2019年山东省潍坊市初中毕业、升学考试数 学（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内． 1．（2019山东省潍坊市，1，3分） 2019的倒数的相反数是（ ） A ．－2019 B ．12019- C ．12019D ．2019 【答案】B【解析】2019的倒数为12019，而12019的相反数为12019-，故选择B ． 【知识点】有理数，相反数，倒数2．（2019山东省潍坊市，2，3分）下列运算正确的是（ ）A ．3a ×2a =6aB ．a 8÷a 4=a 2C ．－3(a －1)=3－3aD ．32911)39a a =（ 【答案】C【解析】选项A ：3a ×2a =6a 2；选项B ：a 8÷a 4=a 4；选项C 正确；选项D ：32611)39a a =（，故选择C ． 【知识点】整式的乘除，单项式乘以单项式，同底数幂的除法，单项式乘以多项式，积的乘方，幂的乘方 3．（2019山东省潍坊市，3，3分）“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程．截止去年9月底，各地已累计完成投资1.002×1011元．数据1.002×1011可以表示为（ ） A ．10.02亿 B ．100.2亿 C ．1002亿 D ．10020亿 【答案】C【解析】1.002×1011=100200000000=1002亿，故选择C ． 【知识点】科学记数法——表示较大的数4．（2019山东省潍坊市，4，3分）如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体，将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（ ）A ．俯视图不变，左视图不变B ．主视图改变，左视图改变C ．俯视图不变，主视图不变D ．主视图改变，俯视图改变 【答案】A 【解析】通过小正方体①的位置可知，只有从正面看会少一个正方形，故主视图会改变，而俯视图和左视图不变，故选择A ．【知识点】三视图5．（2019山东省潍坊市，5，3分）利用教材中的计算器依次按键如下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ） A ．2.5 B ．2.6 C ．2.8 D ．2.9 【答案】B【解析】由计算器按键可知本题是计算7的近似值，分别计算四个数的平方可得：2.52=6.25，2.62=6.76，2.82=7.84，2.92=8.41，根据计算结果可知最接近于7的数为6.76，所以7≈2.6，故选择B ． 【知识点】计算器的使用，估算 6．（2019山东省潍坊市，6，3分）下列因式分解正确的是（ ） A ．22363(2)ax ax ax ax -=- B ．22()()x y x y x y -+=-+-- C ．22224(2)a ab b a b ++=+ D ．222(1)ax ax a a x -+-=-- 【答案】D【解析】选项A ：2363(2)ax ax ax x -=-；选项B ：22()()x y x y x y -+=-++；选项C 不能分解因式；选项D 正确；故选择D ．【知识点】因式分解，提公因式法，运用公式法7．（2019山东省潍坊市，7，3分）小莹同学10个周的综合素质评价成绩统计如下：成绩（分） 94 95 97 98 100 周数（个）12241这10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是（ ）A ．97.5 2.8B ．97.5 3C ．97 2.8D ．97 3 【答案】B【解析】成绩总共10个数，按从小到大排序后中间两个数为97和98，故中位数为97.5；这10个数的平均数949529729841009710x +⨯+⨯+⨯+==，故其方差为222222(9497)(9597)2(9797)2(9897)4(10097)310s -+-⨯+-⨯+-⨯+-==；故选择B ．【知识点】中位数，方差，加权平均数 8．（2019山东省潍坊市，8，3分）如图已知∠AOB ，按照以下步骤作图：①以点O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB 的两边于C ，D 两点，连接CD ．②分别以点C ，D 为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点E ，连接CE ，DE ． ③连接OE 交CD 于点M ．下列结论中错误的是（ ）A ．∠CEO =∠DEOB ．CM =MDC ．∠OCD =∠ECD D ．S 四边形OCED =12CD ·OE 【答案】C【解析】由作图可知OC =OD ，CE ＝DE ，OE ＝OE ，所以△OCE ≌ODE ，∴∠CEO =∠DEO ，选项A 正确，根据“三线合一”可知，CM =MD ，CD ⊥OE ，所以选项B 、D 正确；选项C 错误；故答案选择C.【知识点】尺规作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质 9．（2019山东省潍坊市，9，3分）如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，动点P 沿折线BCD 从点B 开始运动到点D ．使运动的路程为x ，△ADP 的面积为y ，那么y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）【答案】D【解析】当点P 在BC 段时0≤x ≤3，此时△ADP 的面积不变，13232y =⨯⨯=，当点P 在CD 段时3＜x ＜4（当点P 运动到点D 时不构成三角形），13153(32)222y x x =⨯⨯+-=-+，所以3(03)315(34)22x y x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<<⎪⎩，故答案选D ．【知识点】分段函数的图象，动点问题10．（2019山东省潍坊市，10，3分）关于x 的一元二次方程2220x mx m m +++=的两个实数根的平方和为12，则m 的值为（ ）A ．m =－2B ．m =3C ．m =3或m =－2D ．m =3或m =2 【答案】A【解析】由题意可得：222121212()212x x x x x x +=+-=，因为：122122,x x m x x m m+=-⎧⎨=+⎩所以：22(2)2()12m m m --+=，解得：m 1=3，m 2=－2；当m =3时Δ=62－4×1×12＜0，所以m =3应舍去； 当m =－2时Δ=(－4)2－4×1×2＞0，符合题意． 所以m =－2，故选择A ．【知识点】一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式 11．（2019山东省潍坊市，11，3分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，AD =CD ．过点D 作DE ⊥AB 于点E ．连接AC 交DE 于点F ．若sin ∠CAB =35，DF =5，则BC 的长为（ ）A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C【思路分析】连接BD，先证明∠DAC=∠ACD=∠ABD=∠ADE，从而可得AF=DF=5，根据sin∠CAB=35，求得EF和AE的长度，再利用射影定理求出BE的长度从而得到直径AB，根据sin∠CAB=35求得BC的长度．【解题过程】连接BD．∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD．∵AB为直径，∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD．∵∠ABD=∠ACD，∴∠DAC=∠ADE．∴AF=DF=5．在Rt△AEF中，sin∠CAB=35 EFAF=∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8．由DE2=AE▪EB，得228164DEBEAE===．∴AB=16+4=20．在R t△ABC中，sin∠CAB=35 BC AB=∴BC=12．【知识点】圆周角，锐角三角比12．（2019山东省潍坊市，12，3分）抛物线y =x 2＋bx +3的对称轴为直线x =1．若关于x 的一元二次方程x 2＋bx +3－t =0（t 为实数）在－1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．2≤t ＜11 B ．t ≥2 C ．6＜t ＜11 D ．2≤t ＜6 【答案】A【思路分析】根据对称轴为直线x =1，求出b 的值，画出抛物线y =x 2＋bx +3（－1＜x ＜4）的图象，如果该图象与直线y =t 有交点，则题目所给的一元二次方程有实数根，利用图象可得t 的取值范围． 【解题过程】由题意得：12b-=，b =－2，抛物线解析式为y =x 2－2x +3，当－1＜x ＜4时，其图象如图所示：从图象可以看出当2≤t ＜11时，抛物线y =x 2－2x +3与直线y =t 有交点，故关于x 的一元二次方程x 2＋bx +3－t =0（t 为实数）在－1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围是2≤t ＜11，故选择A ．方法二：把y =x 2－2x +3－t （－1＜x ＜4）的图象向下平移2个单位时图象与x 轴开始有交点，向下平移11个单位时开始无交点，故2≤t ＜11，故选择A ．【知识点】二次函数与一元二次方程，数形结合法二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18 分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．13．（2019山东省潍坊市，13，3分）若2x =3，2y =5，则2x ＋y = ． 【答案】15【解析】2x ＋y =2x ▪2y =3×5=15． 【知识点】同底数幂的乘法14．（2019山东省潍坊市，14，3分）当直线(22)3y k x k =-+-经过第二、三、四象限时，则k 的取值范围是 ． 【答案】1＜k ＜3【解析】∵直线经过第二、三、四象限，所以220,30k k -<⎧⎨-<⎩，解得：1＜k ＜3．【知识点】一次函数的图象和性质15．（2019山东省潍坊市，15，3分）如图，Rt △AOB 中，∠AOB =90°，顶点A ，B 分别在反比例函数1(0)y x x=>与5(0)y xx-=<的图象上．则tan∠BAO的值为．【答案】5【解析】分别过点A、B作x轴的垂线AC和BD，垂足为C、D.则△BDO∽△OCA，∴2S=()SBDOOCABDOAVV∵S△BDO=52，S△ACO=12，∴2()=5BDOA，∴tan∠BAO=5BDOA=．【知识点】反比例函数，反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定和性质16．（2019山东省潍坊市，16，3分）如图，在矩形ABCD中，AD=2．将∠A向内翻折，点A在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB= ．【答案】3【思路分析】由翻折可得∠AED=∠A′ED=∠A′EB=60°，从而可得∠ADE=∠A′DE=∠A′DC=30°，根据角平分线性质可知A′C=A′B′=A′B，求出A′C的长度，解Rt△A′CD，得CD的长即为AB．【解题过程】由翻折可得∠AED=∠A′ED=∠A′EB=60°，∴∠ADE=∠A′DE=∠A′DC=30°．∴A′D平分∠EDC，∵A′B′⊥DE，A′C⊥DC，∴A′C=A′B′．∵A′B′=A′B∴A′C=A′B，∵BC=AD=2∴A′C=1．在Rt△A′DC中，tan30°='33 ACDC=．∴DC=3．∴AB=3．【知识点】图形的翻折，轴对称，矩形，锐角三角比17．（2019山东省潍坊市，17，3分）如图，直线y=x+1与抛物线y=x2－4x＋5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点．当△PAB的周长最小时，S△PAB= ．【答案】125【思路分析】先求出A、B两点坐标，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，求出直线A′B的解析式，从而可求出△PAB的面积．【解题过程】解方程组2145y xy x x=+⎧⎨=-+⎩，得：1112xy=⎧⎨=⎩，2245xy=⎧⎨=⎩．∴A（1，2）B（4，5）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P．则A′（－1，2）.设直线A′B解析式为y=kx+b，则2 45k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得：3,5135 kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线A′B：31355y x=+．∴当△PAB的周长最小时，点P的坐标为（0，135）．设直线AB与y轴的交点为C，则C（0，1）∴S△PAB=S△PCB－S△PCA=113113(1)4(1)12525⨯-⨯-⨯-⨯=125【知识点】二次函数与一次函数综合，几何最短问题，三角形面积的计算18．（2019山东省潍坊市，18，3分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合．若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内相交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n，则点P n的坐标为．（n为正整数）【答案】（n，21n+）【思路分析】横坐标依次为1，2，3，4，…可以确定点P n的横坐标，再根据勾股定理可确定点P n的纵坐标．【解题过程】由图可知点P n的横坐标与它所在圆的半径相同，故点P n的横坐标为n，点P 1的纵坐标为22213-=， 点P 2的纵坐标为22325-=， ……点P n 的纵坐标为221)21n n n +-=+（，∴点P n 的坐标为（n ，21n +）．【知识点】规律探索，图形与坐标三、解答题（本大题共7小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019山东省潍坊市，19，5分）已知关于x ，y 的二元一次方程组2352x y x y k -=⎧⎨-=⎩的解满足x ﹥y ，求k 的取值范围．【思路分析】方法一：直接两个方程相减，得到x －y 的值，然后根据x ﹥y ，列出不等式求解；方法二：解方程组求得x ，y 的值，代入不等式求k 的取值范围． 【解题过程】方法一： 2352x y x y k -=⎧⎨-=⎩①②①－②得： x －y =5－k ∵x ﹥y ， ∴5－k ﹥0 ∴k ＜5． 方法二：2352x y x y k-=⎧⎨-=⎩解之得：31025x k y k =-+⎧⎨=-+⎩∵x ﹥y ，∴－3k ＋10﹥－2k ＋5 ∴k ＜5．【知识点】二元一次方程组与一元一次不等式的解法 20．（2019山东省潍坊市，20，6分）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多．为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB =200米，坡度为1∶3；将斜坡AB 的高度AE 降低AC =20米后，斜坡AB 改造为斜坡CD ，其坡度为1∶4．求斜坡CD 的长．（结果保留根号）【思路分析】解Rt△ABE求出AE的长，进一步求出CE的长度，再根据CD的坡度解Rt△CDE求出CD的长度．【解题过程】在Rt△ABE中，∵tan∠ABE=1∶3，∴∠ABE=30°．∵AB=200，∴AE=12AB=100．∵AC=20，∴CE=100－20=80．在Rt△CDE中，∵tanD=1∶4，∴sinD=17 17．∴1717 CECD=．∴CD=8017（米）答：斜坡CD的长是8017米．【知识点】解直角三角形的应用，坡度和坡比21．（2019山东省潍坊市，21，9分）如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有对应的数字2，3，4，5．小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次．每一次停止后，小明将指针所指数字记录如下：次数第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次数字 3 5 2 3 3 4 3 5（1）求前8次的指针所指数字的平均数．（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程，若不可能，说明理由．（指针指向盘面等分线时视为无效转次）【思路分析】（1）利用平均数公式直接计算即可；（2）计算出前8次数字的和，根据总平均数不小于3.3，且不大于3.5，确定后两次转盘数字之和的范围，画树状图或列表求出概率即可．【解题过程】（1）34+52+2+4=3.58⨯⨯答：前8次的指针所指数字的平均数为3.5．（2）能发生若这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5，则所指数字之和应不小于33，且不大于35．而前8次的所指数字之和为28，所以最后两次的所指数字之和应不小于5，且不大于7．第9次和第10次指针所指数字如下表所示：2 3 4 52 （2，2）（2，3）（2，4）（2，5）3 （3，2）（3，3）（3，4）（3，5）4 （4，2）（4，3）（4，4）（4，5）5 （5，2）（5，3）（5，4）（5，5）第9次和第10次指针所指数字树状图如下：一共有16种等可能结果，其中指针所指数字之和不小于5，且不大于7的有9种结果，其概率为：916P=．【知识点】统计与概率，平均数，事件发生的可能性，概率的计算22．（2019山东省潍坊市，22，10分）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A 作AH∥DG，交BG于点H，连接HF，AF，其中AF交EC于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB=3，EC=5，求EM的长．【思路分析】（1）利用“SAS”证明△ABH≌△HGF，即可得到边角关系，从而证明△AHF为等腰直角三角形；（2）计算出DE的长度，利用AD∥EF可得35DM ADEM EF==，从而求得EM．【解题过程】（1）证明：∵AD∥CG，AH∥DG∴四边形ADGH为平行四边形．∴AD=HG．∵AD=BC，∴BC=HG∴BC+CH=GH+HC即BH=CG∴GF=BH在△ABH和△HGF中AB=HG∠B=∠HGF BH=GF∴△ABH≌△HGF第10次第9次∴∠BAH =∠GHF AH =HF∵∠BAH +∠BHA =90°∴∠AHF =90°∴△AHF 为等腰直角三角形．（2）∵AB =3，EC =5∴AD =CD =3，CE =EF =5∴DE =2∵AD ∥EF ∴35DM AD EM EF == ∴EM =58DE =54． 【知识点】正方形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质23．（2019山东省潍坊市，23，10分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克，若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克．设水果店一天的利润为w 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．）【思路分析】 （1）设今年这种水果每千克的平均批发价为x 元，则去年的批发价为（x +1）元，根据“今年比去年这种水果的产量增加了1000千克”列方程求解；（2）设每千克的平均销售价为m 元，求出这种水果的销售量，根据“利润=（售价－进价）×销售量”列出函数关系求最值．【解题过程】（1）设今年这种水果每千克的平均批发价为x 元，由题意，得：1000001+20%10000010001x x -=+（） 解之，得：x 1=24，x 2=－5（舍去）答：今年这种水果每千克的平均批发价为24元．（2）设每千克的平均销售价为m 元，由题意得：41(24)(300180)3m w m -=-+⨯260(35)7260m =--+∵－60＜0∴当x =35时，w 取得最大值为7260答：当每千克平均销售价为35元时，一天的利润最大，最大利润是7260元．【知识点】分式方程的应用，二次函数的应用24．（2019山东省潍坊市，24，13分）如图1，菱形ABCD 的顶点A ，D 在直线l 上，∠BAD =60°，以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB ′C ′D ′．B ′C ′交对角线AC 于点M ，C ′D ′交直线l 于点N ，连接MN ．（1）当MN ∥B ′D ′时，求α的大小．（2）如图2，对角线B ′D ′交AC 于点H ，交直线l 于点G ，延长C ′B ′交AB 于点E ，连接EH ．当△HEB ′的周长为2时，求菱形ABCD 的周长．【思路分析】（1）根据平行线分线段成比例求得MB′=ND′，证明△AB′M≌△AD′N，从而得到∠B′AM=∠D′AN=α，根据∠BAD=60°，求得α的大小；（2）先证明△AB′E≌△AD′G，得到EB′=GD′，AE=AG，再证明△AHE≌△AHG，得到EH=GH，从而△HEB′的周长= B′D′=BD，进一步求出菱形的周长．【解题过程】（1）∵MN∥B′D′∴'''''' MB C B ND C D又∵C′B′=C′D′∴MB′=ND′在△AB′M和△AD′N中AB′=AD′，∠AB′M=∠AD′N，B′M=D′N ∴△AB′M≌△AD′N∴∠B′AM=∠D′AN又∵∠D′AN=α∴∠B′AM=α∴∠B′AM=∠BAB′=12∠BAC=14∠BAD=15°即α=15°（2）在△AB′E和△AD′G中，∠AB′E=∠AD′G，∠EAB′=∠GAD′，AB′=AD′∴△AB′E≌△AD′G∴EB′=GD′，AE=AG在△AHE和△AHG中，AE=AG，∠EAH=∠GAH，AH=AH∴△AHE≌△AHG∴EH=GH∵△HEB′的周长为2∴EH+EB′+B′H=2∴GH+GD′+B′H=2∴B′D′=BD=2∴菱形ABCD的周长为8．【知识点】菱形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定和性质25．（2019山东省潍坊市，25，13分）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF=45时，求点P的坐标．【思路分析】（1）先求出点C 的坐标，根据M 为AC 的中点求得坐标；（2）先证明Rt △AOC ∽Rt △DOA ，求出OD 的长，从而求出点D 的坐标，利用待定系数法求AD 的解析式；（3）利用顶点式求出抛物线的解析式，过点P 作PH ⊥EF ，垂足为H ，设出点P 的坐标，根据Rt △EHP ∽Rt △DOA ，得到EH OD PE AD =，求出EH 与PE 的关系式，即可求解．【解题过程】（1）∵AC 是△ABO 的中线∴点C 的坐标为（0，2）∵∠AOC =90°∴线段AC 是⊙M 的直径∴点M 为线段AC 的中点∴圆心M 的坐标为（2，1）（2）∵AD 与⊙M 相切于点A∴AC ⊥AD∴Rt △AOC ∽Rt △DOA ∴12OC OA OA OD == ∵OA =4，∴OD =8∴点D 的坐标为（0，－8）设直线AD 的函数表达式为y =kx +b可得：048k b b=+⎧⎨-=⎩ ∴k =2，b =－8∴直线AD 的函数表达式为：y =2x －8（3）设抛物线2(2)1y a x =-+，且过点（0，4）∴4=a (0－2)2+1 ∴34a = 所以，抛物线的关系式为：23344y x x =-+设点P （m ，23344m m -+），则点E （m ，2m －8） ∴235124PE m m =-+ 过点P 作PH ⊥EF ，垂足为H在Rt △DOA 中，224845AD =+=∵PE ∥y 轴∴Rt △EHP ∽Rt △DOA ∴845EH OD PE AD == ∴223(512)45EH m m =⨯-+ ∵45EF = ∴22325(512)45m m =⨯-+ 化简，得：2320280m m -+=解之，得：m 1=2，m 2=143. 所以点P 为（2，1）或（143，193） 【知识点】二次函数综合，圆的基本性质，一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质。