有两个中点，故可考虑用有关中点的定理。

而在应用平行线等分线段定理及推论，以及三角形，梯形中位线定理时，关键是如何找中点，构造平行线，使之符合定理使用的条件。

【专项训练】：一、填空：1、一个多边形的内角都相等，并且等于它相邻外角的2倍，这个多边形是边形。

2、平行四边形的一条对角线与一边垂直，一个内角是60︒，周长是24cm，那么它的一对邻边长分别是。

3、如图11所示为四边形、平行四边形，矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形集合示意图，则字母所代表的图形为：A为，B为，C为，D为，E为，F为，G为，H为。

4、若矩形的对称中心到两边的距离差为4cm，周长为56cm，则这个矩形的两边分别为和。

5、梯形的下底长为6cm，中位线长5cm，则上底长是。

二、选择题：1、多边形的内角和是外角和的K倍，那么这个多边形的边数是：A．K B．2K＋1 C．2K＋2 D．2K＋32、下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是：A．平行四边形 B．菱形C．等腰梯形D．直角梯形3、下列四边形各边中点连线为菱形的是：A．平行四边形 B．菱形C．矩形D．直角梯形4、下列命题中，不正确的是：A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形5、直角梯形的一腰为10cm，该腰与下底的夹角为45︒，且下底为上底长的2倍，则直角梯形的面积是：A ．75cm 2B ．100cm 2C ．1021()+cm 2D ．10221()+cm 2三、证明：1、已知：如图12，E 、F 为∆ABC 的边AB 、BC 的中点，在AC 上取G 、H 两点，使AG=GH=HC ，连结EG 、FH ，并延长交于D 点。

求证：四边形ABCD 是平行四边形。

2、已知：如图13，正方形ABCD ，P 是BD 上任意一点，DQ AP ⊥，垂足是Q ，交AC 于R 。

求证：DP=CR3、已知：如图14，矩形ABCD ，P 为矩形外一点，PA PC ⊥ 求证：PB CD ⊥4、已知：如图15，正方形ABCD 中，F 为DC 中点，AE=EC ＋AD 求证：AF 平分∠EAD5、已知：如图16，梯形ABCD ，AB ∥CD ，以AD 、AC 为邻边作□ACED ，DC 的延长线交BE 于F 求证：F 是BE 的中点6、已知，如图17，在四边形ABCD 中，AB>CD ，E 、F 分别为对角线BD 、AC 的中点求证：EF AB CD >-12()【答案】：一、填空题： 1、六 2、4cm ；8cm 3、四边形；平行四边形；矩形、正方形；菱形；梯形；等腰梯形；直角梯形 4、10cm ；18cm5、4cm二、选择题： 1、C 2、C3、C4、D5、A三、证明： 1、提示：连结BG 、BH 、BD ，证明四边形BHDG 是平行四边形 2、提示：证明∆∆APD DRC ≅ 3、提示：连结AC 、BD 、PO ，O 是AC 、BD 的交点，则PO 是Rt ∆APC 斜边上 中线有OP AC =12，又矩形对角线相等，故OP BD =12，得出∆BPD是直角三 角形（在三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角 三角形） 4、提示：①延长AF 、EC 交于G （把∆AFD 绕F 点旋转180︒）得∆GFC ②连结EF 并延长EF 交AD 延长线于G （把∆ECF 绕F 点旋转180︒）得∆GDF ③过F 点作FG ∥BC 交AE 于G ，则G 为AE 中点。

5、提示：连结AE 交CD 于O ，所以O 为AE 中点，又DF ∥AB ，所以F 为EB 中 点。

6、提示：取BC 边中点G ，连结EG 、FG ，有EF FG EG AB DC >-=-1212。