1．（1）操作发现· 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗说明理由．
（2）问题解决 》
保持（1）中的条件不变，若DC ＝2DF ，求AB
AD
的值；
（3）类比探究
保持（1）中的条件不变，若DC ＝n ·DF ，求AB
AD
的值．
|
>
,
F
2．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB＝75º，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．
（1）求∠AED的度数；
（2）求证：AB＝BC；
]
（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC＝30º．
求DF
FC的值．
& ` A
$C
D
E
图1
A
B C
D
E
图2
F
3.如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．AD＝2cm，BC ＝6cm，AE＝4cm．点P、Q分别在线段AE、DF上，顺次连接B、P、Q、C，线段BP、PQ、QC、CB所围成的封闭图形记为M．若点P在线段AE上运动时，点Q也随之在线段DF上运动，使图形M的形状发生改变，但面积始终
．．为10cm2．设EP＝x cm，FQ＝y cm，解答下列问题：
…
（1）直接写出当x＝3时y的值；
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当x取何值时，图形M成为等腰梯形图形M成为三角形
（4）直接写出线段PQ在运动过程中所能扫过的区域的面积．
—·
A
B C
D
E!
（备用图）
A
B C
D
E F
Q
P
|
图①
>
4．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC ，△A 1B 1C 1．
）
（1）将△ABC ，△A 1B 1C 1如图②摆放，使点A 1与B 重合，点B 1在AC 边的延长线上，连接CC 1交BB 1于点E ．求证：∠B 1C 1C ＝∠B 1BC ．
；
（2）若将△ABC ，△A 1B 1C 1如图③摆放，使点B 1与B 重合，点A 1在AC 边的延长线上，连接CC 1交A 1B 于点F ．试判断∠A 1C 1C 与∠A 1BC 是否相等，并说明理由．
！
《
图 ①
A
C A 1 B 1
C 1
￥ C 1 C B 1
B A (A 1) E 图 ②
C 1 1$ (B 1) F 图 ③
5．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝3
2，P是AC上的一个动点．
（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；
:
（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；
（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC 上求出此时□DPBQ的面积．
—
/ ）A B
C
D
'
6．如图1，已知长方形ABED，点C是边DE的中点，且AB＝2AD．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）保持图1中ABC的固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系并给予证明；
（3）保持图2中△ABC的固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系并给予证明．
| （A B
C
D：
图1
A B
|
D
E
图3
N
M
（B
C
D
E
图2
N
M
$
7．如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠BAD＝120°，∠MAN＝60°，将图1中的∠MAN绕点A按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜120°），边AM、AN分别交直线BC、CD 于E、F两点．
（1）当0°＜α≤60°时，其他条件不变，如图2、如图3所示．
①如图2，判断线段BE、DF、EF的数量关系，并直接写出结论；
②如图3，①中的结论是否依然成立若成立，请利用图3证明；若不成立，说明理由．（2）当60°＜α＜120°时，其他条件不变，请在图4中画出一个
．．符合条件的图形，直接写出所画图形中线段BE、DF、EF的数量关系．
!
$
图1
A
B C
&
M
N
图2
A
B,
D
M
N
E F
图3
A
~C
D
M
F
E
N
图4
A
B C
D
!
）
8．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C 作CF∥DE交AB于点F．
（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF＝CD；
（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；
（3）若点D是BC边的任意一点（除B、C外如图②），那么，（1）中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
；
》》
F
E
A
B C
D
图①
F
E
A
B！
D
图②
(
9．如图1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＜AB＜2BC．在AB边上取一点M，使AM＝BC，过点A作AD⊥AB且AD＝BM，连接DC，再过点A作AN∥DC，交直线CM、CB于点E、N．（1）求证：∠AEM＝45°；
（2）若将题中的条件“BC＜AB＜2BC”改为“AB＞2BC”，其它条件不变，请在图2中画出图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请猜想∠AEM的度数，并说明理由．
#
、>
N
E
D
C
A B
M
图1
^
A B
图2
》
10．在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA 绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．
（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；
（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB 的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝QD，请直接写出α的范围．
，）
图1
A
、
C
Q
M(P)
《
图2
A
B
C
Q
P
M。
11．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F 为线段AD的中点，连接CF．
（1）如图1，当点D在BC边上时，BE与CF的数量关系是____________，位置关系是____________，请证明；
（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明；
·
A
B C
、
E
F
图1
%
B C
D
E
F
图2
$
.
12.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G 为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
:
A D
第24题图①
】D E
第24题图②
]
13. 如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. ！
（1）求点E 到BC 的距离； （2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =. ①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；
②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.
A D E
B
F C
图4（备用）
A D E B
F C
图5（备用）
A D E B
F C 图1 图2 A D E B F C P N M
图3 A D
E B
F C P N
M （第25题）。