高考圆锥曲线经典真题知识整合：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.1.（江西卷15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AFFB= ．132 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A. [3,3] B. (3,3) C.33[33-D. 33(,33-3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线221916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB 的面积为-___________. 热点考点探究：考点一：直线与曲线交点问题例1.已知双曲线C ：2x2－y2=2与点P(1，2)(1)求过P(1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点.解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x －k2+4k －6=0 (*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点(ⅱ)当2－k2≠0,即k ≠±2时Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k －6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即3－2k=0,k=23时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点.②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点. ③当Δ＜0，即k ＞23时，方程(*)无解，l与C 无交点.综上知：当k=±2,或k=23，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点；当k ＞23时，l与C 没有交点.(2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB=2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在.(2)若Q(1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在. 考点二：圆锥曲线中的最值问题对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。

例2 直线m ：1+=kx y 和双曲线122=-y x 的左支交于A 、B 两点，直线l 过P （0,2-）和AB 线段的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围。

解：由)1(1122-≤⎩⎨⎧=-+=x y x kx y 消去y 得022)1(22=++-kx x k ，由题意，有： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--=<-=+>-+=∆0120120)1(8422122122k x x k k x x k k 21<<⇒k 设M （00,y x ），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=+=20022*******k kx y k k x x x 由P （0,2-）、M （2211,1k k k --）、Q （b ,0）三点共线，可求得2222++-=k k b 设22)(2++-=k k k f 817)41(22+--=k ，则)(k f 在)2,1(上为减函数。

所以)1()()2(f k f f <<，且0)(≠k f所以1)()22(<<--k f 所以)22(+-<b 或2>b 考点三：弦长问题涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.例3.如图所示，抛物线y2=4x 的顶点为O ，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为4π的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A)且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积. 解：由题意，可设l 的方程为y=x+m,－5＜m ＜0.由方程组⎩⎨⎧=+=x y m x y 42,消去y,得x2+(2m －4)x+m2=0 ①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m2=16(1－m)＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0) 设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m ，x1·x2=m2, ∴|MN|=4)1(2m -.点A 到直线l 的距离为d=25m+.∴S △=2(5+m)m -1,从而S △2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2(35522mm m ++++-)3=128.∴S △≤82,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.故直线l 的方程为y=x －1，△AMN 的最大面积为82.考点4：圆锥曲线关于直线对称问题例 4. 已知椭圆的中心在圆点,一个焦点是F(2,0),且两条准线间的距离为(4)λλ>,(I)求椭圆的方程;(II)若存在过点A(1,0)的直线l ,使点F 关于直线l 的对称点在椭圆上,求λ的取值范围.【解析】(I)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>> 由条件知2222,,a c a c λλ===且所以,2224b a c λ=-=- 故椭圆的方程是221(4)4x y λλλ+=>-(II)依题意,直线l 的斜率存在且不为0,记为k ,则直线l 的方程是(1)y k x =-,设点F(2,0)关于直线l 的对称点为/00(,)F x y ,则0002002022(1)2212121y x k x k ykk y x k +⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪+⎨⎨⎪⎪⋅=-=⎪-⎪+⎩⎩解得因为/00(,)F x y 在椭圆上,所以222222()()1114k k k λλ+++=-即422(4)2(6)(4)0k k λλλλλ-+-+-= 故2k t =,则22(4)2(6)(4)0t t λλλλλ-+-+-= 因为2(4)4,0(4)λλλλ->>-所以于是,当且仅当23[2(6)]4(4)0,2(6)0,(4)λλλλλλλλ⎧∆=---≥⎪-⎨>⎪-⎩(*)上述方程存在正实根,即直线l 存在.解(*)得16,1643346λλλ⎧≤⎪<<⎨⎪<<⎩所以即λ的取值范围是1643λ<<规律总结1. 判定直线与圆锥曲线位置关系时,应将直线l 方程与圆锥曲线C 的方程联立,消去y (也可消去x )得一个关于变量x 的一元方程220.ax bx ++=①当0a ≠时,若有0∆>,则l 与C 相交;若0∆=,则l 与C 相切;若0∆<,则l 与C 相离.②当0a =时,得到一个一元一次方程,若方程有解,则有直线l 与C 相交,此时只有一个公共点;若C 为双曲线,则l 平行于双曲线的渐近线;若C 为抛物线,则l 平行于抛物线的轴.所以只有当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线、抛物线可能相切,也可能相交. 2. “设而不求”的方法若直线l 与圆锥曲线C 有两个交点A 和B 时,一般地,首先设出交点A(11,x y )、B(22,x y ),它们是过渡性参数,不须求出,有时运用韦达定理解决问题,有时利用点在曲线上代入曲线方程整体运算求解. 3. 韦达定理与弦长公式斜率为k 的直线被圆锥曲线截得弦AB,若A(11,x y ),B(22,x y )则|||12|AB x x =-|120)y y k =-≠,然后再结合韦达定理可求出弦长等.专题能力训练： 一、选择题1.斜率为1的直线l 与椭圆42x +y2=1相交于A 、B 两点，则|AB|的最大值为( )A.2B.554C.5104 D.51082.抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k ≠0)交于A 、B 两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x 轴交点的横坐标是x3,则恒有( ) A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=0 1.解析：弦长|AB|=55422t -⋅⋅≤5104.答案：C2.解析：解方程组⎩⎨⎧+==b kx y ax y 2,得ax2－kx －b=0,可知x1+x2=ak ,x1x2=－ab,x3=－kb,代入验证即可. 答案：B3.斜率为2的直线l 过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点,且与双曲线的左、右两支分别相交,则双曲线的离心率e 的取值范围是 ( D )A. e >B. 1e <<C. 1e <<D. e >4.过点A(4,0)的直线与抛物线24y x =交于另外两点B 、C,O 是坐标原点,则三角形BOC 是 ( C )A.锐角三角形B.钝角三角形C. 直角三角形D.形状不确定 二、填空题5.已知两点M(1，45)、N(－4，－45)，给出下列曲线方程：①4x+2y －1=0,②x2+y2=3,③22x +y2=1,④22x －y2=1,在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是_________..解析：点P 在线段MN 的垂直平分线上，判断MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交点. 答案：②③④6.正方形ABCD 的边AB 在直线y=x+4上，C 、D 两点在抛物线y2=x 上，则正方形ABCD 的面积为_________.7.在抛物线y2=16x 内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________.6解析：设C 、D 所在直线方程为y=x+b,代入y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长，利用|CD|的长等于两平行直线y=x+4与y=x+b 间的距离，求出b 的值，再代入求出|CD|的长. 答案：18或507.解析：设所求直线与y2=16x 相交于点A 、B ，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得y12=16x1,y22=16x2,两式相减得，(y1+y2）(y1－y2)=16(x1－x2). 即⇒+=--21212116y y x x y y kAB=8.故所求直线方程为y=8x －15. 答案：8x －y －15=0 三、解答题8.已知抛物线y2=2px(p ＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，且|AB|≤2p. (1)求a 的取值范围.(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值.9.知中心在原点，顶点A1、A2在x 轴上，离心率e=321的双曲线过点P(6，6).(1)求双曲线方程.(2)动直线l 经过△A1PA2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M 、N ，问：是否存在直线l,使G 平分线段MN ，证明你的结论. 10.已知双曲线C 的两条渐近线都过原点，且都以点A(2，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与A 点关于直线y=x 对称. (1)求双曲线C 的方程.(2)设直线l 过点A ，斜率为k,当0＜k ＜1时，双曲线C 的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2，试求k 的值及此时B 点的坐标.11. 已知过双曲线方程22142x y -=(1)过M(1,1)的直线交双曲线于A 、B 两点,若M 为弦AB 的中点,求直线AB 的方程;(2)是否存在直线l ,使1(1,)2N 为l 被双曲线所截得弦的中点,若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.8解：(1)设直线l 的方程为：y=x －a,代入抛物线方程得(x －a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0 ∴|AB|=224)(42a p a -+⋅≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap ≤－p2又∵p ＞0,∴a ≤－4p.(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB 的中点 C(x,y), 由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p, 则有x=222,2212121ax x y y y p a x x -+=+=+=+=p.∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －p=－(x －a －p),从而N 点坐标为(a+2p,0）点N到AB的距离为papa22|2|=-+从而S△NAB=2222224)(4221papppapa+=⋅-+⋅⋅当a有最大值－4p时，S有最大值为2p2.9.解：(1)如图，设双曲线方程为2222byax-=1.由已知得321,16622222222=+==-abaeba,解得a2=9,b2=12.所以所求双曲线方程为12922yx-=1.(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐标为(2，2）假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2).则有34912441089121089122121212122222121==--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-xxyyyyxxyxyx，∴kl=34∴l的方程为y=34(x－2)+2,由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)2(3410891222xyyx,消去y,整理得x2－4x+28=0.∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l不存在.10.解：(1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d=1|2|2+kk=1,解得k=±1.即渐近线为y=±x,又点A 关于y=x 对称点的坐标为(0，2). ∴a=2=b,所求双曲线C 的方程为x2－y2=2.(2)设直线l ：y=k(x －2)(0＜k ＜1),依题意B 点在平行的直线l ′上，且l 与l ′间的距离为2. 设直线l ′：y=kx+m,应有21|2|2=++k m k ,化简得m2+22km=2. ② 把l ′代入双曲线方程得(k2－1)x2+2mkx+m2－2=0,由Δ=4m2k2－4(k2－1)(m2－2)=0.可得m2+2k2=2 ③ ②、③两式相减得k=2m,代入③得m2=52,解设m=510,k=552,此时x=2212=--k mk ,y=10.故B(22,10).11.解析(1)设1122(,),(,)A x y B x y , 则1212(,)22x x y y M ++ 则有2211142x y -=…………………..①2222142x y -=………………………..②①-②得12121212()()2()()0x x x x y y y y +--+-=∵12122,2x x y y +=+=121212AB y y k x x -∴==-11(1)2AB y x ∴-=-直线方程为210x y ⇒-+=∵双曲线的一条渐近线方程为2y x =,而122<,210x y ∴-+=直线与双曲线交于两点.210x y ∴-+=为所求.(2)假设过N 直线l 交双曲线于, 1122(,),(,)C x y D x y 则有2211142x y -=,2222142x y -=.两式相减得12121212()()2()()0x x x x y y y y +--+-=∵121212,2,1x x x x y y ≠+=+=12121CD y y k x x -∴==-∵双曲线的一条渐近线方程为,122y x =>而, ∴直线l 与双曲线没有公共点.∴以1(1,)2N 为弦中点的直线不存在. 【点评】”设而不求”是保证A 、B 两交点存在的情况下,所采用整体运算求直线方程的方法,但如果是假定直线与曲线存在两个交点A 、B 为前提下求出直线l ,则必须验证l 与圆锥曲线公共点的存在性.。