证明数列不等式的常用放缩方法技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1(
⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+<⋅；2)1()1(++<+n n n n
⑷二项式放缩: n n n n n n C C C +++=+=Λ10)11(2,1210+=+≥n C C n n n ,
2
222210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n (5)利用常用结论：
Ⅰ.
的放缩 Ⅱ. 21k
的放缩(1) ：
2111(1)(1)k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k
k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2
1k 的放缩(3)：221
4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++<m b a m
a m
b a b
记忆口诀“小者小,大者大”。

解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之亦然.
Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。

例：()(0)1x f x x x
=≥+，从而实现利用函数单调性质的放缩：()()f a b f a b +≤+。

一． 先求和再放缩
例1.)
1(1+⋅=
n n a n ,前n 项和为S n ，求证：1<n s
例2.n n a )31(= , 前n 项和为S n ，求证：2
1<n s
二． 先放缩再求和 （一）放缩后裂项相消
例3．数列
{}n a ，11(1)n n a n +=-，其前n 项和为n s
，求证：
22n s <
（二）放缩后转化为等比数列。

例4. {}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+
（1） 用数学归纳法证明：n b n ≥
（2）
1231111...3333n n T b b b b =
++++++++，求证：12n T <
三、裂项放缩 例5.(1)求∑=-n k k 12142的值; (2)求证:35112<∑=n k k .
例6.(1)求证:)2()12(2167)
12(151311222≥+->-++++n n n Λ
(2)求证:n
n 412141361161412-≤++++Λ (3)求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n n
n Λ
例7.求证:3
5191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ
例8.已知n n n a 24-=,n n n
a a a T +++=Λ212,求证:2
3321<++++n T T T T Λ.
四、分式放缩
姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++<m b a m a m b a b
记忆口诀”小者小,大者大”
解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之亦然. 例9. 姐妹不等式:12)1
211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ和
1
21)211()611)(411)(211(+<+---n n Λ也可以表示成为 12)
12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n ΛΛ和121
2642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n ΛΛ
例10.证明:.13)2
311()711)(411)(11(3+>-++++n n Λ
五、均值不等式放缩
例11.设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n Λ求证.2)1(2)1(2
+<<+n S n n n
例12.已知函数bx a x f 211)(⋅+=，a>0,b>0,若5
4)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最大值为21， 求证：.2121)()2()1(1
-+>++++n n n f f f Λ
六、二项式放缩
n n n n n n C C C +++=+=Λ10)11(2,1210+=+≥n C C n n n ,
例13.设N n n ∈>,1，求证)
2)(1(8)32(++<n n n .
例14. n n a 32⋅= , 试证明：.121111424n n n a a a +++<+L ≤
七、部分放缩(尾式放缩)
例15.求证:
74123112311311<+⋅+++⨯++-n Λ
例16. 设++=a n a 2
11.2,131≥++a n a a Λ求证：.2<n a
八、函数放缩
例17.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n
∈+-<++++Λ.
例18.求证:)2()
1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n αααααααΛ
例19. 求证:n n n 1211)1ln(113121+++<+<++++ΛΛ
九、借助数列递推关系
例20. 若1,111+=⋅=+n a a a n n ,求证:)11(211121-+≥+++n a a a n Λ
例21.求证:1222642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n
n ΛΛΛ
十、分类放缩 例22.求证:2
12131211n n >-++++Λ。