基本模型1、在正方形ABCD中，BN⊥AM，则常见的结论有哪些？结论：△ADM≌△BANAM=BN2、在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、CD、BC、AD边上的点，若EF⊥GH，上述结论是否仍然成立？当然是仍然成立的过点H作HN⊥BC，过点F作FM⊥AB结论：△HNG≌△FMEGH=EF所以大体上思路是“从垂直可利用全等推导出相等”所以反思“从相等是否可推导出垂直？”在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、BC 、AD 边上的点，若EF=GH ，则EF 与GH不一定垂直，请画出反例.如上图，垂直只是相等时的一种情况，另一种，只需使得AH ’=DH ，BG ’=CG ’即可作出HG=H ’G ’利用上述结论，做题可就方便多了！例题1、如图，将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使得点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 在AD 边，求折痕FG 的长；【解析】连接AE ，由轴对称的性质可知，AE ⊥FG （应该是FG 垂直平分AE ）这样就可以直接用上面的结论啦！所以由垂直得到相等，所以FG=AE=522422既然正方形内可出现垂直，那么矩形内出现垂直会有什么结论呢？模型拓展一如图，在矩形ABCD 中，AB=m ，AD=n ，在AD 上有一点E ，若CE ⊥BD ，则CE 和BD 之间有什么数量关系？其实这里面基本型较多有相似里的直角母子型，又有A 字形相似但是为了延续上面的探究我们要讲的模型是△CDE ∽△BCD证明较简单不证了记住这个结论所以nm BCCD BDCE即CE 和BD 之比等于矩形邻边之比如图1，一般情况，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、AB 、CD 边上的点，当EF ⊥GH 时，有ADAB GHEF 的结论，证明方法如图2，证明△FME ∽GNH 即可图1图2看到上面加粗的字了吗？这个点的所在边为什么要确定？因为言五君发现，仅仅使得EF ⊥GH ，会出现下图情况，此时仍有相似，但ADAB GH EF 不再成立所以我们可以思考一下，当这个α角度在什么范围内，ADAB GH EF 这个结论才能成立呢？由于α的特殊性，不如求tan ∠EFB 的最小值.例题1、如图，已知直线2x21-y 与x 轴、y 轴分别交于B 、A 两点，将△AOB 沿着AB 翻折，使点O 落在点D 上，当反比例函数xk y经过点D 时，求k 的值.【解析】求出点D 的坐标就好啦！这个题学生不会做，主要是图不完整，太空啦！所以把它围成一个矩形就好啦！（如图）发现连接OD 后，有OD ⊥AB （发现没有，矩形内部垂直模型出来了！）所以有ABOD OBOE AOED ，OD 和AB 均可求出来易求A （0，2），B （4，0）所以AB=52，OD=2OG在△ABO 中，利用面积法可快速求出OG=554，所以OD=558所以54525584OE 2ED 所以ED=58，OE=516，所以D （58，516）所以k=58×516=25128【练习】如图把边长为AB＝6，BC＝8的矩形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长.请在20秒内快速求出此题答案15答案：2模型拓展二我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形所以矩形的结论可沿用至直角三角形内例题1、在Rt△ACB中，AC=4，BC=3，点D为AC上一点，连接BD，E为AB上一点，CE⊥BD，当AD=CD时，求AE的长；【解析】如图，补成矩形ACBH，延长CE交AH于点G所以有结论△BCD ∽△CAG ，所以CGAB AC CB AG CD 所以CG543AG2，AG=38，CG=320如图，再用一次X 型相似即可所以设CE=x ，EG=320-x所以CE EG BCAG ，即xx -320338，解得1760x 【练习】1、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC ，点D 为BC 边上的中点，BE ⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ，则AF FC的值为___________.AF ：FC答案：2【其它四边形中的十字】1、（2017届滨湖区期中）如图，把边长为AB ＝22、BC ＝4且∠B=45°的平行四边形ABCD对折，使点B 和D 重合，求折痕MN 的长.【解析】看着不熟悉吗？怎么转换为熟悉的模型呢？看下面，补成矩形不就好了！后面的过程基本就和前面讲过的一样咯BFDF BDMN ，BD=102，DF=2，BF=6，所以MN=31022、（2013·武汉中考改编）如图，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°．DE ⊥CF ，请求出CFDE 的值．【解析】咋一看，又是个不规则的图形再仔细看一下条件，发现其实是个轴对称的图形再利用一下条件，可算出BD=10，发现△BCD也是个直角三角形要求DE与CF的比值，仍然往我们熟悉的模型上靠拢将这个图形补成矩形所以，由前面得到的结论，可知AMAD CFDE 眼尖的言五君发现了熟悉的一线三等角模型所以△BMC ∽△CND ，且相似比43CD BC ，设BM=x ，所以CN=x 34，MC=x34-8所以43NDMC ，即43x 6x34-8解得x=2542，所以AM=6+2542=25192所以2425251928AMAD CFDE 【练习题】1、如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，（1）求AF 的长；（2）求△EBG 的周长；（3）求FDCH 的值.3、如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，12AD AB，△CEF 的面积为1S ，△AEB 的面积为2S ，则12S S 的值等于．4、如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，分析下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF ＝2A F ；③DF ＝DC ；④tan ∠CAD ＝2．其中正确的结论有( ) A.4个B ．3个C ．2个D ．1个2、新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图所示，△ABC 中，AF 、BE 是中线，且AF ⊥BE ，垂足为P ，像△ABC 这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ABE=30°，AB=4，那么此时AC 的长为___________.3（1）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 为BC 边上的点，BE ⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ．AB B C1D B DC，求AF FC的值；（3）在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 为直线BC 上的动点(点D 不与B 、C 重合)，直线BE ⊥AD 于点E ，交直线AC 于点F 。

若AB BD n BCDC，请探究并直接写出AF FC的所有可能的值(用含n 的式子表示)，不必证明．【其它四边形中的十字】1、如图，把边长为AB ＝22、BC ＝4且∠B=45°的平行四边形ABCD 对折，使点B 和D重合，求折痕MN 的长.2、已知四边形ABCD 中．E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ．（一）问题初探；如图①，若四边形ABCD 是正方形，且DE ⊥CF ．则DE 与CF 的数量关系是；（二）类比延伸（1）如图②若四边形ABCD 是矩形．AB=m ，AD=n ．且DE ⊥CF ，则CFDE =．（用含m ，n 的代数式表示）（2）如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，当∠B+∠EGC=180°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．（三）拓展探究如图④，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°．DE ⊥CF ，请直接写出CFDE 的值．（2016·烟台）【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．如图1，矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，H ．求证：ABAD GHEF ；【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM ⊥BN ，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，若1511GHEF ，则AMBN 的值为；【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求AMDN 的值．。