2. Kronecker 符号一、Kronecker 符号定义为：⎩⎨⎧≠==ji ,0j i ,1j i δ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001333231232221131211δδδδδδδδδ其中i ，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此，可确定一单位矩阵：j i δδij δ 的性质二、若ji j i δ=⋅e e 321,,e e e 是相互垂直的单位矢量，则3332211i i =⋅+⋅+⋅=⋅e e e e e e e e 3332211i i =++=δδδδii i i δ=⋅e e 例题1：三、例题注意：3i i =δi i δ是一个数值，即例题2：ki A A →kk k k i i k A A A ==δδ思路：把要被替换的指标i 变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母k 表示i j ii δδ与不同ji δ的作用：1）换指标；2）选择求和。

例题3：ji j k T T →特别地，j i j k k i δδδ=mi m j j k k i ,δδδδ=ji j i i i j k k i T T T ==δδ四、符号的应用ijδ3. 置换符号(Permutatisn Symbol)1312231123===e e e 1132213321−===e e e 0232121111==== e e e 13⎪⎩⎪⎨⎧−=,0,1,1kj i e i, j, k, 为1，2，3的偶置换（123，231，312）i, j, k, 为1，2，3的奇置换（213，132，321）i, j, k, 的任意两个指标相同13易知：ij k j k i k i j j i k i k j k j i e e e e e e −=−=−===二、k j i e 符号的应用1）.三阶行列式321,,e e e 若是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量k ?e 2）、右手卡氏直角坐标系的单位基矢量叉乘3）i jk ke =e i j ×=ee例题： 证明a × b = ε ijk ai b j e ke1 a × b = a1 b1e2 a2 b2e3 a3 b3= a2b3e1 − a3b2 e1 + a3b1e2 − a1b3e2 + a1b2 e3 − a2b1e3= ε 231a2b3e1 + ε 321a3b2 e1 + ε 312 a3b1e2 + ε132 a1b3e2 +ε123 a1b2 e3 + ε 213 a2b1e3= ε ijk ai b j ek11三、 常见的恒等式δi l ei j k el m n = δ j l δk lδi1 δi 2 δi 3 δ j3 δk 3δi m δ jm δk mδi n δ jn δk n1) 证明ei j k = ( ei × e j )iek = δ j1 δ j 2 δk 1 δk 2el mn = ( el × em )ien = δm1 δm 2 δn1 δn 2 δl1 δl 2δl 3δl1δm1 δm 2 δm3δn1 δn 2 δn 312δm3 = δl 2 δl 3 δn 32) 证明ei j k el m k = δi l δ j m − δi m δ j lδil δi m δjm δk m δi k δjk δkkei j k el mk = δ jl δk l= δk l = δi mδi m δjm δil δ jlδi k δjk −− δk m δilδil δ jl +3δi k δ jk δil δ jl+3δil δ jl =δim δ jm δil δ jl δim δ jm13δim δ jmδim δ jmδjmδ jl由ei j k el m k = δi l δ j m − δi m δ j lei j k el j k = 2δil3)4)ei j k ei j k =6144. 纳布拉算子∂ ei = ( ▽= ∂xi),i ei = ∂ ,i ()ei15§1.3 张量的代数运算„ „ „ „ „数乘 加法 点积 缩并 叉积„ „ „ „ „点叉积 张量积 转置 求逆 对称与反对称161. 张量的记法 绝对记法（一个字母）：T、A 分量记法： 矩阵表示：T = Tijkl ......eie je k ...⎡T11 T12 T13 ⎤ ⎢ ⎥ T = ⎢T21 T22 T23 ⎥ ⎢ ⎣T31 T32 T33 ⎥ ⎦172. 张量的特征定义在坐标变换时，满足如下变换关系的量为张量T = α T ⎧ ' ' ' ' ' α ' α ' ijkl ii j j k k ⎪ i jkl ⎨ Tijkl = α ii ' α jj ' α kk ' α ll ' Ti ' j 'k 'l ' ⎪ ⎩例：由第一节 应力张量e i′ = Li′je jT = Ti' j ' ei' e j ' = Ti' j ' Li' j e j L j 'k e k = T jk e j e kT jk = Li' j L j 'k Ti' j '因此， T 为二阶张量。

183. 数乘α 设T为一个张量（如二阶张量）， 为一标量，它们的乘积记为T = αT则 T 仍为张量。

19以二阶张量为例 根据张量的坐标变换特征，有α′ = αTi′j′ = α i′iα j′jTi jTi′j′ = α ′α i′iα j′jTi j = α i′iα j′j α Ti j = α i′iα j′j Ti j可见， T 为二阶张量。

204. 加法设T 、S 均为两个同阶张量（如二阶张量），将它们的和用下式表示：ji j i j i )(e e S T S T +=+若a 为一矢量，则aS a T a S T ⋅±⋅=⋅±)(T 、S 和的分量为：ijij ij )(S T ±=±S T 其矩阵形式为：][][][S T S T ±=±5. 点积1）矢量a、b的点积：ii j i j i j i j i j j i i )()()(b a b a b a b a ==⋅=⋅=⋅δe e e e b a 换指标2）张量T, S （设为二阶）的点积：)()(n m n m j i j i e e e e S T S T ⋅=⋅ni m j n m j i n m j i n m j i )(e e e e e e δS T S T =⋅=ni n m m i e e S T =一般地，任意个二阶张量依次点积，结果仍为二阶张量，即ji j q pq n m m i e e V U S R V U S R ⋅=⋅⋅⋅⋅3）双重点积（前后）：若A 为二阶张量，B 为三阶张量，则i j i j kmn k m n :():()A B =A B e e e e e 结果为一阶张量。

i j kmn i k j m n ()()A B =⋅⋅e e e e e i j kmn ik jm n ij ijn n A B A B δδ==e e4）双重点积（内外）：若A 为二阶张量，B 为三阶张量，则i j i j kmn k m n ()()A B ⋅⋅=⋅⋅A B e e e e e 结果为一阶张量。

商法则：若一个量与任意一个量的点乘积为张量，则该量必为张量。

i j kmn im jk n ij jim nA B A B δδ==e e i j kmn i m j k n ()()A B =⋅⋅e e e e e6. 叉积1)两个矢量a ，b 的叉积：kj i k j i j i j i j j i i )()(e e e e e b a b a e b a b a =×=×=×kk j i j i e e e e =×2)两个任意张量的叉积：B A ,ts r j i rst j i t s r rst j i j i )()()(e e e e e e e e e e B A ×=×=×B A B A ts k i kst i t s k i k r j rst j i e e e e e e e e C e B A ==kr j rst j i kst i e B A C =7. 张量积(并乘)设分别为m 和n 阶张量，它们的并积为，则B A ,C )...)(...(n m 1m n m 1m m 1m 1i i i i i i i i ++++==e e e e B A C B A nm 1n m 1i i i i ...++=e e C nm 1m m 1n m 1i i i i i i +++= B A C 可见，其结果张量是m+n 阶的。

C注意:有时候会把点乘写成ABB A =•这时并乘要加并乘符号BA ⊗=⊗=B AC nm 1n m 1i i i i ...++⊗e e C n m 1i i ...+⊗e e 称为基张量8. 缩并如对积张量中任意两个基矢量进行点乘,便可得到比原来低二阶的张量，称为张量的缩并。

（匡震邦书）盖秉政书例题9. 转置j i ji Tj i ij T A A e e e e A ==)(10. 求逆j i ij A e e A 11−−=9. 对称与反对称A) 对称张量若张量满足如下的关系式：这样的张量称为二阶对称张量。

B）反对称张量jiij A A =jiij A A −=若张量满足以下关系式：则称为二阶反对称张量。