F f mgcos
a
B
ka mgcos
A
木块移过 的过程中，力 F 所作的功为
A
F
dr
Fdr
0
Fad
ka2d
mga cosd
0
0
1 ka2 2 mga sin
2
5. 弹簧(倔强系数为k)一端固定在a点, 另一端连一质量
为m的物体,靠在光滑的园柱体表面(半径 R ), 弹簧原长
解：如图，设垒球飞来方向为 x 轴
I
mv2
方向。棒对球的冲量大小为
I mv2 mv1
mv1
x
方向：与x轴夹角
m v12 v22 2v1v2 cos
16.9[N s] 180 arctan mv 2 sin
1522'
mv1 mv 2 cos
棒对球的平均冲力
F I 16.9 845[N] t 0.02
解:取面积元dS, 其质元的质量为dm
dm dS
dS rddr
o dS
d
dr
r
则质元dm对oo'轴的转动惯量为
dJ r 2dm
J r 2dS
R r 3dr
2
d
1
m R2
0
0
2
o
平行轴定理 J Z J C md 2
若外力在垂直于转轴的平面内
F
F
M rF
若外力不在垂直于转轴的平面内
8R/2 33.3 8/6 = 1.33
Emol
i RT 2
CV ,m
iR 2
CP,m CV ,m R
1. 2g氢气与2g氦气分别装在两个容积相同的封闭容 器内，温度也相同。(氢气视为刚性双原子分子)。 求：(1)氢分子与氦分子的平均平动动能之比；(2)氢 气与氦气压强之比；(3)氢气与氦气内能之比。
动能定理
b
功
Aab
F dr
a
Aext Aint Ekb Eka
机械能守恒定律
当 A外 A非保内 0
E Ek E p 常量
角量与线量的关系
v
r
定轴转动
v r
at
dv dt
d( r)
dt
r
an 2 r
v r
质点
v
dr
dt
a
dv
dt
d
2
r
dt2
刚体
d
dt
r
F//
F F F//
F
F
平行于转轴，不会使刚体绕轴转动
M r F//
M
d(I )
I
dt
M I
刚体的定轴转动定律
定轴转动的功能原理
质点系功能原理对刚体仍成立：
W外 + W内非 =（ Ek2 +Ep2 ）—（E k1+ E p1 ）
若W外+W内非=0，则Ek +Ep =常量。
刚体重力势能：
(6m2 2m1 )L
o (m1,L) m2
取
,
方向为正
3)竖直位置时,棒受重力矩M=0, 故此时'=0
以m1,m2,地球为系统, E守恒
m2
gL
m1 gL
1 2
J
2
m1 g
L 2
(6m2 3m1 )g (3m2 m1 )L
N —— 分子总数
m —— 摩尔数 m: 气体总质量，M: 摩尔质量，
2 Mmol
EH2
/
EHe
iH2 MH2 iHe MHe
/ /
Mmol, H2 Mmol, He
解：dM
r
dmg
dM
rdm g s in(
)
xdm g
2
θ
r
dm
x
M xgdm mgxc
1 m glcos
2
由转动定律 M I
d
dt
d d
d
dt
d d
d d d d
0
0
I
1 3
m l2
M I
3g cos
2l
1 2 3g cos d
2
0 2l
重力的力矩：重力集中在质心时的力矩
此力为垒球本身重量的
F 845 616 倍 t2
mg 0.14 9.8
I Fdt
F
I
p
t t
t1
I
F(
t
2
t1
)
I p2 p1
4. 一人造地球卫星绕地球作椭圆运动, A、B 分别为 近地点和远地点, A、B 距地心的距离分别为r1、r2 。
设卫星的质量为 m ，地球的质量为M ，万有引力常 量为 G ，则卫星在A 、B 两点 处的万有引力势能的 差为多少？卫星在A 、B 两点 处的动能差为多少？
对整个轮，由转动定律
T1
T2
Τ2 R2 Τ1R1
由运动学关系
(12Μa1R1 12
1
Μ
a22
2
R22
) m1
m2
角量与线量的关系
R1 R2
联立解得
m2 R2 m1R1 g
M1 2
m1
R12
M2 2
m2
R22
8. 如图，唱机的转盘绕着通过盘心的固定竖直轴转动，
唱片放上去后将受到转盘摩擦力作用而随转盘转动。
解: 由万有引力势能公式得
A
地心 r1
r2
B
E pB
E pA
G
Mm r2
(G
Mm r1
)
GMm
r2 r1 r1r2
由机械能守恒
EkB
EkA
( E pB
E pA )
GMm
r2 r1 r1r2
如图所示，弹簧原长为AB，劲度系数为k，下端
固定在A点，上端与一质量为m的木块相连，木块总
靠在一半径为a的半圆柱面的光滑表面上。今沿半圆
解：(1)由子弹和杆系统对悬点O的角动量守恒
mv
3
L
1
ML2
m
3L
2
ω
4 3
4
ω
3mv
O. M
3
4L. L
质心
rC
rdm m
4
1 3
ML
9 16
mL
8.89[rad/s]
v0
mo
A
(2)对杆、子弹和地球，由机械能守恒得
1 1 ML2 9 mL2 ω2 Mg L mg 3 L1 cos θ
dW Md
Ek
1 2
m v2
Wex EK 2 EK1
Ek
1 2
I 2
Wex EK 2 EK1
例：一质点运动轨迹为抛物线
y
x t2
y t 4 2t 2
y x2 2x
x
z0
求：x = – 4时（t > 0) 粒子的速度、速率、加速度。
解： 分析： x = – 4，t = 2
vx
dx dt
23
16 2
4
由此得
θ
arccos1
1 3
M
9 16
m
Lω2
M 3 m g 2
9418'
例 质量为M的匀质园盘,半径为R,盘底面与水平接
触面之间 摩擦系数 . 一质量为m的子弹以速度v
射入盘 边缘并嵌在盘边,求 1)子弹嵌入盘边后盘的 角速度? 2) 经多少时间停下来? 3)盘共转个多少角 度?
匀加速运动
微分法:由
积分法: a v r
初始条件
求得速度方程: 求得运动方程:
v
t
dV a dt
v0
r
0
t
dr V dt
r0
0
牛 动量定理
顿 运
冲量
I
t2
t1
Fdt
F dt
dP
P2
P1
动量守恒定律 当 Fext 0
P Pi 常矢量
i
动 定 律
a用解b功:, 在能根沿原据半理功圆求能切外原向力理外F: 力做F的作功用。下缓慢地沿表面c 从Fb到fNc;
以 m, 弹簧, 地球为研究对象
m
弹性势能零点, 重力势能零点
mg b
均选在b处
AF
Ec
Eb
(mghc
1 ks2 ) 0 2
a
mga
s in c
1 2
ka
2
2 c
6. 求均匀薄圆盘对于中心垂直轴的转动惯量。
的切向用力 F拉木块 ,使其极缓慢的移过 角。求
这一过程中 F 力作的功。
解：因木块极缓慢地移动，所以 可认为木块m在任意时刻均处于 平衡状态。其所受合力为零。
F
N
a
mg
f
m
B
F N mg f 0
A
支承力
弹性力
木块在移到角度为 时，所受弹力为：
F
N
f ka
则切线方向
mg f m
角速度从 0 增加到 需要时间:
d
dr
ω
ω
3Rω
t
M 1 mR 2 4μk g
2
r
df dM
驱动力矩做功 A M Δθ M ωt 1 mR2ω2
唱片获得动能
2
Ek
1 2
Jω2
1 2
1 2
mR 2
ω2
1 4
mR 2ω2
9. 如图，均匀杆长 L=0.40m，质量M=1.0kg，由其上 端的光滑水平轴吊起而静止。今有一质量 m=8.0g 的 子弹以 v=200m/s 的速率水平射入杆中而不复出。射 入点在轴下 d=3L/4处。(1)求子弹停在杆中时杆的角 速度；(2)求杆的最大偏转角。