2017年北京大学物理科学营资格赛试题总分：140分 2017年8月8日 时间：2.5小时一、简答题（1-4小题，共30分）1.（6分）如图所示，将劲度系数为 k ，质量为 m 的均匀弹性体竖直朝下悬挂着，静止平衡后，弹性体伸长量为 ∆L 1=mg (2k )⁄ 。

将此弹性体平放在光滑水平面上，用沿弹性体方向的恒力 F ⃑ 拉其一端，最终达到无内部相对运动的状态，试求弹性体伸长量 ∆L 。

2.（6分）某理想气体的一条等温线 T ，与一条绝热线 S ，如图1所示地相交于两点，试问这将会违反哪些热力学定律？若该理想气体的一条等温线 T ，与一条绝热线 S ，如图2所示地相交于两点，再问这将会违反哪些热力学定律？3.（10分）如图所示，半径为 R 的球面均匀带电，总量 Q >0 。

其外有半径为 2R 的同心球面也均匀带电，总量也为 Q 。

试求全空间的电场能 W e1 。

解答过程中不可出现积分式，下同。

设想令外力缓慢地将 R 球面上电荷 Q ，一起移动到 2R 球面上，使 2Q 电荷均匀分布在 2R 球面上，再求全空间电场能 W e2 和外力做功 A ，并对所得 A 值作一定性解释。

4.（8分）如图所示，平凸透镜 L 的右侧放置一块与 L 主光轴垂直的平面镜 M ，在 L 的左侧主光轴上放置一个小发光物 S 。

将 S 沿主光轴平动， S 在三个位置上均可出现一个重合在 S 上的实像，试说明每一个实像出现的原因。

二、计算题（5-9小题，共110分）5.（20分）在焦距为 15 cm 的会聚透镜左方 30 cm 处放一物体，在透镜右侧放一垂直于主光轴的平面镜。

试求平面镜的的位置与透镜的间距 d 取何值，方能使物体通过此系统（经一次平面镜反射、两次透镜透射）所成的像与透镜相距 30 cm ？6.（20分）试证：任意正循环过程的效率，不可能大于工作在它所经历的最高热源温度与最低热源温度之间的可逆卡诺循环过程的效率。

T VpS 图1SVpT图2QQ R2RSLM7.（24分）如图所示，竖直固定、内壁光滑的两条平行细长直轨道相距l 。

左侧轨道内悬挂着自由长度为l 、劲度系数为k 的均匀轻弹簧，弹簧下端连接质量为m 的小球1，开始时静止在其平衡位置，此时弹簧伸长l 。

右侧轨道内在等高处悬挂着自由长度为2l 、劲度系数为2k 的均匀轻弹簧，弹簧下端连接质量为2m 的小球2，开始时弹簧无形变，球2静止。

两个小球间连接着一根长为2l 的细轻绳。

今将球2从静止自由释放，小球便会在轨道内无摩擦地上、下运动。

过程中，若轻绳被拉直到2l 的长度，轻绳便会在极短时间内为球1、2提供冲量，使它们改变运动状态，假设过程中轻绳不会损耗机械能。

（1）试求在以后的运动过程中，球1、2各自所能达到的最低位置和最高位置之间的高度差1h ∆、2h ∆（答案中不可出现参量k 和m ）；（2）再求从开始到球2第一次达到其最高位置所经过的时间间隔t ∆（答案中不可出现参量k 和m ）。

8.（22分）如图所示，惯性系 S 中的 O −xy 平面上，有一根与 x 轴夹角为 ϕ ，整体沿 x 轴方向以匀速度 v ⃑ 高速运动的细杆 AB 。

已知 ϕ=30° 时，S 系测得杆 AB 的长度为 l 1 。

（1）改取 ϕ=45° ，保持 v ⃑ 不变，试求 S 系测得的杆长 l 2 。

（2）仍取 ϕ=45° ，保持 v ⃑ 不变。

设 t =0 时，杆的 A端位于坐标原点 O ，此时有一个质点 P 恰好位于 A 端，沿着杆 AB 朝着 B 端运动，S 系测得 P 相对杆 AB 的运动速度大小也恰好为 v 。

（设 v <0.54 c ） （2.1）试求 P 到达 B 端的时刻 t e ；（2.2）试求在 t =0 到 t =t e 时间段内，P 在 O −xy 平面上运动迹线的数学方程 y =y (x ) 。

（3）设 v <0.54 c ，再设 P 在杆的 A 端时，其时钟读数为 t p0=0 ，试求 P 到达杆的 B 端时，其时钟读数 t pe 。

9.（24分）真空中有一固定的点电荷 Q >0 ，另有一粒子加速枪，可用同一加速电压加速各静止粒子。

现有两种带负电粒子 P 1 、 P 2 ，经该枪加速后进入 Q 的电场区域，枪口发射方向垂直于 Q 到枪口连线。

（1）若粒子 P 1 、 P 2 进入 Q 场区域后能作匀速圆周运动，已知加速电压为 U ，求圆半径 r 0 ；（2）现用两支相同的枪，枪口与点电荷 Q 相距 r 0 且在同一位置，调整发射角，使两枪发射角都偏 r 0 处切向一个小角度。

两枪分别同时发射 P 1 、 P 2 ，当 P 1 、 P 2 进入 Q 场区域后，分别绕 Q 作某种运动，某时刻 P 1 、 P 2 同时回到原出发点，P 1 绕 Q 转3圈，P 2 绕 Q 转2圈，求两者荷质比之比 ν1:ν2 。

忽略粒子间的相互作用及相互碰撞的可能性。

,l k l2,2k lm2m l 自由长度自由长度伸长量轻绳球1 （静止）球2（静止）Ax yO BϕP v ⃑2017年北京大学物理科学营资格赛参考解答与评分标准一、简答题（1-4小题，共30分） 1.（6分）答：取弹性体质心参考系，其中体分布的平移惯性力 F ⃑i =m i (−a ⃑c ) ， a ⃑c =F ⃑/m （3分） 取代了重力 m i g ，其间标量关系为 g~F m ⁄ ，即得 ∆L =m (Fm )2k ⁄=F/2k （3分）2.（6分）答：图1中出现的一个正循环过程，会从单一热源吸热，全部用来对外作机械功，违反热力学第二定律。

图2中出现的一个正循环过程，一则应从单一热源吸热，全部用来对外作机械功，违反热力学第二定律，再则事实上是向热源放热，同时又对外作机械功，故违反热力学第一定律。

（3分）+（3分）3.（10分）答：初态、末态均可取为由无穷小面元电荷 σi dQ i 为基元（点电荷）构成的面分布电荷系统，其全空间电场能即为系统电势能。

初态：2R 球面电势：2Q 4πε0∙2R，球心电势：Q4πε0∙2R+Q 4πε0RR 球面所围空间为零场强区：即为等势区，故 R 球面电势同于球心电势，即为Q 4πε0∙2R +Q4πε0R初态系统电势能：W 1=12Q ∙2Q 4πε0∙2R +12Q (Q4πε0∙2R+Q 4πε0R)全空间电场能：W e1=W 1=5Q 216πε0R （4分） 末态：2R 球面电势：2Q4πε∙2R，系统电势能：W 2=12(2Q )2Q4πε0∙2R全空间电场能：W e2=W 2=Q 24πε0R 外力作功：A =W e2−W e1=−Q 216πε0R（3分）A 值的定性解释：（定量内容供参考）2R 球面外的电场结构与能量，和初态完全相同。

R 球面到 2R 球面间区域的电场从 E ⃑⃑(r ⃑)=Qr ⃑(4πε0r 3)⁄ 减到 E ⃑⃑(r ⃑)=0 ，其场能从 ∆W e =∫12ε0E 2(r ⃑)4πr 2dr 2R R =Q 2(16πε0R )⁄ 减到 ∆W e =0 。

过程中作用在 Q 电荷上径向朝里的外力几乎抵消径向朝外的电场力，过程中外力作负功，使 R →2R 间电场能随电场归零，故必有 A +∆W e =0 ，即 A =−∆W e =−Q 216πε0R ⁄ 。

（3分）4.（8分）答：其中一个实像是因为 S 所在位置恰好是 L 物方空间的焦点 F 上， S 发出的物光透过 L 成平行光，经 M 发射后又在 F 处会聚成实像。

（4分）第二个实像是因为从 S 所在位置发出的物光经 L 成实像在的 M 左侧平表面上，由光路可逆，其反射光又成实像在 S 上。

（3分）第三个实像是因为 S 从所在位置发出的物光经 L 左侧平表面折射，又经 L 右侧凹球面反射，最后再经 L 左侧平表面折射后成实像在 S 上。

（3分）二、计算题（5-9小题，共110分） 5.（20分）解：先讨论会聚透镜的第一次成像：f =15 cm ，u 1=30 cm ，v 1=u 1fu 1−f=30 cm像是倒立的实像。

第二步是平面镜成像：u 2=d −v 1 ，v 2=−u 2=v 1−d d ：平面镜与透镜的间距所成的像，相对第一次成像的像为正立的。

再看会聚透镜的第二次成像：u 3=d −v 2=d −(v 1−d )=2d −v 1v 3=u 3fu 3−f =(2d −v 1)∙f 2d −v 1−f =(2d −30)×152d −30−15=(d −15)×302d −45凸透镜的这次成像，有两种情形都会符合题文要求，即像可在透镜的两侧。

（1）若为实像，v 3=30 cm ，代入上式得d =30 cm （10分）（2）若为虚像，v 3=−30 cm ，代入上式得d =20 cm （10分）6.（20分）证：先设讨论的循环过程为可逆过程，它可分解为一系列无穷小的可逆卡诺循环（用密集的绝热线加以分解）。

对每一无穷小可逆卡诺循环过程，其最高温度 T 1i 和最低温度 T 2i 与全循环过程最高温度 T m 和最低温度 T n 间有下述关系：1−T 2i T 1i ≤1−T n T m即得ηi =dW idQ i ⁄=1−T 2i T 1i ≤1−T n T m =η∗ ⟹dW i ≤η∗dQ i于是η=∑dW i ∑dQ i ⁄≤η∗∑dQ i ∑dQ i ⁄=η∗⟹η≤η∗ （12分）再设讨论的循环过程为不可逆过程，则每一无穷小卡诺循环或为可逆，或为不可逆，有ηi =dW idQ i ⁄≤1−T 2i T 1i ≤1−T n T m=η∗⟹dW i ≤η∗dQ i 其中等号仅可能对应于可逆的无穷小卡诺循环 同理，有η=∑dW i ∑dQ i ⁄<η∗∑dQ i ∑dQ i ⁄=η∗⟹η<η∗ （8分）7.（24分）解：由球1力平衡关系，可得k =mg/l球1、2被轻绳短时间作用隔离开的各段运动均为简谐振动，角频率和周期分别同为ω=√k m =√2k 2m =√g l ，T =2πω⁄=2π√l g球2从静止自由释放后，经过时间间隔∆t 1=T/4降落高度和下落速度分别为A 2上=2mg 2k ⁄=l ，v 20=ωA 2上=√gl即到达其力平衡位置。

此时细绳从本来松弛状态第一次达到长为 √2l 的伸直状态。

由球1、2和细绳构成的系统，在细绳与两个小球相互作用的极短时间内，竖直方向弹簧和重力提供的冲量可略。

将此过程后瞬间球1、2向下速度分别记为 v 1 和 v 2 ，如题解图中虚线箭矢所示。

由方程{mv 1+2mv 2=2mv 2012mv 12+12(2m )v 22=12(2m )v 202 可解得v 1=43v 20=43√gl ，v 2=13v 20=13√glv 1>v 2 ，绳又将处于松弛状态。