133557 (2n1)(2n1) 2
变 式 1 求 证 ： 1 2 1 2 3 1 2 n 1 2 2(n N )
变式2(2013广 东 理 19第 (3)问 )
求 证 ： 1212312
17
n2
4
(nN)
变 式 3求 证 ： 1 1 1 1 5(n N ) 2 2 3 2 n 2 3
分析 左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求
和，如何放缩？
注意到 n n
2n n 2n
将通项放缩为 错位相减模型
左 边 123 n 2 n 2 2
2 22 23
2n
2n
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【方法总结之一】
n
放缩法证明与数列求和有关的不等式，若 ai 可直 i 1
接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要
2n
2
表面是证数列不等式， 实质是数列求和
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变 式 1 求 证 ： 1 2 2 2 2 2 3 3 2 n n 2(n N ) 分析 不等式左边可用“错位相减法”求和.
由错位相减法得
123 n 2 n 2 2
2 22 23
2n
2n
表面是证数列不等式， 实质是数列求和
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变 式 2 求 证 ： 2 1 1 2 2 1 1 2 3 1 1 2 n 1 1 1 ( n N )
其实，任何事物都有其内在规律，放缩法也是“有法 可依”的，本节课我们一起来研究数列问题中一些常见的 放缩类型及方法，破解其思维过程，揭开其神秘的面纱， 领略和感受放缩法的无限魅力！
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常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，
其基本结构形式有如下 4 种：
n
n
①形如 ai k （ k 为常数）；②形如 ai f (n) ；
i 1
i 1
n
n
③形如 ai f (n) ；④形如 ai k （ k 为常数）.
i 1
i 1
放缩目标模型
可求和
可求积
等差模型
等比模型
错位相减模型
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裂项相消模型
几种常见的放缩方法
平方型：1 n
1 n
1
1 n(n
1)
1 n2
1 1 1(n2) n ( n 1) n1 n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 n2
1 n2 1
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例 2(2013广 东 文 19第 (3)问 ) 求 证 ： 111 1 1(n N )
133557 (2n1)(2n1) 2
分析 左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩.
1 1( 1 1) (2n1)(2n1) 22n12n1
左 边 1 [ ( 1 1 ) (1 1 ) (11) ] 2 3 35 2 n 12 n 1
n
（ 一 ） 形 如ak(k为 常 数 ） i i1 例 1求 证 ： 1 2 2 1 2 2 1 3 2 1 n 1(n N )
变 式 1 求 证 ： 1 2 2 2 2 2 3 3 2 n n 2(n N )
变 式 2 求 证 ： 1 1 1 1 1 ( n N ) 2 12 2 12 3 1 2 n 1
用放缩法证明 数列中的不等式
张家界市第一中学 组
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高三数学
放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点 点就太大，缩小一点点又太小”，这就让同学们找不到头 绪，摸不着规律，总觉得高不可攀！
高考命题专家说：“放缩是一种能力.” 如何把握放 缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精 髓和关键所在！
分析 左边不能直接求和，须先将其通项放缩后 求和，如何放缩？
注意到 1 1 2n 1 2n
将通项放缩为 等比数列
左边111 2 22 23
21n
1 (1 1 )
2 2n 1
1 1
1 1
2n
2
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变 式 3 求 证 ： 2 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 2 n n n 2 ( n N )
先将通项 an 放缩后再求和.
问题是将通项 an 放缩为可以求和且“不大不小”的 什么样的 bn 才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不
多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项
相消模型等. 实际问题中， bn 大多是等比模型或裂项相
消模型.
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例 2(2013广 东 文 19第 (3)问 ) 求 证 ： 111 1 1(n N )
指数型：
an
1
bn
an1(1ab) (ab1)；
平方型、 立方型、 根式型都
1 an b
an1(1ab) (ab1).
可放缩为
裂项相消 模型
奇偶型：2n 1 2n 1； 2n 2n 1
2n 2n 1 2n 1 2n 1 奇偶型放缩为可求积
指数型可放缩 为等比模型
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一. 放缩目标模型——可求和
变式1放缩的“度”进行修正，如何修正？
思路一 将变式1的通项从第三项才开始放缩.
1 n2
1
n(n 1)
从第二项开 始放缩
左 边 1 (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) 2 23 n 1n
1 1 1 2 (n 2) n
当n = 1时，不等式显然也成立.
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变式2(2013广 东 理 19第 (3)问 )
求 证 ： 1212312 n12 74 (nN)
分析 变式2的结论比变式1强，要达目的，须将
变 式 3 求 证 ： 2 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 2 n n n 2 ( n N )
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例 1求 证 ： 1 2 2 1 2 2 1 3 2 1 n 1(n N )
分析 不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.
左边
1 (1 2
1 )
2n
1
1
1
1 1
1 (1 1 ) 1 表面是证数列不等式，
2 2n 1 2
实质是数列求和
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变 式 1求 证 ： 1 2 1 2 3 1 2 n 1 2 2(n N )
分析 左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消
模型后求和.
1 1 1 1 (n2) n 2 n ( n 1 ) n1 n
保留第一项，
12n11n11 (n2)
1 n2
4 4n2
4 4n2 1
22n112n11
1 (2 n 1)2
1 4n(n 1)
14n111n (n2)
立方型： 1 n3
n
(
n
1
2
1
)
1 2(n 11)nn(n11)
(n2)
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根式型：2( n1 n) 2
1 2
n1 n n 2 n
2
2( n n1)
n n 1