最优解
x
o
C
2、求z＝3x＋5y的最大值，使x、y满足约束条件：
5 x＋3 y 1 5 1 y x＋ 作出直线3x＋5y ＝z 的 x－5 y 3 图像，可知直线经过A点时，
y A o C x
Z取最大值；直线经过B点 时，Z取最小值。 求得A（1.5，2.5）， B（－2，－1），则 Zmax=17，Zmin=－11。
B
思考:(1)若求z＝5x＋3y的最大值？
(2)若求z＝5x-3y的最大值？
3、已知
x y 2 0 x y - 4 0 2x－y 5 0
求
（1）z＝x＋2y-4的最大值；
（2）z＝x2＋y2-10y+25的最小值； （3）
y1 Z x2
的取值范围？
A种原料 甲种产品 乙种产品 现有库存 4 1 10 B种原料 18 15 66 利润 1 0.5
解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种 混合肥料的吨数，于是满足以下条件：
y
4 x＋y 10 18x＋ 15y 66 x 0 y 0
x
o
解：设生产甲种肥料xt、乙种肥料yt，能够产生利润 Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，可行域如图： 把Z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，它表示斜率为 －2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。
课题小结：
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关 于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题， 统称为线性规划问题。 满足线性约束的解（x，y）叫做可行解。 由所有可行解组成的集 合叫做可行域。 使目标函数取得 最大值或最小值的可行解 叫做这个问题的最优解。 y
一、引例：
1、已知x、y满足的条件，求x、y满足的区域： 并求z＝2x＋y的最大值，
y x x＋y 1 y － 1
y
解析：
Z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z， 它表示斜率为－2，在y轴上的截距 为z的一组直线系。 由图可以看出，当直线经过可行域上 的点C时，截距z最过C点时。
求得C点坐标为（2，－1）， 则Zmax=2x＋y＝3
一、基本概念
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关 于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题， 统称为线性规划问题。 满足线性约束的解（x，y）叫做可行解。 由所有可行解组成的集 合叫做可行域。 可行域 使目标函数取得 最大值或最小值的可行解 叫做这个问题的最优解。 y
可行域
M
最优解
x
o
思考1：
某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲两种产品需要A种原料4t、 B种原料18t， 产生的利润为1万元；生产乙种产品需要A种原料1t、 B种原料15t，产生的利润 为0.5万元。现有库存A种原料10t、 B种原料66t，列出满足生产条件的数学关 系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少吨？能够产 生最大的利润？
由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时， 截距2z最大，即z最大。 容易求得M点的坐标为 （2，2），则Zmin＝3
y
故生产甲种、乙种肥料各 2吨，能够产生最大利润， 最大利润为3万元。
M x
o