第二章 事件与概率1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？解：这五个字母自左往右数，排第i 个字母的事件为A i ，则42)(,52)(121==A A P A P ，21)(,31)(1234123==A A A A P A A A P 1)(12345=A A A A A P 。

利用乘法公式，所求的概率为()()()()12345123412312154321)()(A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P A A A A A P =301121314252=⋅⋅⋅⋅= 2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。

解：有三个孩子的家庭总共有23=8个类型。

设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A 的有利场合数为7，AB 的有利场合为6，依题意所求概率为P （B|A ），则()768/78/6)()(===A P AB P A B P . 3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。

3、解：（1）M 件产品中有m 件废品，m M -件正品。

设A={两件有一件是废品}，B={两件都是废品}，显然B A ⊃，则 ()1122()/m M m m M P A C C C C -=+ 22/)(M m C C B P =， 题中欲求的概率为)(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==121/)(/221122---=+=-m M m C C C C C C M m m M m M m . （2）设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然A B ⊂，则(),/)(2112M m M m m M C C C C A P --+= 211/)(M m M m C C C B P -=. 题中欲求的概率为)(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==12/)(/2112211-+=+=---m M m C C C C C C C M m M m m M M m M m . （3）P{取出的两件中至少有一件废品}=())1()12(/2211---=+-M M m M m C C C C M m m M m .4、袋中有a 只黑球，b 只白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后不放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。

解：A={甲取出一球为白球}，B={甲取出一球后，乙取出一球为白球}，C={甲，乙各取出一球后，丙取出一球为白球}。

则 )()(b a a A P += 甲取出的球可为白球或黑球，利用全概率公式得 )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=ba b b a b b a a b a b b a b +=-+⋅++-+-⋅+=111 甲，乙 取球的情况共有四种，由全概率公式得)|()()|()()|()()|()()(B A C P B A P B A C P B A P B A C P B A P AB C P AB P C P +++=21)1)((22)1)(()1(-+-⋅-+++-+-⋅-++-=b a b b a b a ab b a b b a b a b b 2)1)(()1(21)1)((-+⋅-++-+-+-⋅-+++b a b b a b a a a b a b b a b a ab ba b b a b a b a b a b a b +=-+-++-+-+=)2)(1)(()2)(1(. 5、从{0，1，2，…，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。

解：设B={两数之和大于10}，A i ={第一个数取到i}，9,,1,0 =i 。

则101)(=i A P ， 5,3,2,9/)1()|(,0)|()|(10 =-===i i A B P A B P A B P i ;,9/)2()|(-=j A B P j9,8,7,6=j 。

由全概率公式得欲求的概率为∑====90356.04516)|()()(i i i A B P A P B P . 6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α只白球，β只黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？解：设A 1={从甲袋中取出2只白球}，A 2={从甲袋中取出一只白球一只黑球}，A 3={从甲袋中取出2只黑球}，B={从乙袋中取出2只白球}。

则由全概率公式得)()|()()|()()|()(332211A P A B P A P A B P A P A B P B P ++=221122221222222222a a ab b a a b a b a b C Cc C C c C c c C C C C ααβαβαβ+++++++++++=++. 7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？ 解：A 1={从第一袋中取出一球是黑球}，……，A i ={从第一袋中取一球放入第二袋中，…，再从第1-i 袋中取一球放入第i 袋中，最后从第i 袋中取一球是黑球}，N i ,,1 =。

则)()(,)(11b a b A P b a a A P +=+=. 一般设)()(b a a A P k +=，则)()(b a b A P k +=，得 )()()|()()|()(111b a a A P A A P A P A A P A P k k k k k k k +=+=+++. 由数学归纳法得 )()(b a a A P N += 8、飞机有三个不同的部分遭到射击，在第一部分被击中一弹，或第二部分被击中两弹，或第三部分被击中三弹时，飞机才能被击落，其命中率与每一部分的面积成正比，设三个部分的面积的百分比为0.1，0.2，0.7，若已击中两弹，求击落飞机的概率。

解：设A 1={飞机第一部分中两弹}，A 2={飞机第二部分中两弹}，A 3={飞机第一部分仅中一弹}，A 4={其它情况}，则.),(4321Ω=+++≠=A A A A j i A A j i φ.04.02.02.0)(,01.01.01.0)(21=⨯==⨯=A P A PA 3={第一弹中第一部分且第二弹中第二部分，或第一弹中第一部分且第二弹中第三部分，或第一弹中第二部分且第二弹中第一部分，或第一弹中第三部分且第二弹中第一部分}，18.01.07.01.02.07.01.02.01.0)(3=⨯+⨯+⨯+⨯=A P ，.77.0)]()()([1)(3214=++-=A P A P A P A P设B={飞机被击落}，则 .0)|(),3,2,1(1)|(4===A B P I A B P i由全概率公式得∑==41)()|()(i i i A P A B P B P .23.018.004.001.0=++= 错误算法： 3()0.10.20.10.70.09P A =⨯+⨯=，设B={飞机被击落}，则 .0)|(),3,2,1(1)|(4===A B P I A B P i由全概率公式得∑==41)()|()(i ii A P A B P B P 0.010.040.090.14.=++= 原因是忽略了飞机中弹的次序。

9、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n回时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。

解：设A i ={第i 回出正面}，记)(i i A P p =，则由题意利用全概率公式得)()|()()|()(111i i i i i i i A P A A P A P A A P A P ++++=(1)(1)(21)(1i i i p p p p p p p =+--=-+-。

已知c p i =，依次令1,,2,1 --=n n i 可得递推关系式 ),1()12(1p p p P n n -+-=- ,),1()12(21 p p p P n n -+-=--).1()12()1()12(12p c p p p p P -+-=-+-=解得,)12(])12()12()12(1)[1(122---+-++-+-+-=n n n p c p p p p P当1≠p 时利用等比数列求和公式得11)12()12(1)12(1)1(---+-----=n n n p c p p p p .)12()12(212111---+--=n n p c p （*） （1）若1=p ，则C p C p n n n =≡∞→lim ,； （2）若0=p ，则当12-=k n 时，c p n =；当k n 2=时，c p n -=1。

若21=c ，则21lim ,21=≡∞→n n n p p 若121≠c ，则n n p c c ∞→-≠lim ,1不存在。

（3）若10<<p ，则由（*）式可得.21)12()12(2121lim lim 11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=--∞→∞→n n n n n p c p p 10、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。

以pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。

试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。

解：令i i i C B A ,,分别表示第i 次交换后，甲袋中有两只白球，一白一黑，两黑球的事件，则由全概率公式得)|()()|()()|()()(11111n n n n n n n n n n n C A P C P B A P B P A A P A P A P p +++++++==n n n n q r q p 410410=⋅++⋅=， )|()()|()()|()()(11111n n n n n n n n n n n C B P C P B B P B P A B P A P B P q +++++++==,211211n n n n n n r q p r q p ++=⋅++⋅=， )|()()|()()|()()(11111n n n n n n n n n n n C C P C P B C P B P A C P A P C P r +++++++==n n n n q r q p 410410=⋅++⋅=. 这里有11++=n n r p ，又1111=+++++n n n r q p ，所以1121++-=n n p q ，同理有n n p q 21-=，再由n n q p 411=+得)21(411n n p p -=+。