ess lim e(t ) Tt T 2
t
K Ts 1
r(t)
c(t)
能跟踪 无稳态误差
K/T
C (t )
T 2T 3T 4T 5T t
(t )
1(t )
1 0
r(t) 1 0 t
K t / T e T
微分
t
微分
能跟踪 无稳态误差
c(t) K
C (t ) K (1 e t /T )
第三章 线性系统的时域分析法
建模 分析系统性能
时域分析法 （第三章）
根轨迹法 （第四章）
频域分析法 （第五章）
校正
时域分析法 一种直接在时间域中对系统进行分析的方法
典型输入信号
稳定性
Ф(s) c(t) 稳态性能 动态性能
r(t)
3-1 系统时间响应的性能指标
1 L[1(t )] s
L[1(t t0 )]
1
1 t t0 0 1(t t0 ) 0 t t0 0
2.单位斜坡函数
e
st0 0
t
s
t t 0 t 1(t ) 0 t 0 1 L[t 1(t )] 2 s
t 1(t )
0
t
4．动态性能
无振荡、非周期性
C (t ) 1 e t / T
t = T, c(T) = 0.632c(∞) t = 2T, c(2T) = 0.865c(∞) t = 3T, c(3T) = 0.95c(∞)
t = 4T, c(4T) = 0.982c(∞)
t = 5T, c(5T) = 0.993c(∞)
r(t) 1 0 t
2 wn (s) 2 2 s wn
C(t) t 平衡位置
衰减（稳定）
发散
等幅振荡
2．动态性能指标(Transient Performance Index) 系统稳定，动态性能才有意义 一般初始状态为零，在单位阶跃信号作用下，
动态过程随时间t的变化状况的指标
h(t )
tp
tr
h(t )
h( ) 0.5h()
h( ) 0.9h()
一.一阶系统的数学模型
1．定义
以一阶微分方程作为运动方程的控制系统
2．微分方程
T dc(t ) c(t ) Kr(t ) dt
3．传递函数
G( s) C ( s) K R( s) Ts 1
T K
系统时间常数，表征一阶系统的瞬态性能 系统稳态增益，表征一阶系统的稳态性能
1(t ) (t ) r (t ) t 1 2 t 2
1．输出
1 1 C ( s ) G ( s ) R( s ) Ts 1 s 3 1 2 C (t ) t Tt T 2 (1 e t / T ) 2 1 t , c() t 2 Tt T 2 2
2．稳态性能
3．稳态性能指标 跟踪误差 稳态误差
e(t ) r (t ) c(t ) Tt T 2 (1 e t / T )
t s 3T 0.3
(2) 假设反馈系数为K
( s )
C ( s) 100 / s 100 R( s) 1 100 / s K s 100 K
3 0.1 K 0.3 100 K
t s 3T
1/ K 1 s 1 100 K
已知某元部件的传递函数为：
T
2T
3T
4T
5T
t
T↓，系统快速性越好
T、K是系统本身的特性，与输入信号无关
四.一阶系统的单位斜坡响应
1 1 1 T T2 1．输出 C ( s) G( s) R( s) 2 2 Ts 1 s s Ts 1 s
C (t ) t T Te t / T c(t )
c(t)
1/T
1 86.5% 63.2%
T
98.2%
dc(t ) 1 dt t 0 T
95%
t 0
T 2T 3T 4T
时间常数T的物理意义: 一阶系统的阶跃响应如果按照其初始速度匀速 上升,经过T秒可达到响应的稳态值; 当时间 t T 时, 一阶系统的阶跃响应值为稳态 值 h() 的63.2%; 经过一阶系统阶跃响应曲线上任一点作切线， 与直线 h() 相交，切点与交点之间的时间间隔为T 。
5．动态性能指标 延迟时间td 上升时间tr 峰值时间 tp 超调量σ％
c(td ) 0.5c()
C (t ) 1 e t / T
td＝0.69T tr＝2.20T 无 无
c(t)
调节时间ts ts＝3T （5％误差带） 4T（2％误差带）
1 - etd / T 0.5
c(t1 ) 0.1c() t1 0.1T c(t2 ) 0.9c() t2 2.3T
例子
室温调节系统
扰动
单位斜坡信号
单位加速度信号
1/ s2
调速控制系统
宇宙飞船控制系统 海浪抑制
1/ s 3
Aw s 2 w2
正弦信号
典型输入信号
R(s)
C(s) Ф(s) r(t) c(t)
输出响应（时间域） = 稳态过程 ＋ 动态过程 Steady-state Transient response response 二. 稳态过程与稳态性能指标
通过反馈的使用能够明显的改变系统的动态特性 但可能会产生稳态误差
r (t ) (t )
1 Ts 1
c(t ) ?
三.一阶系统的单位脉冲响应
1．输出 C (s) G(s) R(s) 1
C (t ) 1 t / T e T
Ts 1
2．稳态性能 3．稳态性能指标 4．动态性能
线性定常系统零初始条件下的阶跃响应为
1 e t - e 2t
求脉冲响应为多少？
(t ) 2e 2t e t k (t ) c
3-3 二阶系统的时域分析
一.二阶系统的数学模型
1．定义 2．微分方程
d 2 c(t ) dc(t ) 2 2 2wn wn c(t ) Kwn r (t ) dt dt 2
R(s) +
100/s 0.1
C(s)
(1) 试求系统单位阶跃响应的调节时间 (2) 若要求ts=0.1 秒，试问系统的反馈系数应调整为何值？ 解: (1) ( s )
10 C (s) 100 / s 100 R( s) 1 100 / s 0.1 s 10 0.1s 1
A sin t A sin t 1(t ) 0
t0 t0
A sin t 1(t )
A
0
A

2
t
L[ A sin wt 1(t )]
Aw s 2 w2
总结
名称
单位阶跃信号
单位脉冲信号
时域
1(t)
δ(t) t 1 2 t 2
A sin(wt)
复域
1/ s
1
一. 典型输入信号 1、定义
根据系统常遇到的输入信号形式，在数学描述上 加以理想化的一些基本输入函数
2、原则
反映系统工作的实际情况 形式尽可能简单，以便于数学描述和分析处理
实验室易于实现
常用的典型输入信号有以下几种：
1.单位阶跃函数
1(t )
1 t 0 1(t ) 0 t 0
t
微分
c(t)
r(t)
微分
能跟踪 有稳态误差
T
t
1 2 t 2
1 0 t
C (t ) K (t T Te t /T )
t
微分
微分
无法跟踪
r(t) 1 0 t
1 2 C (t ) K [ t Tt T 2 (1 e t / T )] 2
注意
线性定常系统 零初始条件
tp
1.05 h() 0.95 h()
h(t )
h( )
h( )
1.05 h() 0.95 h()
ts
ts
t
ts
t
调节时间(settling time) 响应到达并保持在终值±5％内所需最短时间 ±2％
σ% 最大超调量(percent overshoot) %
h(t p ) h() h ( )
100 %
h(t )
tp
tr
h(t )
h( ) 0.5h()
h( ) 0.9h()
0.5h()
td
td
0.1h()
ts
t d , t r, t p σ% ts
t
tr
ts
t
评价系统初始阶段响应的快速性
反映系统过渡过程的平稳性
同时反映系统响应快速性和平稳性的综合性指标
3-2 一阶系统的时域分析
0.5h()
td
td
0.1h()
t
td 延迟时间
tr 上升时间(rise time) tp
tr
t
响应时间第一次达到其终值一半所需的时间 响应从终值10％上升到终值90％所需的时间（无超调） 0％ 100％ （有超调）
峰值时间(peak time) 响应超过其终值到达第一次峰值所需时间
h(t )
1 Ts 1
c(t ) ?
分析系统性能
二.一阶系统的单位阶跃响应
1. 输出
C (s) G(s) R(s)
1 1 1 T Ts 1 s s Ts 1
C (t ) 1 e t / T