AB
C
B
在Rt △ ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt △ ABC是 等腰直角三角形，由勾股定理得
AB AC BC 2BC
2 2 2
2
AB 2 BC
BC BC 1 2 因此 AB 2 2 BC 2
结论：在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个 直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 2
AC 12 sin B AB 13
C
A
练一练
1.判断对错: BC (1) 如图 (1) sin A= （√ ）
BC (2)sinB= （×） AB
(3)sinA=0.6m （×） A
（√ ）
AB
B 10m 6m C
注意：sin A是一个比（注意比的顺序），没有单位；
(4)SinB=0.8
BC (2)如图，sin A= （ ×） AB
B' B 30m A C 50m C'
A的对边 B' C ' 1 , 斜边 AB' 2
AB'＝2B ' C ' ＝2×50＝100
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形 1 的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 2
A 如图，任意画一个Rt △ ABC，使∠C＝ 90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜 边的比 BC ，你能得出什么结论？
2 2
2. 我的问题是…… 课外思考: 0 sin 60 ?
1、 在Rt △ＡＢＣ中， ∠Ｃ＝900
(1)若AB=13,AC=12,求sin A
(2)若BC=8,AC=15,求sinA，sinB 3 (3)若AB=10, sinA= ，求BC,sinB 5
练习
根据下图，求sinB的值．
解： （1）在Rt△ABC中，
BC 与 AB
B' C ' 有什么关系．你能解释一下吗？ A' B '
B
B'
A
C
A'
C'
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以 Rt△ABC∽Rt△A'B'C' BC B' C ' AB A' B' 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角 形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．
2
综上可知，在一个ห้องสมุดไป่ตู้t △ ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A 1 的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A 2
的对边与斜边的比都等于 2 ，也是一个固定值.
2
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对 边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究
任意画Rt △ ABC和Rt △ A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 那么
AB BC AC m n
2 2 2 2
B
m
A
n
C
因此
AC sin B AB n m2 n2 2 2 m2 n2 m n n
求sin A就是 要确定∠A的对 边与斜边的比； 求sin B就是要确 定∠B的对边与 斜边的比
0
RtABC ， C 90 0 ，AB 13, 2.(2012南州) BC 5, sin B
B
5 A. 13
12 B. 13
5 C. 12
13 D. 5
A
C
小结
拓展
1.锐角三角函数定义: sinA= sin300
∠A的对边 斜边
回味无穷
斜边
B
∠A的对边 A ┌ C
1 = 2
sin45°=
B 3 A 4 C
BC 3 因此 sin A AB 5
求sin A就是 要确定∠A的对 边与斜边的比； 求sin B就是要确 定∠B的对边与 斜边的比
sin B
AC 4 AB 5
（2）在 Rt△ ABC中， 因此
sin A
2
BC 5 AB 13
2 2 2
B
13 5
AC AB BC 13 5 12
但相关的线段长度题目没有直接给出， 还需要我们进一步计算才能得到。 不妨换个角度思考这个问题： 因为∠B=∠ACD，
A
C
6
4
D
B
4 2 所以sin B sin ACD 6 3 总结：求一个角的正弦值，除了用定义直接求外， 还可以转化为求和它相等角的正弦值。
0 1 60 1.( 2012 ) RtABC ， C 90 ， A , B ____ sin 2
A
C
分析： 这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝35m，求AB 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即
A的对边 BC 1 斜边 AB 2
可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的 水管？
1
Ｄ
2
2
45° 30°
2
Ｃ
Ｂ
3
Ｆ
2
Ｅ
BC sin A AB EF sin D DE
3 AC 1 , sin B 2 AB 2 2 DF 2 , sin E 2 DE 2
练习
如图，Rt△ABC中，∠C= 90 ° ，CD⊥AB，AC=6，AD=4， 求sinB的值。
AC sin 分析：在Rt△ABC中， B AB CD 在Rt△BCD中，sin B BC
正弦函数
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比 值叫做∠A的正弦（sine），记住sinA 即 B
A的对边 a sin A 斜边 c
A 例如，当∠A＝30°时，我们有
斜边
c
b
a 对边 C
1 sin A sin 30 2

在图中 ∠A的对边记作a
当∠A＝时，我们有
练一练 2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍，sinA的值（ C ）
A.扩大100倍
1 B.缩小 100
C.不变
B 3.如图 A 3
D.不能确定
则 C
1 2 sinA=______
.
300 7
注意：sinA中∠A的度数确定，不管∠A出现在哪里， sinA的值也不会变化。
1、在Rt△ＡＢＣ和Rt△ＤＥＦ中，∠Ｂ＝30° ， ∠Ｄ＝45°， ∠Ｃ＝90 ° ，∠Ｆ＝ 90 ° , 若ＡＢ＝ＤＥ＝２，求图中各个锐角的正弦值。 Ａ
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
C
B
AB=54.5m BC=5.2m
根据已知条件，你能用 塔身中心线与垂直中心 线所成的角度来描述比 萨斜塔的倾斜程度吗？
θ
A
情 境 探 究
问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设 水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得 斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么 需要准备多长的水管？ B
2 sin A sin 45 2

∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
注意： sinA中是没有角符号的，如 sin45°中度数是没有∠符号的。
例题示范
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 sinA和 sinB的值．
解： （1）在 Rt △ABC中，
AB AC 2 BC 2 4 2 32 5