2019-2020年高二月考试题（数学理）一、选择题1. 求曲线2y x =与y x =所围成图形的面积，其中正确的是（ ）A ．120()S x x dx =-⎰B ．120()S x x dx =-⎰C ．12()S yy dy =-⎰D ．10(S y dy =⎰答案 B2.右图是函数b ax x x f ++=2)(的部分图象，则函数()ln ()g x x f x '=+的零点所在的区间是 （ ）A 11(,)42B (1,2)C 1(,1)2 D (2,3) 答案 B3. 直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M,N 两点，若MN ≥k 的取值范围是（ ）A. 304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B. []304⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦，，C. ⎡⎢⎣⎦ D. 203⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 答案 A.4. 函数xx y 142+=单调递增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),21(+∞ D ．),1(+∞ 答案 C. 5函数xxy ln =的最大值为（ ） A ．1-e B ．e C ．2e D ．310答案 A.6 曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是( ) A.4 B. 52C.3D.2答案 C.7. 设a ∈R ，若函数()3ax y e x x R =+∈有大于零的极值点，则（ ）.3A a >-.3B a <-1.3C a >-1.3D a <-答案 B.8.已知实数d c b a ,,,成等比数列，且对函数x x y -+=)2ln(，当b x =时取到极大值c ，则ad 等于( ) A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 答案 A.9. 对于R 上可导的任意函数f （x ），且'(1)0f =若满足（x －1）f x '（）>0，则必有 （ ） A 、f （0）＋f （2）<2f （1） B 、f （0）＋f （2）≥2f （1） C 、f （0）＋f （2）>2f （1） D 、f （0）＋f （2）≥2f （1） 答案 C.10. 给出以下命题：⑴若()0b af x dx >⎰，则f (x )>0； ⑵20sin 4xdx =⎰π;⑶f (x )的原函数为F (x )，且F (x )是以T 为周期的函数，则()()a a T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0答案 B11. 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ）A ．23x y =或23x y -= B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92= 答案 D.12.双曲线的虚轴长为4，离心率26=e ，1F 、2F 分别是它的左、右焦点，若过1F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，且||AB 是||2AF 的等差中项，则||AB 等于（ ） A ．28 B ．24 C ．22 D ．8． 答案 A 二、填空题：13．双曲线221tx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则这双曲线的离心率为14．曲线S ：y=3x-x 3的过点A （2，-2）的切线的方程是 y=-9x+16或y=-2.15.计算定积分：dx x x ⎰+20)sin (π＝ 218π+16. 函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为__4,11-_____.17. 已知(0,4),(3,2)A B -，抛物线28y x =上的点到直线AB 的最短距离为___5__ 18. 设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于4-设函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 22k -＋1在区间（0，4）上是减函数，则k 的取值范围是 13k ≤三、解答题19.( 本小题10分)已知椭圆22143x y +=，试确定m 的值，使得在此椭圆上存在不同两点A 、B 关于直线4y x m =+对称.解：设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)M x y ，21211,4AB y y k x x -==--而22113412,x y +=22223412,x y +=相减得222221213()4()0,x x y y -+-= 即1212003(),3y y x x y x +=+∴=，000034,,3x x m x m y m =+=-=-而00(,)M x y 在椭圆内部，则2291,43m m +<即1313m -<<. 20.（本小题12分）如图，直线l 与抛物线x y =2交于),(,),(2211y x B y x A 两点，与x 轴相交于点M ，且121-=y y . （1）求证：M 点的坐标为)0,1(； （2）求证：OB OA ⊥；（3）求AOB ∆的面积的最小值.A(1) 设M 点的坐标为)0,(0x , 直线l 方程为0x my x +=, 代入x y =2得002=--x my y ① 21,y y 是此方程的两根, ∴1210=-=y y x ，即M 点的坐标为（1, 0）. (2 ) ∵ 121-=y y∴ 0)1(21212122212121=+=+=+y y y y y y y y y y x x∴ OB OA ⊥.（3）由方程①，m y y =+21, 121-=y y , 且 1||0==x OM ,于是=-=∆||||2121y y OM S AOB 212214)(21y y y y -+=4212+m ≥1， ∴ 当0=m 时，AOB ∆的面积取最小值1.21．（本小题满分12分）设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．解：根据求导法则有2ln 2()10x af x x x x'=-+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，， 于是22()10x F x x x x-'=-=>，， 列表如下：故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>．于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>．从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．22.（本小题满分12分）已知函数ax ax x f 313)(23-+-= （I ）若函数)(x f 在1-=x 时取到极值，求实数a 的值； （II ）试讨论函数)(x f 的单调性；（III ）当1>a 时，在曲线)(x f y =上是否存在这样的两点A ，B ，使得在点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，若存在，试求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.答案 7、x ax x f 63)(2-=' （0≠a ） ……………1分 （I ）∵函数)(x f 在1-=x 时取到极值 ∴063)1(=+=-'a f 解得2-=a经检验2-=a 函数)(x f 在1-=x 时取到极小值（不检验扣1分） ∴实数a 的值－2 …………………………3分 （II ）由0)(='x f 得0=x 或ax 2= …………………………4分 ①当0<a 时，02<a 由0)(>'x f 得02<<x a由0)(<'x f 得02><x ax 或∴函数)(x f 得单调增区间为)0,2(a ，单调减区间为),0()2,(+∞-∞和a…………6分②当0>a 时，02>a ，同理可得函数)(x f 得单调增区间为),0()2,(+∞-∞和a，单调减区间为)0,2(a………………………………8分（II ）假设存在满足要求的两点A ，B ，即在点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，则0==B A k k 即063)(2=-='x ax x f 解得0=x 或ax 2=∴A )31,0(a -,B )314,2(2aa a -+- 又线段AB 与x 轴有公共点，∴0≤⋅B A y y ， …………………………10分即0)314)(312≤-+--a aa （ 又1>a ，解得43≤≤a 所以当43≤≤a 时，存在满足要求的点A 、B. …………………………12分23.（本小题满分12分）设函数21()ln .2f x x ax bx =-- （1）当12a b ==时，求)(x f 的最大值； （2）令21()()2aF x f x ax bx x=+++，（03x <≤），其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤21恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0a =，1b =-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．【分析】（1）函数的定义域是(0,)+∞，把12a b ==代入函数解析式，求其导数，根据求解目标，这个导数在函数定义域内只有一个等于零的点，判断这唯一的极值点是极大值点即可；（2）即函数()F x 的导数在(0,3]小于或者等于12恒成立，分类参数后转化为函数的最值；（3）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程22()mf x x =有唯一实数解，得到m 所满足的方程，解方程求解m 。

【解析】（1）依题意，知)(x f 的定义域为（0，+∞），当21==b a 时，x x x x f 2141ln )(2--=，xx x x x x f 2)1)(2(21211)('-+-=--=（2′）令)('x f =0，解得1=x ．（∵0>x ） 因为0)(=x g 有唯一解，所以0)(2=x g ，当10<<x 时，0)('>x f ，此时)(x f 单调递增； 当1>x 时，0)('<x f ，此时)(x f 单调递减。