点到直线的距离
（一）教学目标
1．知识与技能
理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式.
2．过程和方法
会用点到直线距离公式求解两平行线距离.
3．情感和价值
认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.
（二）教学重点、难点
教学重点：点到直线的距离公式.
教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.
（三）教学方法
学导式
教学
环节
教学内容师生互动设计意图
复习引入前面几节课，我们一起研究
学习了两直线的平行或垂直
的充要条件，两直线的夹角
公式，两直线的交点问题，
两点间的距离公式。
逐步熟
悉了利用代数方法研究几何
问题的思想方法.这一节，我
用POWERPOINT打出平面直角坐标
系中两直线，进行移动，使学生回
顾两直线的位置关系，且在直线上
取两点，让学生指出两点间的距离
公式，复习前面所学.要求学生思考
点到直线的距离的计算？能否用两
点间距离公式进行推导？
设置情境导
入新课
们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l 的距离.
概念形成1．点到直线距离公式
点P (x0，y0)到直线l：Ax +
By + C = 0的距离为
00
22
||
Ax By C
d
A B
++
=
+
推导过程
方案一：
设点P到直线l的垂线段为
PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，
直线PQ的斜率为B
A
(A≠0)，
根据点斜式写出直线PQ的方
程，并由l与PQ的方程求出
点Q的坐标：由此根据两点
距离公式求出|PQ|，得到点P
到直线l的距离为d.
此方法虽思路自然，但运算
较繁，下面我们探讨另一种
（1）教师提出问题
已知P(x0，y0)，直线l：Ax+ By+
C= 0，怎样用点的坐标和直线方程
直接求点P到直线l的距离呢？
学生自由讨论
（2）数形结合，分析问题，提出解
决方案.
把点到直线l的距离转化为点P到
l的垂线段的长，即点到点的距离.
画出图形，分析任务，理清思路，
解决问题. 寻找最佳方案，附方案
二.
方案二：设A≠0，B≠0，这时l与
x轴、y轴都相交，过点P作x轴的
平行线，交l于点R (x1，y0)；作y
轴的平行线，交l于点S(x0，y2)，
由110
02
A x By C
Ax By C
++=
⎧
⎨
++=
⎩
得00
12
,
By C Ax C
x y
A B
----
==
通过这种转
化，培养学
生“化归”
的思想方
法.
方法.
所以0001|||||
|
Ax By C
PR x x A
++=-=
0002|||||
|
Ax By C
PS y y B
++=-=
22||RS PR PS =+=
22
||
A B AB +00||Ax By C ⨯++由三角形面积公式可知d ·|RS |=|PR |·|PS |. 所以002
2
||
Ax By C d A B
++=
+
可证明，当A = 0时仍适用. 这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高.
应用
举例
例1 求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离. 解：22
|3(1)2|53
30d ⨯--=
=+
例2 已知点A (1，3)，B (3，1)，C (–1，0)，求三角形ABC
的面积.
学生分析求解，老师板书 例2 解：设AB 边上的高为h ，则
221
||2
||(31)(13)22
ABC
S
AB h AB =
⋅=-+-=
AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离.
AB 边所在直线方程为31
1331
y x --=
-- 即x + y – 4 = 0.
点C 到x + y – 4 = 0的距离为
h
2
|104|5
112
h -+-=
=+， 通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解
应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的
优越性.
因此，15
225
22
S ABC=⨯⨯=
概念深化2．两平行线间的距离d
已知l1：Ax + By + C1 = 0
l
2
：Ax + By + C2 = 0
12
22
||
C C
d
A B
-
=
+
证明：设P0 (x0，y0)是直线
Ax + By + C
2
= 0上任一点，
则点P0到直线Ax+ By + C1=
0的距离为
001
22
||
Ax By C
d
A B
++
=
+
.
又Ax0 + By0 + C2 = 0
即Ax0 + By0= –C2，
∴12
22
||
C C
d
A B
-
=
+
教师提问：
能不能把两平行直线间距离转化为
点到直线的距离呢？
学生交流后回答.
再写出推理过程
进一步培养
学生化归转
化的思想.
应用举例例3 求两平行线
l
1
：2x + 3y– 8 = 0
l
2
：2x + 3y– 10 =0的距
离.
解法一：在直线l1上取一点
P(4,0)，因为l
1
∥l2，所以P
到l2的距离等于l1与l2的距
离，于是
22
|243010|2
13
13
23
d
⨯+⨯-
==
+
在教师的引导下，学生分析思路，
再由学生上台板书.
开拓学生思
维，培养学
生解题能
力.
备选例题
例1 求过点M (–2，1)且与A (–1，2)，B (3，0)两点距离相等的直线的方程. 解法一：当直线斜率不存在时，直线为x = –2，它到A 、B 两点距离不相等. 所以可设直线方程为：y – 1 = k (x + 2)即kx – y + 2k + 1 = 0. 由
=
解得k = 0或12
k =-.
故所求的直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0. 解法二：由平面几何知识：l ∥AB 或l 过AB 的中点.
若l ∥AB 且1
2
AB k =-，则l 的方程为x + 2y = 0. 若l 过AB 的中点N (1，1)则直线的方程为y = 1. 所以所求直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0.
例2 （1）求直线2x + 11y + 16 = 0关于点P (0，1)对称的直线方程.
（2）两平行直线3x + 4y – 1 = 0与6x + 8y + 3 = 0关于直线l 对称，求l 的方程. 【解析】（1）当所求直线与直线2x + 11y + 16 = 0平行时，可设直线方程为2x + 11y + C =0
由P 点到两直线的距离相等，即
=
，所以C = –38.
所求直线的方程为2x + 11y – 38 = 0.
（2）依题可知直线l 的方程为：6x + 8y + C = 0. 则它到直线6x + 8y – 2 = 0的距离
1d =
到直线6x + 8y + 3 = 0的距离为
2d =所以d 1 = d 2
=12
C =.
即l 的方程为：16802
x y ++=.
例3 等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x + 3y – 6 = 0上，顶点
A 的坐标是(1，–2).求边A
B 、A
C 所在直线方程.
【解析】已知BC 的斜率为23
-，因为BC ⊥AC 所以直线AC 的斜率为32
，从而方程32(1)2
y x +=- 即3x – 2y – 7 = 0
又点A (1，–2)到直线BC ：2x + 3y – 6 = 0的距离为||
AC =
，
且||||AC BC =.
由于点B 在直线2x + 3y – 6 = 0上，可设2(,2)3
B a a -，
且点B 到直线AC
的距离为2
|32(2)7|
a a --- 13
|
11|103
a -= 所以
1311103a -=或1311103a -=-，所以6313a =
或3
13 所以6316(
,)1313B -或324
(,)1313
B 所以直线AB 的方程为162132(1)63113
y x -
++=--或24
2132(1)3113
y x ++=-- 即x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0 所以AC 的直线方程为：3x – 2y – 7 = 0
AB 的直线方程为：x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0.。